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(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

已實現(xiàn)類波動測算方法的比較與實證分析

孫秋霞，馮佳偉

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266590)

結(jié)合國內(nèi)外研究新進(jìn)展對金融高頻數(shù)據(jù)波動率的特征進(jìn)行綜述，對比分析了已實現(xiàn)波動、已實現(xiàn)極差波動、已實現(xiàn)雙冪次變差、偏差校正已實現(xiàn)雙冪次變差、已實現(xiàn)極差四次冪變差等波動測算方法以及考慮日歷效應(yīng)對上述方法進(jìn)行的賦權(quán)修正。從穩(wěn)健性、有效性、無偏性等角度對已實現(xiàn)類波動的特征進(jìn)行分析，并對上述成果建立HAR模型完成滾動預(yù)測和評價,最后指出賦權(quán)已實現(xiàn)極差四次冪變差為這十種高頻數(shù)據(jù)波動率中最優(yōu)的估計量。

已實現(xiàn)波動；日歷效應(yīng)；HAR模型；滾動預(yù)測

基于現(xiàn)代投資組合理論，方差常被用于衡量金融資產(chǎn)價格的不確定性，進(jìn)而國內(nèi)外學(xué)者對波動率開始深入研究，波動率現(xiàn)已成為金融資產(chǎn)風(fēng)險度量、金融衍生品定價等方面的重要工具。波動率的測算方法主要分為三類：第一類是基于低頻數(shù)據(jù)(日、周、月收益率)通過ARCH和SV族類模型測算得到的時變波動率，此類方法需要設(shè)定收益率序列服從某種分布，故亦稱為參數(shù)法；第二類為通過倒推BS公式計算出的期權(quán)隱含波動率；第三類是高頻數(shù)據(jù)的已實現(xiàn)類波動，Andersen等[1-5]首次提出以日內(nèi)價格對數(shù)收益率的平方和作為真實波動的一致估計量，解決了ARCH類模型維數(shù)災(zāi)難問題，也不存在BS公式的強(qiáng)假設(shè)條件。

近年來ARCH模型的發(fā)展主要集中在刻畫波動率的長記憶性、非對稱性、從聚性等方面；關(guān)于隱含波動率的討論，聚焦于修正假設(shè)與現(xiàn)實不符之處；對已實現(xiàn)波動的研究通過改進(jìn)相關(guān)計量模型提高模型的預(yù)測精度；而少有學(xué)者基于市場真實波動率估計量，對已實現(xiàn)波動在無偏性、有效性、穩(wěn)健性和日歷效應(yīng)角度的發(fā)展進(jìn)行比較分析，實際上當(dāng)資產(chǎn)價格存在跳躍和市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲影響下，已實現(xiàn)波動不再是真實波動的一致估計量，我們在此對已實現(xiàn)類波動理論進(jìn)行系統(tǒng)梳理和實證分析：包括其適用范圍、優(yōu)缺點等，以期對不同市場結(jié)構(gòu)已實現(xiàn)類波動的選擇提供參考價值。

一、高頻數(shù)據(jù)波動率測算方法的綜述

本文綜述內(nèi)容包括如下10種高頻數(shù)據(jù)波動率：已實現(xiàn)波動、已實現(xiàn)極差波動、已實現(xiàn)雙冪次變差、偏差校正已實現(xiàn)雙冪次變差和已實現(xiàn)極差四次冪變差，及考慮日內(nèi)效應(yīng)的賦權(quán)已實現(xiàn)波動、賦權(quán)已實現(xiàn)極差波動、賦權(quán)已實現(xiàn)雙冪次變差、賦權(quán)偏差校正已實現(xiàn)雙冪次變差和賦權(quán)已實現(xiàn)極差四次冪變差。

(一)已實現(xiàn)波動測算方法及其改進(jìn)

1.已實現(xiàn)波動。Andersen等[5]利用二次變差理論在收益率序列滿足零均值和無窮樣本的條件下，證明已實現(xiàn)波動(Realized Volatility，簡稱“RV”)是積分波動(Integrated Volatility，簡稱“IV”)的無偏估計量。根據(jù)Andersen等最早提出的已實現(xiàn)波動率概念：第t天的日已實現(xiàn)波動RVt為日內(nèi)高頻收益率的平方和，即：

