陳金飚， 林榮斐

(臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院， 浙江 臺(tái)州 317000)

基于方差縮減的高維美式期權(quán) Monte Carlo 模擬定價(jià)

陳金飚， 林榮斐*

(臺(tái)州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院， 浙江 臺(tái)州 317000)

美式期權(quán)給予持有者在到期日之前任何時(shí)刻的權(quán)利，因涉及最佳執(zhí)行時(shí)刻問題定價(jià)較為復(fù)雜. Monte Carlo方法其估計(jì)誤差及收斂速度與問題的維數(shù)獨(dú)立，可較好地處理高維衍生證券問題，且方法靈活易于實(shí)現(xiàn).利用最小二乘蒙特卡洛方法(LSM)，結(jié)合存儲(chǔ)量減小技術(shù)與方差縮減技術(shù)，將 Monte Carlo 模擬方法應(yīng)用于多標(biāo)的資產(chǎn)的美式期權(quán)定價(jià)，并比較、分析了不同方差縮減技術(shù)的效果及適用范圍.

Monte Carlo 方法；美式期權(quán)；方差縮減技術(shù)；定價(jià)

0 引 言

近年來隨著數(shù)據(jù)分析和計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，高維美式期權(quán)的定價(jià)方法取得了實(shí)質(zhì)性的突破[1-8]，但隨著美式期權(quán)維數(shù)的增加,存在所謂的“維數(shù)災(zāi)難”問題.為了克服這一難題,研究者將Monte Carlo模擬美式期權(quán)定價(jià)作為重要的研究主題[9-10].

假設(shè)d維無紅利標(biāo)的資產(chǎn)x=(x1,x2，…，xd)滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)

(1)

為d個(gè)獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量所組成的向量.

本文研究的美式看跌期權(quán)的收益均由標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的最大值決定，即期權(quán)收益為

(2)

BOYLE等[11]對(duì)美式期權(quán)的Monte Carlo模擬方法做了詳細(xì)介紹和綜述，其中提到：每生成一列Sti(i=0，1，…，N)的路徑后，一個(gè)明顯的估計(jì)量為

LONGSTAFF等[14]利用最小二乘法確定了一個(gè)“期望函數(shù)”，并以期望函數(shù)的值作為期權(quán)繼續(xù)持有的價(jià)值，與立刻執(zhí)行的價(jià)值進(jìn)行比較，決定是否提前執(zhí)行.LSM方法的具體過程為：首先對(duì)每條模擬路徑，求出tN時(shí)刻的期權(quán)收益，作為相應(yīng)路徑在tN時(shí)刻的期權(quán)收益貼現(xiàn)到tN-1時(shí)刻的現(xiàn)金流Y關(guān)于tN-1時(shí)刻d個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格向量X的線性回歸，用最小二乘法求出回歸系數(shù)，稱所得的函數(shù)為條件期望函數(shù).對(duì)期權(quán)收益為正的路徑，將tN-1時(shí)刻的X值代入線性回歸函數(shù)，求得相應(yīng)的條件期望函數(shù)值.然后比較此值與在tN-1時(shí)刻執(zhí)行的收益大小，以確定期權(quán)在該路徑上是否提前執(zhí)行，進(jìn)而計(jì)算tN-1時(shí)刻期權(quán)的價(jià)格.最后重復(fù)上述過程，依次計(jì)算前面各時(shí)刻美式期權(quán)的價(jià)格，直到t1時(shí)刻，計(jì)算所有路徑期權(quán)價(jià)格的平均值，取該平均值與0時(shí)刻期權(quán)價(jià)值中較大者作為期權(quán)價(jià)格的最終估計(jì)值.需要強(qiáng)調(diào)的是，在作線性回歸時(shí)， LSM方法僅對(duì)處于在值狀態(tài)(期權(quán)收益為正)的路徑進(jìn)行回歸，其余路徑僅作為貼現(xiàn)，從而減少了計(jì)算時(shí)間，大大提高了算法的效率.

1≤i≤M，

(3)

(4)

1 基于方差縮減的LSM算法

1.1 方差縮減優(yōu)化方法

文獻(xiàn)[10-11]詳細(xì)介紹了各種方差縮減技術(shù)的理論依據(jù)，并用數(shù)值例子進(jìn)行了比較和分析.本文選用了其中2種方法：對(duì)偶變量法和控制變量法.用數(shù)值例子比較這2種方法在處理實(shí)際問題時(shí)的效果.

