張銘浩(北京師范大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100052)

學(xué)生創(chuàng)新園地

真空管道空氣制動(dòng)系統(tǒng)的模型設(shè)計(jì)——空氣阻力系數(shù)的計(jì)算與恒定空氣阻力的模型設(shè)計(jì)

張銘浩
(北京師范大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100052)

真空管道運(yùn)輸指在氣壓為小于等于0.5 atm的氣密性良好的密閉管道內(nèi)運(yùn)行磁懸浮列車(chē)，空氣制動(dòng)系統(tǒng)是指僅利用空氣阻力實(shí)現(xiàn)車(chē)體減速的系統(tǒng).將通過(guò)動(dòng)量守恒定律推導(dǎo)制動(dòng)時(shí)的空氣阻力公式，并提出一種利用空氣阻力制動(dòng)的真空管道系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方案，給出一定的理論計(jì)算.

動(dòng)量守恒定律 空氣阻力 真空管道運(yùn)輸

1 引言

真空管道空氣制動(dòng)系統(tǒng)中，空氣阻力的分析是一類(lèi)非常復(fù)雜的物理問(wèn)題，即使是近代物理也很難用一個(gè)簡(jiǎn)潔漂亮的方程統(tǒng)一描寫(xiě)所有情況下的流體問(wèn)題.本文主要通過(guò)對(duì)不同車(chē)頭形狀造成的空氣分子散射的分析,根據(jù)動(dòng)量守恒關(guān)系,計(jì)算制動(dòng)時(shí)阻力的基本形式,設(shè)計(jì)通過(guò)控制減速區(qū)段的空氣密度使車(chē)體受到恒定的空氣阻力的模型.對(duì)于空氣介質(zhì)，本文將考慮粘滯和漩渦忽略不計(jì)的情況.

2 對(duì)于制動(dòng)時(shí)空氣阻力系數(shù)的理論推導(dǎo)

我們知道空氣阻力與相對(duì)速度的平方成近似的正比關(guān)系，而對(duì)于不同的迎風(fēng)面形狀，阻力系數(shù)會(huì)有很大的差別.當(dāng)一個(gè)物體以速度v在密度為ρ的均勻介質(zhì)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所受到的阻力可以寫(xiě)為

f=ερv2

其中ε為與運(yùn)動(dòng)物體形狀有關(guān)的系數(shù)，稱(chēng)為空氣阻力系數(shù).研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，空氣阻力系數(shù)不會(huì)像解題一樣在題干中給出，所以對(duì)于不同的車(chē)頭形狀，阻力系數(shù)需要從造成阻力這一過(guò)程的本身出發(fā).下面介紹應(yīng)用封閉理學(xué)系統(tǒng)內(nèi)的動(dòng)量守恒定律[1]來(lái)計(jì)算兩種不同車(chē)頭形狀阻力系數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程.

2.1球面的阻力系數(shù)

考慮一個(gè)在空氣中以恒定速度v運(yùn)動(dòng)的半徑為R的球體，因?yàn)榍驅(qū)ΨQ(chēng)性，所以考慮分子碰撞速度變化只需要一個(gè)自由度，即速度矢量和撞擊點(diǎn)到球心連線(xiàn)的夾角θ.如圖1所示，以球面的球心為原點(diǎn)建立平面極坐標(biāo)系.考慮θ到θ+dθ角度對(duì)應(yīng)的球體的微分表面，因?yàn)槿肷浣嵌认嗤僭O(shè)空氣分子與球體表面的碰撞為完全彈性碰撞，則撞擊到整個(gè)圓環(huán)上的空氣分子動(dòng)量改變都相同.根據(jù)這一特點(diǎn)，即可計(jì)算出這個(gè)角度對(duì)應(yīng)的一個(gè)圓環(huán)與空氣分子碰撞后，車(chē)體的動(dòng)量改變.