其中，yt(i)=100×(lnPt(i)-lnPt(i-1))，i=1,2,…,n

2.已實現(xiàn)雙冪次變差。Barndorgg等[6]發(fā)現(xiàn)已實現(xiàn)波動不穩(wěn)健的缺點，提出了更為穩(wěn)健的已實現(xiàn)雙冪次變差(Realized Bipower Variation，簡稱“RBV”)，定義為：

其中，M表示一天內(nèi)的抽樣次數(shù)，h=1表示一天，yj,t表示第t天的第j個日內(nèi)對數(shù)價格收益率。當(dāng)r=0,s=2或者r=2,s=0時，RBVt=RVt，而且當(dāng)r=s=1時的RBV優(yōu)于已實現(xiàn)波動RV。

在此離散跳躍過程下，RV包含了跳躍項k2(u)，此時的RV是有偏的，而RBV是可以消除這種跳躍帶來的偏差。上式中可以看出在發(fā)生跳躍情況下，已實現(xiàn)雙冪次變差依舊收斂于積分波動，然而已實現(xiàn)波動比積分波動多了跳躍項會導(dǎo)致結(jié)果偏大，所以已實現(xiàn)雙冪次變差比已實現(xiàn)波動更為穩(wěn)健。

3.偏差校正已實現(xiàn)雙冪次變差。李勝歌等[8]克服已實現(xiàn)雙冪次變差RBV受到微觀結(jié)構(gòu)噪聲影響提出偏差修正的已實現(xiàn)雙冪次變差，考慮到在r=s=1時的已實現(xiàn)雙冪次變差比其他取值更加精確，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行提出了偏差校正已實現(xiàn)雙冪次變差(Bias Corrected Realized Bipower Variation，簡稱“BCRBV”)，并用深圳成指不同抽樣頻率間隔數(shù)據(jù)實證表明BCRBV優(yōu)于RBV，定義為：

4.已實現(xiàn)極差波動。已實現(xiàn)極差波動是另一種計算思路為日內(nèi)對數(shù)價格極差的平方和，由Christensen等[9]提出，估計積分波動(IV)更精確。所以在計算高頻數(shù)據(jù)波動率方面RRV比RV更有效，已實現(xiàn)極差波動定義為：

通過對比可以發(fā)現(xiàn)，已實現(xiàn)極差波動比已實現(xiàn)波動更具有一定的優(yōu)勢，主要體現(xiàn)在：

①已實現(xiàn)極差波動能夠反映取樣區(qū)間內(nèi)所有的價格信息，而已實現(xiàn)波動僅考察區(qū)間兩端點的價格，故已實現(xiàn)極差波動綜合了更多日內(nèi)價格的信息，更有利于估計真實波動率。

②唐勇等[10]53通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)和使用上證綜指1分鐘數(shù)據(jù)進(jìn)行實證，兩方面都表明已實現(xiàn)極差波動比已實現(xiàn)波動更有效，Var(RRVt)≈Var(RVt)/5

5.已實現(xiàn)極差多冪次變差與已實現(xiàn)極差四次冪變差。Christensen和Podolskij[11]根據(jù)Barndorff-Nielsen[12]等人的多冪次變差思想，提出優(yōu)于已實現(xiàn)多冪次變差的估計量-已實現(xiàn)極差多冪次變差(Realized Range-based Multipower Variation，簡稱為“RMV”)，定義如下：

唐勇等[13]2766通過數(shù)值模擬的方法在k取值為1-4情況下得到冪次k=4時，已實現(xiàn)極差四次冪變差(Realized Range-based Quadpower Variation，簡稱“RQV”)在已實現(xiàn)極差二、三、四次冪變差族類波動中表現(xiàn)最好，并且用滬深300指數(shù)數(shù)據(jù)實證表明RQV優(yōu)于RRV，定義如下：