1.1.1 對(duì)偶變量法

下面討論對(duì)偶變量法的方差縮減效果和運(yùn)算效率.從理論上說，因?yàn)楣烙?jì)量Y1和Y2的方差相同，所以

(5)

如果Cov[Y1,Y2]≤Var(Y1)，那么就有Var(YAV)≤Var(Y1).但是YAV的計(jì)算量是Y1的2倍，在考慮效率問題時(shí)，必須將所需計(jì)算量也考慮在內(nèi).因此，想要提高計(jì)算效率，需滿足

2Var(YAV)≤Var(Y1),

(6)

此條件等價(jià)于Cov[Y1,Y2]≤0.事實(shí)上，Y1和Y2都是模擬所生成的隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，BROADIE等[13]指出，只要Y1關(guān)于隨機(jī)數(shù)的函數(shù)(記為φ)是單調(diào)的，對(duì)偶變量法總能起到減小方差的效果.方差縮減比率為

(7)

其中ρ=Cov[Y1,Y2].ρ越小，方差縮減效果越好.對(duì)美式期權(quán)來說，φ十分復(fù)雜，想要計(jì)算Y1和Y2的相關(guān)系數(shù)也很困難，方差縮減效果只能通過模擬來估計(jì).

1.1.2 控制變量法

(8)

(9)

其中當(dāng)系數(shù)向量b取最優(yōu)系數(shù)向量

時(shí)，控制變量YCV的方差取最小值:

(10)

(11)

R2越大，方差縮減效果越好.在實(shí)際計(jì)算中，最優(yōu)系數(shù)向量的確定步驟為：先用小樣本估計(jì)樣本方差SX與樣本協(xié)方差SXY，分別代替∑X和∑XY并代入式(10),計(jì)算最優(yōu)系數(shù)向量.要求小樣本數(shù)目遠(yuǎn)小于期權(quán)定價(jià)的模擬數(shù)目.

(12)

SXY為d×1矩陣，其第j個(gè)元素為

(13)

取股價(jià)關(guān)于所有模擬路徑的均值，是d維向量.最后重復(fù)上述過程，得到N0個(gè)估計(jì)值，取這N0個(gè)估計(jì)值的平均值作為最終期權(quán)價(jià)格估計(jì)，取它們的樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為該估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差.

1.2 算 法

最后，分別結(jié)合對(duì)偶變量法和控制變量法對(duì)求得的估計(jì)值做進(jìn)一步修正，得到最終估計(jì)值，并運(yùn)用批處理方法計(jì)算估計(jì)量的方差，因?yàn)榇藘煞椒ǘ计茐牧藰颖鹃g的獨(dú)立性.

2 數(shù)值例子

考慮3個(gè)無紅利標(biāo)的資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)(d=3)，期權(quán)價(jià)值由式(2)決定，敲定價(jià)格為E.3種資產(chǎn)的初始價(jià)格S0為(40,40,40)T，無風(fēng)險(xiǎn)利率r為0.05，資產(chǎn)的波動(dòng)率分別為0.2,0.3和0.5，到期時(shí)間為T，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)均為ρ，選取M=1 000,N=10，采用Matlab計(jì)算，并用文獻(xiàn)[11]中的例子進(jìn)行檢驗(yàn).

表1分別給出了基本Monte Carlo方法、對(duì)偶變量法和控制變量法的計(jì)算結(jié)果.其中，mean列和std列分別代表重復(fù)10次運(yùn)算的均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差，CI(confidence interval)列為由10次運(yùn)算結(jié)果得到的置信度為95%的置信區(qū)間， PDE列是用經(jīng)典積分方法算得的結(jié)果；T的單位為月，資產(chǎn)價(jià)格的單位為美元.

為了分析計(jì)算結(jié)果的穩(wěn)定性，下面對(duì)3種方法的均值和標(biāo)準(zhǔn)差做進(jìn)一步比較.選定T=7,E=40，選取ρ=0，1，對(duì)前文所述的方法分別重復(fù)50次，作散點(diǎn)圖，得到圖1和圖2，圖中每個(gè)點(diǎn)都代表10次模擬得到的均值和標(biāo)準(zhǔn)差.

