安娜

與圓有關(guān)的中考壓軸題

安娜

中考壓軸題具有選拔性的功能，因而問題往往綜合性強(qiáng)，難度大，對解題方法、技巧要求高.近年來，中考壓軸題大多由二次函數(shù)、圓、方程、三角函數(shù)等內(nèi)容綜合而成.本文主要從以下幾點(diǎn)透視近幾年的中考數(shù)學(xué)題中圓的相關(guān)計(jì)算與證明，為迎戰(zhàn)中考打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

一、圓的基本性質(zhì)

例1（2016·連云港）如圖1，正十二邊形A1A2…A12，連接A3A7，A7A10，則∠A3A7A10=______°.

圖1

圖2

【解析】如圖2，設(shè)正十二邊形的外接圓的圓心為O，連接A10O和A3O，

∴∠A3OA10=×360°=150°，

∴∠A3A7A10=75°，故答案為75°.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正多邊形及其外接圓的性質(zhì)和圓周角定理，做出適當(dāng)?shù)妮o助線，還考查了數(shù)形結(jié)合思想.

例2（2014·南通）如圖3，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在⊙O上，MD恰好經(jīng)過圓心O，連接MB.

（1）若CD=16，BE=4，求⊙O的直徑；

（2）若∠M=∠D，求∠D的度數(shù).

圖3

【解析】（1）∵AB⊥CD，AB為⊙O的直徑，CD=16，∴CE=DE=8，設(shè)OB=x，又∵BE=4，∴OE=x-4，在Rt△OED中，∴x2=（x-4）2+82，解得：x=10，∴⊙O的直徑是20.

（2）∵∠M=∠BOD，∠M=∠D，

∴∠D=∠BOD，∵AB⊥CD，

∴∠D+∠DOB=90°，∴∠D=30°.

【點(diǎn)評】本題主要考查垂徑定理及其推論，屬于中考題中的高頻題.

二、與圓有關(guān)的位置關(guān)系

例3（2016·連云港）如圖4，在網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位）選取9個(gè)格點(diǎn)（格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)）.如果以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，則r的取值范圍為（）.

圖4

【解析】如圖5，∵AD=2 2，AE=AF=，∴AB＞AE＞AD.

圖5

∴當(dāng)17＜r＜3 2時(shí)，以A為圓心，r為半徑畫圓，選取的格點(diǎn)中除點(diǎn)A外恰好有3個(gè)在圓內(nèi)，故選B.

【點(diǎn)評】本題主要考查點(diǎn)與圓有關(guān)的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)，考查分析能力，畫圖、用圖能力，難度中等.

例4（2016·揚(yáng)州）如圖6，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作⊙O的切線交AC于點(diǎn)D，且ED⊥AC.

（1）試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）如圖7，若線段AB、DE的延長線交于點(diǎn)F，∠C=75°，CD=2-3，求⊙O的半徑和BF的長.

圖6

圖7

【解析】（1）△ABC為等腰三角形.

理由：如圖8，連接OE，在⊙O中，OE=OB，

圖8

∴∠OEB=∠OBE，

∵DE是⊙O的切線，

∴∠OED=90°，

∵ED⊥AC，

∴∠ADE=90°，

∴∠ADE=∠OED=90°，

∴OE∥AC，

∴∠OEB=∠C，

∵∠OEB=∠B，

∴∠B=∠C，∴AC=AB，

∴△ABC為等腰三角形.

（2）如圖9，過點(diǎn)B作BH⊥DF，連接OE，

圖9

∵AC⊥DF，∴BH∥AC，∠EBH=∠C，

由（1）知∠CDE=∠BHE=90°，BE=CE，

∴△CDE≌△BHE（AAS），

∴CD=BH=2-3，

∵∠HBF=180°-∠OBE-∠EBH=180°-75°-75°=30°，

∴∠F=90°-30°=60°，

在Rt△BFH中，BF=

設(shè)OE=x，在Rt△OEF中，sin60，解得x=2，

故⊙O的半徑為2，BF的長為

【點(diǎn)評】本題以三角形與圓為背景，考查了切線的性質(zhì).由定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連接過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系，簡記為：見切點(diǎn)，連半徑，現(xiàn)垂直.其中銳角三角函數(shù)的知識(shí)將在以后的章節(jié)中學(xué)習(xí).

三、與圓有關(guān)的計(jì)算

例5（2016·連云港）如圖10，⊙P的半徑為5，A、B是圓上任意兩點(diǎn)，且AB=6，以AB為邊作正方形ABCD（點(diǎn)D、P在直線AB兩側(cè)）.若AB邊繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，則CD邊掃過的面積為_______.

圖10

【解析】如圖11，連接PA，PD，過點(diǎn)P作PE垂直AB于點(diǎn)E，延長PE交CD于點(diǎn)F.

圖11

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB∥CD，AB=BC=6，

又∵PE⊥AB，∴PF⊥CD，

∴EF=BC=6，DF=AE=3，

PF=PE+EF=4+6=10.

在Rt△PFD中，PF=10，DF=3，∠PFD=90°，

∵若AB邊繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，則CD邊掃過的圓形為以PF為內(nèi)圓半徑、以PD為外圓半徑的圓環(huán)，

∴S=π?PD2-π?PF2=109π-100π=9π.

【點(diǎn)評】本題考查了垂徑定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及圓環(huán)的面積求法，解題的關(guān)鍵是分析出CD邊掃過的區(qū)域的形狀.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）