圖1 通過(guò)動(dòng)量守恒定律計(jì)算球面的阻力系數(shù)

dθ角所對(duì)弧dL=Rdθ對(duì)應(yīng)的截面積

dS=2πR2sinθcosθdθ

假設(shè)單位體積空氣分子數(shù)為n，管道中車(chē)體速度為v，則在dt時(shí)間內(nèi)，應(yīng)該有N個(gè)空氣分子撞上車(chē)

指導(dǎo)教師：邵華(1982- )，男，博士，主要從事競(jìng)賽輔導(dǎo)工作.

頭迎風(fēng)面.

N=nvdtdS

單個(gè)分子的動(dòng)量改變量為

Δp=mv(1-cos 2θ)

這里假設(shè)所有空氣分子的質(zhì)量均相同，m為每個(gè)空氣分子的質(zhì)量.空氣分子總動(dòng)量的改變量就等于單個(gè)分子的動(dòng)量改變量乘以分子個(gè)數(shù).聯(lián)立以上各式，得此時(shí)的總動(dòng)量變化

dp(θ)=2πR2nmv2sinθ·
cosθ(1-cos 2θ)dtdθ

(1)

則車(chē)體受迎風(fēng)面空氣阻力為

(2)

取車(chē)體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较颍瑥氖?2)可以看出運(yùn)動(dòng)球體的阻力系數(shù)ε1=-πR2.

2.2整流罩型面(Haack函數(shù)族，馮·卡門(mén)曲線(xiàn))的空氣阻力系數(shù)

馮·卡門(mén)曲線(xiàn)屬于Haack族曲線(xiàn)中的一種.它描述了在給定某些參數(shù)(長(zhǎng)度、直徑或體積)的前提下，空氣阻力最低的曲線(xiàn).在中國(guó)航天工程中，長(zhǎng)征二號(hào)F運(yùn)載火箭的整流罩就應(yīng)用了馮·卡門(mén)曲線(xiàn).這里我們考慮一個(gè)截面半徑R=1 m，長(zhǎng)度L=2 m的馮·卡門(mén)曲線(xiàn),如圖2(a)所示.這時(shí)截面半徑關(guān)于橫坐標(biāo)的函數(shù)可寫(xiě)為

(3)

與球面的流體阻力分析相似，取微分截面

dS=2πrdr

根據(jù)截面方程的導(dǎo)函數(shù)可以得到每一個(gè)x位置(x∈[0,2])的切線(xiàn)斜率，如圖2(b)所示，進(jìn)而可得切線(xiàn)與橫軸的夾角.馮·卡門(mén)曲線(xiàn)式(3)的導(dǎo)數(shù)

(4)

圖2

在x處取值，便可得到該位置散射角

θ(x)=acrtanr′(x)

圖3 散射角以及單個(gè)分子碰撞的動(dòng)量變化

假設(shè)單位體積空氣分子數(shù)n，車(chē)體速度為v，在dt時(shí)間內(nèi)，將有N個(gè)分子撞上該微分截面.

N=nvdt2πr(x)dr(x)

該時(shí)間里總動(dòng)量的變化

總動(dòng)量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)函數(shù)即為空氣阻力

將各函數(shù)表達(dá)式代入，取車(chē)體運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，得到定積分項(xiàng)的具體函數(shù)值為-1.21280(單位：m2),即為馮·卡門(mén)曲線(xiàn)型車(chē)頭的空氣阻力系數(shù)，記作ε2.從中我們可以看到以馮·卡門(mén)曲線(xiàn)做為迎風(fēng)面時(shí)的空氣阻力大約為相同截面積的球體的三分之一.

圖4 利用幾何畫(huà)板定積分功能求定積分值(陰影面積為定積分值)

2.3小結(jié)

討論迎面碰撞，可以得到較為簡(jiǎn)單的阻力形式，空氣阻力公式可以寫(xiě)成

F(ρ,v)=ερv2

(5)

在后文空氣制動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中則需要討論空氣密度變化時(shí)的車(chē)體阻力變化.系統(tǒng)分析與大量實(shí)驗(yàn)測(cè)量給出的結(jié)果是：空氣阻力關(guān)于速度的函數(shù)應(yīng)為

