王磊

不再被“圓”困住

王磊

一、重點(diǎn)知識(shí)

“圓”的相關(guān)知識(shí)，是初中數(shù)學(xué)中非常重要的部分.其知識(shí)點(diǎn)密集、思維能力要求較高.為了便于同學(xué)們掌握，筆者將本章知識(shí)總結(jié)如下：

二、常見問(wèn)題

1.審題的精準(zhǔn)性.

有同學(xué)在審題時(shí)不認(rèn)真，沒(méi)有看清楚題目的內(nèi)容，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.防止這類問(wèn)題出現(xiàn)的方法是，在閱讀時(shí)放慢速度，在關(guān)鍵語(yǔ)句處做標(biāo)記，提高讀題的準(zhǔn)確度.

例1（2017·泰安）如圖1，△ABC內(nèi)接于⊙O，若∠A=α，則∠OBC等于（）.

A.180°-2αB.2α

C.90°+αD.90°-α

圖1

【分析】本題求的是∠OBC的度數(shù)，只需根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系，求出∠BOC的度數(shù)，再用三角形內(nèi)角和的知識(shí)，求出∠OBC即可.有部分同學(xué)由于沒(méi)有準(zhǔn)確理解題意，以為只是求∠A對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，錯(cuò)選了B答案.

【解答】因?yàn)椤螦=α，所以∠BOC=2α，由三角形內(nèi)角和知識(shí)可知，答案選D.

【點(diǎn)評(píng)】解決圓的問(wèn)題，要關(guān)注解題方法，可以采用邊閱讀邊標(biāo)記的方法，將題目的條件寫在圖像上.一般情況下，題目要多讀幾遍，確認(rèn)自己的理解是否與題目一致，這樣就可以有效防止主觀性錯(cuò)誤的發(fā)生.

2.方法的合理性.

在閱讀題目的時(shí)候，要思考其直接條件和隱性條件，梳理與之相關(guān)的常用解題方法，尤其是勾股定理、列方程等.

例2（2017·南京）過(guò)三點(diǎn)A（2，2），B（6，2），C（4，5）的圓的圓心坐標(biāo)為（）.

【分析】本題考查了位置的確定、三角形的相關(guān)知識(shí)，解決本題需要在平面直角坐標(biāo)系中，畫出三個(gè)頂點(diǎn)的位置，然后得到一個(gè)等腰三角形，在該三角形中，運(yùn)用勾股定理和方程思想，列出對(duì)應(yīng)方程，得到結(jié)果.本題的難點(diǎn)在于如何將數(shù)與形相結(jié)合，找到等量關(guān)系列出方程.

【解答】該圓心為D，由題意可知CD=AD，AC=BC.由“三線合一”可知：CE⊥AB.在Rt△ADE中，設(shè)AD=x，由勾股定理得：

x2=（3-x）2+22，解得：，即，所以D點(diǎn)坐標(biāo)為

【點(diǎn)評(píng)】在平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)用勾股定理是常用的一類解題思路.本題的難點(diǎn)在于，我們平時(shí)很少在這樣的環(huán)境下求圓心的坐標(biāo)，能否將圓的半徑AD看成Rt△ADE的斜邊，利用勾股定理，列方程求解是關(guān)鍵.要能迅速地解決此類問(wèn)題，需要一定量的練習(xí)，同時(shí)，要學(xué)會(huì)用方程思想分析問(wèn)題.

3.邏輯的科學(xué)性.

圓與數(shù)學(xué)中其他知識(shí)的聯(lián)系性比較強(qiáng)，解決問(wèn)題時(shí)，需要較高的思維量，這就需要清晰的思路、靈活的思維，做到手到、眼到、腦到，要學(xué)會(huì)把握題目中的關(guān)鍵條件，科學(xué)地尋找解決問(wèn)題的切入口.

例3（2017·泰州）如圖2，⊙O的直徑AB=12cm，C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CP與⊙O相切于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作弦BD∥CP，連接PD.

（1）求證：點(diǎn)P為弧BD的中點(diǎn)；

（2）若∠C=∠D，求四邊形BCPD的面積.

圖2

【分析】本題考查了垂徑定理、切線的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的相關(guān)知識(shí)和三角形的部分知識(shí).因此，本題具有較強(qiáng)的綜合性，重點(diǎn)考查了思維的敏捷性.問(wèn)題（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，連接PO，運(yùn)用垂徑定理即可證明；對(duì)于問(wèn)題（2），首先證明△COP?△BAD，得到CO= AB=12cm，再由勾股定理求CP的長(zhǎng)，進(jìn)而求出平行四邊形的高，最后求得平行四邊形的面積.

【解答】（1）證明：連接OP，交BD于點(diǎn)E，因?yàn)镃P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥CP，因?yàn)镈B∥CP，所以O(shè)P⊥BD，所以，所以點(diǎn)P為的中點(diǎn).

（2）解：連接AD，因?yàn)锳B是直徑，所以∠ADB=90°=∠OPC.因?yàn)锽D∥CP，所以∠C=∠DBA，因?yàn)椤螩=∠BDP，所以DP∥BC，所以四邊形BCPD是平行四邊形，所以DB=CP，所以△COP?△BAD，得到CO=AB=12（cm），因?yàn)镺P=6（cm），所以CP=6 3（cm），因?yàn)镈B∥CP，CB=OB，所以PE=OE=3（cm），所以SBCPD=

【點(diǎn)評(píng)】數(shù)學(xué)解題能力的提升，不能僅僅依賴題海戰(zhàn)術(shù)，更要學(xué)會(huì)提煉解題思想和方法，反思解題過(guò)程，將數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為自己的解題能力.我們?cè)诮鉀Q與圓相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，需要自己在熟練掌握基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，理清思路，合理地選擇解題方法，冷靜地思考、仔細(xì)地觀察、積極地探索，從而形成敏捷的思維，找到問(wèn)題的切入口，順藤摸瓜，在不斷的發(fā)現(xiàn)中解決問(wèn)題.

（作者單位：江蘇省連云港市海州實(shí)驗(yàn)中學(xué)）