高頻數(shù)據(jù)波動率的“已實現(xiàn)”測算為非參數(shù)估計法，并不需要假定服從某個分布，擁有比低頻數(shù)據(jù)更多的交易信息，但是會受到市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲和資產(chǎn)價格跳躍的影響，此時通過二次變差理論算得的高頻波動不再是積分波動IV的一致估計量。上述五個波動中，①已實現(xiàn)波動與已實現(xiàn)極差波動受到微觀結(jié)構(gòu)噪聲和跳躍影響，不再是一致估計量；②已實現(xiàn)雙冪次變差在已實現(xiàn)波動基礎(chǔ)上改進(jìn)，故在資產(chǎn)價格存在跳躍時更為穩(wěn)?。虎燮钚Ｕ囊褜崿F(xiàn)雙冪次變差在已實現(xiàn)雙冪次變差基礎(chǔ)上克服了微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響；④已實現(xiàn)極差四次冪變差在已實現(xiàn)極差波動基礎(chǔ)上克服跳躍的影響。但從有效性角度看，極差的測算方法為抽樣間隔內(nèi)最高價減最低價，能反應(yīng)更多的價格信息表現(xiàn)出方差更小的特征，故即便存在市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲和跳躍，已實現(xiàn)極差波動與已實現(xiàn)極差四次冪變差測算得到的波動率標(biāo)準(zhǔn)差最小。

(二)賦權(quán)已實現(xiàn)波動測算方法及其改進(jìn)

金融資產(chǎn)高頻時間序列具有的一個重要特征是，其波動率的自相關(guān)函數(shù)(ACF)在日內(nèi)呈現(xiàn)“U”型的變化模式。金融市場的波動情況在開盤和收盤的時候比較高，中間則較低，在這樣的情況下必須通過對一天內(nèi)的日內(nèi)收益率平方賦予不同的權(quán)重以此來消除“日歷效應(yīng)”，有如下學(xué)者進(jìn)行了研究。

1.賦權(quán)已實現(xiàn)波動

郭名媛等[14]通過改進(jìn)已實現(xiàn)波動提出一種更為有效的度量方法-賦權(quán)已實現(xiàn)波動(Weighted Realized Volatility，簡稱“WRV”)，即：

2.賦權(quán)已實現(xiàn)雙冪次變差

李勝歌等[7]13對已實現(xiàn)雙冪次變差進(jìn)行改進(jìn)提出賦權(quán)已實現(xiàn)雙冪次變差(Weighted Realized Bipower Variation，簡稱“WRBV”)，通過對上證綜數(shù)和深證成指實證研究表明跳躍點上的RV>WRV>RBV>WRBV，WRBV和RBV更加穩(wěn)健，故WRBV不僅具有RBV的穩(wěn)健性以及對真實波動率的無偏性和有效性，同時解決了“日歷效應(yīng)”，定義如下：

3.偏差校正的賦權(quán)已實現(xiàn)雙冪次變差

李勝歌在其博士論文[15]中對偏差校正的已實現(xiàn)雙冪次變差賦予不同權(quán)重消除了日歷效應(yīng)，賦權(quán)已實現(xiàn)雙冪次變差(Bias Corrected Weighted Realized Bipower Variation，簡稱“BCRBV”)可以由下式來表示：

4.賦權(quán)已實現(xiàn)極差波動

唐勇，張世英[10]56在已實現(xiàn)極差波動基礎(chǔ)上提出賦權(quán)已實現(xiàn)極差波動(Weighted Realized Range-based Volatility，簡稱“WRRV”)充分考慮了“日歷效應(yīng)”，用深圳成指5分鐘、10分鐘、15分鐘、20分鐘、30分鐘、60分鐘數(shù)據(jù)都驗證了WRRV比RRV更有效，公式如下：

5.賦權(quán)已實現(xiàn)極差四次冪變差

唐勇，劉徽[13]2774不光證明了已實現(xiàn)極差四次冪變差在已實現(xiàn)極差多冪次變差中為最優(yōu)的估計量，還對其進(jìn)行了加權(quán)以消除日內(nèi)偏斜“L”型模式，用滬深300指數(shù)10分鐘證實了加權(quán)的已實現(xiàn)極差四次冪變差(Weighted Realized Range-based Quadpower Variation，簡稱“WRQV”)均值和標(biāo)準(zhǔn)差都最小、效果最好，WRQV