圖5 正比于速度平方阻力的速度-時(shí)間和位置-時(shí)間圖像f(v)=αv+βv2

其中一次項(xiàng)為接觸面與空氣摩擦生熱帶來(lái)的阻力，高次項(xiàng)為碰撞帶來(lái)的阻力.當(dāng)速度足夠大時(shí)，高次項(xiàng)的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于低次項(xiàng).因此，本文章中可以將由于粘滯和熱傳導(dǎo)所帶來(lái)的阻力忽略不計(jì).工程中，由于粘滯和熱傳導(dǎo)帶來(lái)的阻力需要更進(jìn)一步的討論，必要時(shí)需進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)測(cè)定以提高工程的準(zhǔn)確性.

只在這種正比于速度平方的阻力影響下，物體的速度-時(shí)間圖像與位置-時(shí)間圖像如圖5(a)與(b)所示.

3 對(duì)真空管道空氣制動(dòng)系統(tǒng)的初步設(shè)計(jì)

3.1制動(dòng)區(qū)段的簡(jiǎn)介

如圖6所示，在真空管道末端設(shè)立一個(gè)可獨(dú)立密閉的減速區(qū)段，該區(qū)段通過(guò)填充空氣提供減速時(shí)的阻力，通過(guò)改變充氣孔空氣流速來(lái)調(diào)節(jié)區(qū)段內(nèi)空氣密度，進(jìn)而使阻力保持恒定.運(yùn)行區(qū)段和制動(dòng)區(qū)段的連接處通過(guò)密封性良好的閥門(mén)系統(tǒng)連接，使得該充氣區(qū)段的氣體不流入管道的真空部分中.

圖6 制動(dòng)區(qū)段簡(jiǎn)圖

3.2氣孔空氣流速的計(jì)算

制動(dòng)系統(tǒng)需要通過(guò)改變空氣密度來(lái)控制阻力的恒定.引入了空氣密度的變化，阻力就變成了關(guān)于密度、相對(duì)速度的二元函數(shù)式(5).

根據(jù)需要，令其中F為常量，即F=ma(m因車(chē)體材料不同而不同).

若考慮加速度a=5 m/s2，管道直徑d=3 m，則減速區(qū)域理論長(zhǎng)度和體積為

假設(shè)車(chē)體的質(zhì)量為10 t，選擇馮·卡門(mén)曲線(xiàn)作為車(chē)頭形狀，所需要的空氣密度ρ是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)

若設(shè)置n個(gè)氣孔，則每個(gè)氣孔的空氣流速為

其中ρ0是氣囊中空氣的密度(假設(shè)充氣不影響氣囊中空氣密度).將氣孔呈輻射對(duì)稱(chēng)狀均勻分布在管道上，可以減少充氣時(shí)帶來(lái)的車(chē)體震動(dòng).減速初期，空氣流速應(yīng)逐漸變大，從而使車(chē)體的加速度不存在突變現(xiàn)象.

3.3對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)的簡(jiǎn)要說(shuō)明

動(dòng)力系統(tǒng)可設(shè)置為上下兩層超導(dǎo)磁懸浮軌道，如圖7所示，雙層軌道可提升車(chē)輛的穩(wěn)定性.

1 朗道.理論物理學(xué)教程(第一卷)力學(xué)(第5版).北京：高等教育出版社,1987

2 張耀平.ETT:處在科技前沿的下一代運(yùn)輸方式.綜合運(yùn)輸,2004(3):15～19

3 張晨愛(ài),李瑞琴，梅瑛，等.卡門(mén)曲線(xiàn)回轉(zhuǎn)體旋壓工藝參數(shù)優(yōu)選試驗(yàn)研究.機(jī)械設(shè)計(jì)與研究,2008,24(1):72～74

4 趙珊.馮·卡門(mén)曲線(xiàn)：妙曼身姿罩護(hù)天宮.中國(guó)航天報(bào),2011-09-30(04)

圖7 動(dòng)力系統(tǒng)的截面簡(jiǎn)圖

2017-01-16)

張銘浩(2001- )，男，在讀高中生.