周淑丹

高中數(shù)學(xué)人教A版必修4第100頁探究題為：當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？由此不難得出P點(diǎn)的橫坐標(biāo) （ ）。我們進(jìn)一步研究 和 的聯(lián)系，上式變形為 ，這是一個(gè)反比例型函數(shù)，其圖象為

（ ） （ ）

根據(jù)圖象的特征，我們可得到

性質(zhì)：平面內(nèi)兩定點(diǎn) ，不妨設(shè) ， （i=1，2，3……）滿足 ，對(duì)于不同的i，j，有

（1） 若 ，則 ，且點(diǎn) 比 距B點(diǎn)近；

（2） 若 ，則 ，且點(diǎn) 比 距B點(diǎn)遠(yuǎn)；

（3）若 ，則 ，且點(diǎn) 在點(diǎn)B左（右），點(diǎn) 在點(diǎn)B右（左）；

證明：（1）

又 ，

（ ） ，由圖象知，點(diǎn) 比 距B點(diǎn)近。（2），（3）同理可證。（略）

我們利用上述性質(zhì)，常可應(yīng)用于下列幾何問題：

1.用于比較值的大小

例1.已知 ， ， ，試比較a，b，c的大小。

分析：此題常規(guī)法利用函數(shù)單調(diào)性解。根據(jù)數(shù)字的結(jié)構(gòu)特征，可化為 形式的式子，再利用性質(zhì)能較方便的得出大小關(guān)系。

解：設(shè) ， 滿足 ，令 ， ， ，此時(shí) ， ， ，且 根據(jù)性質(zhì)（1）得 。

上題可推廣到更一般化情形：

設(shè) 且 ，b，t，s ，試比較 與 的大小。

分析：將原式變形為 與 ，設(shè) ， 滿足 ，令 ， ，當(dāng) 時(shí)， ，有 ， ，又 ，所以 ，由性質(zhì)1知，前者比后者大。當(dāng) 時(shí)，同理可得。（略）

例2.已知 且 ， ，判斷 與 的大小。

分析：根據(jù)分式結(jié)構(gòu)關(guān)系，分子三倍角正切可化單角的正切，再化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為需要的形式。

解： ， ，

設(shè) ， 滿足

令 ， ，

（i）當(dāng) 時(shí)， ， ，

， ，由性質(zhì)（1）知 ；

（ii） 當(dāng) 時(shí)，有 ，由性質(zhì)（1）知 ；

（iii）當(dāng) 時(shí)，有 ，由性質(zhì)（3）知

2.應(yīng)用于解不等式

例3.解不等式：

解：令 ， ， 滿足 ， ，則不等式轉(zhuǎn)化為 ，即點(diǎn) 在點(diǎn) 與 之間（包括端點(diǎn)）變動(dòng)，而 滿足 時(shí)對(duì)應(yīng)的 ，所以

即

（1）當(dāng) 時(shí)， ，即原不等式的解集為 ；

（2）當(dāng) 時(shí)， ，即原不等式的解集為 。

3.應(yīng)用于證明不等式

例4. 若 ，則 。

證明： ，

設(shè)點(diǎn) ， 滿足 ，令 ， ，由 知 ，所以 ，即

由性質(zhì)（3）知 ，且點(diǎn) 在點(diǎn)B左邊，點(diǎn) 在點(diǎn)B右邊，所以 即 。

例5.若 ，求證 不能介于 與 之間。

證明： ， ， ，

設(shè)點(diǎn) ， 滿足 ，令滿足 ， ， ，因?yàn)?， ，所以 ， ， ，

即 。

當(dāng) 時(shí)，

當(dāng) 時(shí)，

即 不能介于 與 之間。

由上述幾方面的解題思路不難看出，任何一道看似繁難的課外題目，它的解題知識(shí)點(diǎn)和思想方法其實(shí)都在課本內(nèi)。因此，加強(qiáng)對(duì)課本知識(shí)的深挖細(xì)析是提高解題能力的關(guān)鍵。

參考文獻(xiàn)：

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【2】滿多博.構(gòu)造函數(shù)解不等式問題的若干方法.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2002.2.

【3】宋海永.挖掘課本素材，成就精彩教學(xué).中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012.8.

【4】王淼生.數(shù)學(xué)美本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單.數(shù)學(xué)教學(xué)，2013.8.endprint