上述五種賦權(quán)已實現(xiàn)類波動分析如下：①權(quán)重確定均是根據(jù)無偏性和最小方差性求得，在這兩個條件的約束下，無偏性可以保證真實波動率估計量的期望值等于積分波動率，最小方差性使得估計量的波動范圍收斂于真值附近，并且相差很小。②賦權(quán)已實現(xiàn)類波動的權(quán)重計算公式具有相似性，分子為所有波動總和，分母為每天同一時刻波動合計，對于開盤和收盤的較大波動相當(dāng)于被平滑了。表1給出了10種已實現(xiàn)類波動的特征性質(zhì)比較：①計算方法上賦權(quán)的已實現(xiàn)類波動較無賦權(quán)已實現(xiàn)類波動更復(fù)雜，但可以做到更好的穩(wěn)健性和有效性；②有效性方面賦權(quán)已實現(xiàn)極差四次冪變差最優(yōu)，極差波動考慮了采樣間隔內(nèi)最高價和最低價能夠反應(yīng)更多的信息，相對于其他已實現(xiàn)類波動標(biāo)準(zhǔn)差更小，但其穩(wěn)健性最差。

表1 “已實現(xiàn)”類波動特性比較

注：計算方法1-10表示復(fù)雜到簡潔，穩(wěn)健性1-10表示最優(yōu)到最差，有效性1-10表示最優(yōu)到最差。

二、波動率的預(yù)測模型及其評價方法

(一)波動率的預(yù)測模型

本文選用Corsi[16]基于異質(zhì)市場理論提出的(Heterogeneous Autoregressive)異質(zhì)市場自回歸模型，把高頻數(shù)據(jù)波動率作為解釋變量，通過加總不同交易者交易行為的影響可以刻畫波動率的長記憶特征(自相關(guān)系數(shù)呈雙曲率衰減)。

(1)

(2)

(3)

根據(jù)Müller等[17]創(chuàng)立的異質(zhì)市場理論，從投資者的交易行為影響角度分析，表達(dá)式可以寫成：

(4)

(5)

(6)

把式(4)-(6)進(jìn)行迭代，具體公式可表示為：

(7)

(二)預(yù)測評價

為了測算上文介紹的十種已實現(xiàn)類波動加入HAR模型的預(yù)測能力，本文采用了損失函數(shù)法與M-Z回歸法兩種方法進(jìn)行評價。

1.損失函數(shù)法

損失函數(shù)法是一種傳統(tǒng)的衡量模型預(yù)測能力的方法，且損失函數(shù)的值越小，說明預(yù)測越精確。本文采用兩種常用損失函數(shù)：平均絕對誤差(Mean Absolute Error，簡稱“MAE”)和均方根誤差(RMSE,Root Mean Squared ErrorT，簡稱“RMSE”)，其中：

(8)

2.M-Z回歸法

Mince-Zarnowitez回歸法主要評價模型預(yù)測性的優(yōu)劣，主要觀察式(9)的擬合優(yōu)度R2，R2越高表明模型預(yù)測越準(zhǔn)確。

(9)

三、實證分析

Andersen等[4]權(quán)衡測量誤差和微觀結(jié)構(gòu)噪聲影響認(rèn)為5分鐘為最優(yōu)采樣頻率，因此本文抽樣間隔取為5分鐘，且樣本空間為：2014年3月6日—2016年3月10日上證綜指的交易價格。剔除節(jié)假日后的交易天數(shù)為493天，這段時期共有48×493=23 664個數(shù)據(jù)，所使用的語言為Python和Matlab。

(一)日歷效應(yīng)與波動聚集特征

圖1 5分鐘日內(nèi)極差RRV的自相關(guān)圖

圖1和圖2的滯后階數(shù)為240，日取樣頻率為48。如圖1所見，已實現(xiàn)極差RRV的自相關(guān)函數(shù)(ACF)呈現(xiàn)出以“日”為周期的規(guī)律性“U”型變化，而加權(quán)后的已實現(xiàn)極差WRRV測算的結(jié)果顯然已經(jīng)消除其日歷效應(yīng)，不再呈現(xiàn)周期性變化(圖2)。

圖3中實線表示樣本期間的上證綜指日收盤價，虛線表示日已實現(xiàn)波動RVt。RVt時序圖反映出金融高頻數(shù)據(jù)的波動聚集特征，即大的波動發(fā)生后緊接著會出現(xiàn)大波動，小波動后接著小波動。通過日收盤價序列與RVt序列圖趨勢情況發(fā)現(xiàn)我國股市在2015年7、8月出現(xiàn)了顯著的異常狀況，波動幅度非常大。