根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行橫向比較可得，在3種參數(shù)選擇下，對(duì)偶變量法和控制變量法都能起到減小方差的作用，對(duì)偶變量法縮減效果十分明顯，而控制變量法相對(duì)不明顯.縱向比較可得，控制變量法在ρ=1時(shí)的方差縮減效果比ρ=0時(shí)要高，而對(duì)偶變量法則表現(xiàn)得比較平均.其原因?yàn)榭刂谱兞糠ǖ目s減效率取決于控制變量與期權(quán)價(jià)格的相關(guān)程度，相關(guān)程度越高，效果越好.在本文中，控制變量為模擬股價(jià)，期權(quán)收益由股價(jià)的最大值決定，故兩者間的相關(guān)系數(shù)取決于標(biāo)的資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù).當(dāng)ρ=0時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)間的相關(guān)性低，控制變量的縮減效果并不明顯，甚至有幾次模擬的標(biāo)準(zhǔn)差比未使用控制變量的標(biāo)準(zhǔn)差最大值還大.當(dāng)ρ=1時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)間的相關(guān)性高，控制變量和期權(quán)收益的相關(guān)性也高，控制變量的縮減效果較之前有明顯提高.而對(duì)偶變量法的縮減效率由對(duì)偶變量產(chǎn)生的估計(jì)量的相關(guān)系數(shù)決定，與到期時(shí)間、資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)等參數(shù)無直接關(guān)系，所以對(duì)偶變量法在不同參數(shù)下表現(xiàn)較為平均.

表1 原始方法、對(duì)偶變量法和控制變量法的計(jì)算結(jié)果Table 1 Computing results on original、antithetic variates and control variates methods

圖1 ρ=0,T=7,E=40情形下3種方法的比較Fig.1 Comparison of three methods in the case of ρ=0，T=7,E=40

圖2 ρ=1,T=7,E=40情形下3種方法的比較Fig.2 Comparison of three methods in the case of ρ=1，T=7,E=40

rouTEVRERAVVRERCV0135##401.9411.85045##7351.8142.167401.9441.28545##7351.8522.086401.5491.617451.6721.376

3 總 結(jié)

充分利用Monte Carlo方法的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，討論了一個(gè)多目標(biāo)資產(chǎn)的美式期權(quán)定價(jià)問題，運(yùn)用線性回歸思想以及幾何布朗運(yùn)動(dòng)和偽隨機(jī)數(shù)的性質(zhì)，在LSM方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合存儲(chǔ)量減小方法和方差縮減技術(shù)，對(duì)不同參數(shù)下美式期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了比較和分析.采用對(duì)偶變量法和控制變量法縮減基本方差，討論了決定其方差縮減效果的因素和參數(shù)估計(jì)的方法.從計(jì)算結(jié)果看，對(duì)偶變量法較控制變量法標(biāo)準(zhǔn)差縮減效果更明顯，且對(duì)偶變量法在不同參數(shù)下的表現(xiàn)比較平均，而控制變量法的效果取決于標(biāo)的資產(chǎn)間的相關(guān)系數(shù)，這是由所選取的控制變量所決定的.

然而，需要指出的是，本文的計(jì)算結(jié)果還不夠穩(wěn)定、收斂性不夠高，這也是 Monte Carlo方法的缺點(diǎn)之一.若采用擬蒙特卡洛方法(quasi-Monte Carlo)，用確定性的低偏差序列 (low discrepancy sequences)代替隨機(jī)點(diǎn)列，可改進(jìn) Monte Carlo方法的收斂性.如何利用擬蒙特卡洛方法提高算法的收斂性是未來研究的一個(gè)重要方向.

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CHEN Jinbiao, LIN Rongfei

(School of Mathematics & Information Engineering, Taizhou University, Taizhou 317000, Zhejiang Province, China)

American options allow holders to execute an order at any moment before due date. However, the pricing of American options is comparatively complicated because it involves the optimal stopping rule. Monte Carlo method is flexible and easy to implement. Besides, its error estimation and convergence rate are independent of the dimension of the problem, providing Monte Carlo method a great advantage over classical numerical approaches in option pricing. This paper combines the Least Square Monte Carlo method with some variance reduction techniques and a memory reduction approach to price multi-asset American-style options, then compares the efficiency of different variance reduction techniques, and analyzes their application.

Monte Carlo method; American options; variance reduction techniques; pricing

O 242.28

：A

：1008-9497(2017)05-542-06

2017-01-16.

浙江省教育廳一般科研項(xiàng)目(Y201431077)； 浙江省教育廳高等學(xué)校訪問學(xué)者教師專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目 (FX2016073).

陳金飚(1971-)，ORCID:http://orcid.org/0000-0003-0339-5880,男，碩士，講師，主要從事Monte Carlo 模擬、數(shù)據(jù)分析、圖像處理等研究.

*通信作者，ORCID:http://orcid.org/0000-0002-4347-0905,E-mail：linrfei@tzc.edu.cn.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.05.008

AMonteCarlosimulationonpricingofhighdimensionalAmericanoptionsbasedonvariancereduction.Journal of Zhejiang University (Science Edition)，2017,44(5)：542-547