鄒恒娟

【中圖分類號】G633.6

【考情分析】

在高考題中，數(shù)形結(jié)合的題目主要出現(xiàn)在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何及不等式最值等綜合性題目上，把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的簡捷、靈活特點(diǎn)的多是填空小題。

因?yàn)閷?shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是新課標(biāo)高考明確的一個命題方向。

1.數(shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化。“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。

2.數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想思想方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查”，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能。

3.“對數(shù)學(xué)思想方法的考查是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括的考查，考查時要與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合”， 用好數(shù)形結(jié)合的思想方法，需要在平時學(xué)習(xí)時注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為用好數(shù)形結(jié)合思想打下堅實(shí)的知識基礎(chǔ)。

4.函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是 “以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標(biāo)表示則是 “以數(shù)助形”，還有導(dǎo)數(shù)更是數(shù)形形結(jié)合的產(chǎn)物，這些都為我們提供了 “數(shù)形結(jié)合”的知識平臺。

5.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題過程中，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的習(xí)慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結(jié)合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結(jié)合千般好，數(shù)形分離萬事休”。

縱觀多年來的高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。

【知識交匯】

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).。

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：

數(shù)形結(jié)合思想解決的問題常有以下幾種：

（1）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍；

（2）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究方程根的范圍；

（3）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系；

（4）構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式；

（5）構(gòu)建立體幾何模型研究代數(shù)問題；

（6）構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；

（7）構(gòu)建方程模型，求根的個數(shù)；

（8）研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等.

常見適用數(shù)形結(jié)合的兩個著力點(diǎn)是：

以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法.

以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合。

數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們在平時學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度.具體操作時，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；（2）用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達(dá)式（有時可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個函數(shù)的圖象，由圖求解.這種思想方法體現(xiàn)在解題中，就是指在處理數(shù)學(xué)問題時，能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖象有機(jī)結(jié)合起來思索，促使抽象思維和形象思維的和諧復(fù)合，通過對規(guī)范圖形或示意圖形的觀察分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，從而使問題得到簡捷解決。

1.數(shù)形結(jié)合的途徑

（1）通過坐標(biāo)系形題數(shù)解

借助于建立直角坐標(biāo)系、復(fù)平面可以將圖形問題代數(shù)化。這一方法在解析幾何中體現(xiàn)的相當(dāng)充分（在高考中主要也是以解析幾何作為知識載體來考察的）；值得強(qiáng)調(diào)的是，形題數(shù)解時，通過輔助角引入三角函數(shù)也是常常運(yùn)用的技巧（這是因?yàn)槿枪降氖褂茫梢源蟠罂s短代數(shù)推理）

實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：①實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系；②函數(shù)與圖象的對應(yīng)關(guān)系；③曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；⑤所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義。 。

（2）通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造數(shù)題形解

許多代數(shù)結(jié)構(gòu)都有著對應(yīng)的幾何意義，據(jù)此，可以將數(shù)與形進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化.例如，將a>0與距離互化，將a2與面積互化，將a2+b2+ab=a2+b2-2 與余弦定理溝通，將a≥b≥c>0且b+c>a中的a、b、c與三角形的三邊溝通，將有序?qū)崝?shù)對（或復(fù)數(shù)）和點(diǎn)溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應(yīng)的圓錐曲線對應(yīng)等等.這種代數(shù)結(jié)構(gòu)向幾何結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化常常表現(xiàn)為構(gòu)造一個圖形（平面的或立體的）。另外，函數(shù)的圖象也是實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)化的有效工具之一，正是基于此，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常借助于相伴而充分地發(fā)揮作用。

2.數(shù)形結(jié)合的原則

（1）等價性原則

在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞.有時，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo)。

（2）雙向性原則

在數(shù)形結(jié)合時，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析（或僅對幾何問題進(jìn)行代數(shù)分析）在許多時候是很難行得通的。

例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來研究幾何問題，但是在許多時候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會使得復(fù)雜的問題簡單化。

（3）簡單性原則

就是找到解題思路之后，至于用幾何方法還是用代數(shù)方法、或者兼用兩種方法來敘述解題過程，則取決于那種方法更為簡單.而不是去刻意追求一種流性的模式——代數(shù)問題運(yùn)用幾何方法，幾何問題尋找代數(shù)方法。

【思維總結(jié)】

從目前高考“注重通法，淡化特技”的命題原則來看，對于數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，我們在復(fù)習(xí)時，應(yīng)將重點(diǎn)置于解析幾何中圖象的幾何意義的重視與挖掘以及函數(shù)圖象的充分利用之上即可。

數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域，最值問題中，在求復(fù)數(shù)和三角函數(shù)問題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野。endprint