圖2 5分鐘日內(nèi)加權(quán)極差WRRV的自相關(guān)圖

圖3 日已實現(xiàn)波動RVt與上證綜指日收盤價時序圖

(二)已實現(xiàn)類波動測算結(jié)果的比較

本文選取的樣本期間內(nèi)中國股市經(jīng)歷了一場規(guī)模巨大的人造杠桿牛市，期間發(fā)生了三場大股災(zāi)令投資者損失慘重，根據(jù)行為金融學(xué)方面諾獎獲得者丹尼爾·卡尼曼教授在其著作《思考，快與慢》[19]實證得到的投資者面對風(fēng)險勇于激進(jìn)冒險，面對收益選擇保險謹(jǐn)慎的結(jié)論，上述情況下存在投資者更愿意在下跌中博反彈、2015年6月中旬開始的融資盤強(qiáng)平以及“國家隊”的救市，這三種效應(yīng)放大了暴跌期間股市的波動，根據(jù)上文提到的跳躍擴(kuò)散過程理論顯然在價格出現(xiàn)大幅度跳躍時，RV不再是積分波動的一致估計量，包括了跳躍項故會導(dǎo)致偏大[20，21]。為了便于比較，進(jìn)行把樣本區(qū)間細(xì)分為穩(wěn)定期(2014年3月6日-2014年6月)；暴漲期(2014年7月-2015年6月12日)；暴跌期1(2015年6月15日-2015年9月30日)；恢復(fù)期1(2015年10月-2015年12月)；暴跌期2(2016年1月-2016年1月31日)。

通過表2可以發(fā)現(xiàn)：①RV等已實現(xiàn)類波動在穩(wěn)定期間均值和標(biāo)準(zhǔn)差差距并不大，在所有不同期間中最為穩(wěn)定準(zhǔn)確，穩(wěn)定期價格是服從連續(xù)擴(kuò)散過程，進(jìn)行波動率測算時可以選取較為計算方便的波動；②暴漲期間為牛市開始到結(jié)束，已實現(xiàn)類波動的均值和標(biāo)準(zhǔn)差有明顯的增大，BCRBV、WBCRBV偏差修正的改進(jìn)實證只是略優(yōu)于RV、WRV、RBV、WRBV，而包含采樣區(qū)間內(nèi)信息更多RRV、WRRV、RQV、WRQV更為穩(wěn)?。虎郾┑?的波動統(tǒng)計特征達(dá)到了最大，這也證實了下跌期間負(fù)的收益沖擊對波動的影響更大(高頻數(shù)據(jù)波動的不對稱特征)。期間兩輪大股災(zāi)(7月初、8月初)原因為2015年6月中旬證監(jiān)會開始清理場外配資多米諾骨牌效應(yīng)連鎖放大、股票資產(chǎn)本身的高估值向均值的回歸過程，以及這期間“國家隊”向銀行融資借款直接買入股票，股價有從跌停板拉升到漲停，導(dǎo)致了股票市場的狀況變得極端異常，波動幅度大與發(fā)生次數(shù)多甚至超過了2008年金融危機(jī)期間，該期間價格服從跳躍擴(kuò)散過程，RRV、WRRV、RQV、WRQV明顯優(yōu)于其他已實現(xiàn)類波動，關(guān)于極差的波動有效性最優(yōu)占據(jù)著絕對優(yōu)勢；④恢復(fù)期1股市經(jīng)歷了三個月的上漲反彈幅度可觀，已實現(xiàn)類波動的均值與標(biāo)準(zhǔn)差較為明顯下降，在均值方面差距并不十分顯著；⑤暴跌期2，2016年初開設(shè)的熔斷機(jī)制到叫停短短4日，頻繁觸發(fā)熔斷閥值股票、期貨停止交易，由于熔斷機(jī)制的磁吸效應(yīng)與股票上漲的反彈結(jié)束，期間發(fā)生了股災(zāi)3.0，已實現(xiàn)類波動的均值標(biāo)準(zhǔn)差增大較為明顯，RRV、WRRV、RQV、WRQ統(tǒng)計特征比較相近，WRQV與RQV克服了跳躍影響，在兩次暴跌中標(biāo)準(zhǔn)差均為最小，該期間選用這幾種已實現(xiàn)類波動進(jìn)行定價、風(fēng)險管理合適。

