王玉涵

【摘 要】特殊矩陣在代數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，本篇文章主要介紹了一類特殊矩陣，循環(huán)矩陣的一些相關(guān)知識(shí)與重要性質(zhì)，以及它現(xiàn)今的發(fā)展概況。

【關(guān)鍵詞】循環(huán)矩陣；反循環(huán)矩陣；循環(huán)矩陣；逆矩陣

0 引言

循環(huán)矩陣起始于1885年，由Muir.T提出。 在代數(shù)學(xué)的矩陣論中，循環(huán)矩陣是一類很重要的矩陣，許多學(xué)者者對(duì)它進(jìn)行了深入研究，并且得到了很多非常好的結(jié)論，它在諸多領(lǐng)域中都有著廣泛應(yīng)用[1-2]。如在圖象處理、編碼理論、石油勘探等方面經(jīng)常被用到。 Solak在[3]中求出了古典Lucas數(shù)的循環(huán)矩陣的范數(shù)的上下界。 AhmetIpek[4]對(duì)這類矩陣范數(shù)的估算作了進(jìn)一步改進(jìn)。 在研究循環(huán)矩陣性質(zhì)的過程中，有些數(shù)學(xué)工作者運(yùn)用構(gòu)造性方法求出可逆矩陣的行列式和逆矩陣。 江兆林教授等人[5]在有關(guān)k-Fibonacci數(shù)及k-Lucas數(shù)的循環(huán)矩陣的研究中，運(yùn)用構(gòu)造性方法討論了其行列式及逆矩陣。 隨著數(shù)學(xué)在應(yīng)用方面的進(jìn)展，循環(huán)矩陣在科學(xué)和工程領(lǐng)中的地位域越來越重要。

1 循環(huán)矩陣

定義1[6]復(fù)數(shù)域上階矩陣稱為右循環(huán)矩陣（或簡(jiǎn)稱循環(huán)矩陣）。

從定義可以得，循環(huán)矩陣的每一行均由第一行按同一方向向右依序循環(huán)，循環(huán)矩陣所組成的集合可簡(jiǎn)記為。循環(huán)矩陣是由它的第一行所決定的。

性質(zhì)1設(shè)C是 n階循環(huán)矩陣，若C可逆，那么C的逆矩陣C-1也是n階循環(huán)矩陣。

2 反循環(huán)矩陣

定義2[7]若把一個(gè)階循環(huán)矩陣的主對(duì)角線以下的元素改變符號(hào)，就叫階反循環(huán)矩陣。

例 2下面是一個(gè)三階反循環(huán)矩陣

性質(zhì)2若C是反循環(huán)矩陣且C可逆，則C-1也是循環(huán)矩陣。

性質(zhì)3任何一個(gè)n反階循環(huán)矩陣C在復(fù)數(shù)域上都可以對(duì)角化。

3 g-循環(huán)矩陣

定義3[7]如下形式的矩陣，

稱為g-循環(huán)矩陣，其中g(shù)為任意整數(shù)，下指標(biāo)以模n記錄，即ai=aj，如果i=j（mod（n））.

【參考文獻(xiàn)】

[1]D. Q. Fu， Z. L. Jiang， Y. F. Cui， and S. T. Jhang.New fast algorithm for optimal design of block digital filters by skew-cyclic convolution[J].IET Signal Processing， 2014，8（6）：633-638.

[2]H.Karner，J.Schneid，and C.W.Ueberhuber.Spectral decomposition of real circulant matrices[J].Linear Algebra and Its Applications，2003，367：301-311.

[3]D. Z. Lin，“Fibonacci-Lucas quasi-cyclic matrices， FibonacciQuart”[J].2002， 40：280-286.

[4]S.Solak.On the norms of circulant matrices with the Fibonacci and Lucas numbers [J].Appl.Math. Comput， 2005，160：125-132.

[5]Z.L.Jiang，Y.P.Gong，and Y.Gao.“Invertibility and Explicit Inverses of Circulant-Type Matrices with-Fibonacci and -Lucas Numbers”.Abstract and Applied Analysis.Volume 2014（2014），Article ID 238953，9 pages.

[6]H.Karner，J.Schneid，C.W.Ueberhuber.“Spectral decomposition of real circulant matrices”[J].Linear Algebra Appl，2003，367： 301-311.

[7]江兆林，周章鑫.循環(huán)矩陣[M].成都：成都科技大學(xué)出版社，1999.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]endprint