表3 5分鐘抽樣頻率下波動估計量的描述性統(tǒng)計特征

(三)模型預(yù)測效果比較

采用滾動時間窗口法進(jìn)行樣本外預(yù)測，訓(xùn)練期為373天，驗證期為101天，保持373天的長度不變，進(jìn)行建模并代入數(shù)據(jù)預(yù)測下一天，循環(huán)以步長為1天向前滾動，最終將模型預(yù)測值與驗證期的真實值進(jìn)行比較評價。

表4 不同已實現(xiàn)類波動模型的預(yù)測效果評價

注：M1表示HAR-lnRV模型，M2表示HAR-lnWRV模型，M3表示HAR-lnRBV模型，M4表示HAR-lnWRBV模型，M5表示HAR-lnBCRBV模型，M6表示HAR-lnWBCRBV模型，M7表示HAR-lnRRV模型，M8表示HAR-lnWRRV模型，M9表示HAR-lnRQV模型，M10表示HAR-lnWRQV模型。

從表4中可以看出，①M(fèi)-Z回歸法測得的HAR-lnRV類模型擬合優(yōu)度R2均在0.3左右，說明了線性模型在刻畫非線性的金融市場方面存在些許不足，樣本期間股票價格的大幅度跳躍現(xiàn)象也表現(xiàn)出了非線性特征，已實現(xiàn)極差四次冪變差模型的擬合優(yōu)度最高，受跳躍的影響最小。②從MAE和RMSE兩種損失函數(shù)計算結(jié)果看，賦權(quán)已實現(xiàn)類波動的評價值均小于無賦權(quán)已實現(xiàn)類波動，表明波動經(jīng)過賦權(quán)后標(biāo)準(zhǔn)差減小、預(yù)測精度更高。③受熔斷機(jī)制影響，2016年1月7日的RQV和WRQV計算結(jié)果為0，將該異常值視為缺失值處理，運(yùn)用HAR模型回歸預(yù)測進(jìn)行插補(bǔ)，造成M10的MAE結(jié)果大于M9，其余評價指標(biāo)正常。④由于文章篇幅限制選取常用的日已實現(xiàn)波動RVt與RRVt的預(yù)測圖，圖4和圖5可以看出，對于大的波動模型難以捕捉，建立合適的波動率預(yù)測模型是時間序列建模者的下一步挑戰(zhàn)。

圖4 RVt預(yù)測值vs RVt真實值

圖5 RRVt預(yù)測值vs RRVt真實值

四、結(jié)語

[1]ANDERSON T G,BOLLERSLEV T.Answering the skeptics:yes,standard volatility models do provide accurate forecasts[J].International Economic Review,1998(4):885-905.

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ComparisonandEmpiricalAnalysisofMeasurementMethodsofRealizedVolatility

SUN Qiuxia, FENG Jiawei

(CollegeofMathematicsandSystemsScience,ShandongUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266590,China)

The paper summarizes the characteristics of the volatility of high frequency data of the domestic and foreign research progress, and conducts a comparative analysis of fluctuation measuring methods, such as realized volatility, realized range-based volatility, realized bi-power variation, bias-corrected realized bi-power variation, realized range-based quad-power variation, considering the weighted correction given by calendar effect to the above methods. From the perspective of robustness, effectiveness and non bias, the characteristics of the realized fluctuation have been analyzed, and the HAR model is established to complete the rolling prediction and evaluation. Finally, it is pointed out that realized range-based qua-dpower variation is the best estimate of the ten kinds of high frequency data volatility.

realized volatility；calendar effect；HAR model；rolling prediction

F830

A

1008-7699(2017)05-0078-10

(責(zé)任編輯魏霄)

2017-1-14

山東科技大學(xué)科研創(chuàng)新團(tuán)隊支持計劃資助項目(2015TDJH103)；青島市知識產(chǎn)權(quán)軟科學(xué)研究計劃項目(QDISSP-1305)

孫秋霞(1976—)，女，山東濟(jì)寧人，山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院副教授，博士，博士后，碩士生導(dǎo)師；馮佳偉(1993—)，男，上海松江人，山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院碩士研究生，本文通信作者.