金紅蓮

摘要：導(dǎo)數(shù)作為高中新教材新增內(nèi)容之一，它給高中數(shù)學(xué)增添了活力，特別是導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用性，為解決函數(shù)、切線、不等式、數(shù)列等問題帶來了新思路、新方法，為我們展現(xiàn)出一道靚麗的風(fēng)景線，也使它成為新教材高考命題的熱點。近幾年高考命題趨勢表明：導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由以往的“配角”地位上升到“主角”地位，成為分析問題和解決問題的重要工具。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；高中數(shù)學(xué)；新課程；地位與作用

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）07-0116

導(dǎo)數(shù)（“導(dǎo)函數(shù)”的簡稱）是一類特殊的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可以求曲線的切線，判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題等。導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用很廣，所以，導(dǎo)數(shù)是分析和解決問題的有效工具。本文通過探討導(dǎo)數(shù)在新課程中的地位以及在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，以拓展學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生分析和解決問題的能力。

高中數(shù)學(xué)是由必修課程和選修課程兩部分構(gòu)成。必修課程是整個高中數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，選修課程是在完成必修課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，希望進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生根據(jù)自己的興趣選修。選修課程由系列1、2、3、4等組成，在系列1和2中都選擇了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。顯然，導(dǎo)數(shù)的重要性不言而喻。

一、有利于學(xué)生理解函數(shù)的性質(zhì)

在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)時，主要學(xué)習(xí)函數(shù)的定義域、解析式、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性等。我們知道，函數(shù)的這些性質(zhì)都可以通過函數(shù)的圖像表示出來。因而，如果能準(zhǔn)確作出函數(shù)的圖像，函數(shù)的性質(zhì)就一目了然。

如果所涉及的函數(shù)是基本初等函數(shù)，用描點法就可以作出函數(shù)的圖像。但是，如果所涉及的函數(shù)是非基本初等函數(shù)，如函數(shù)y=x2-2x2+x-1，y=ex-x-1等，僅用描點法就很難準(zhǔn)確地作出圖像。但是，掌握了導(dǎo)數(shù)的知識之后，學(xué)生就可以利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點和最值點；利用極限思想找出其水平漸近線和垂直漸近線，然后再結(jié)合描點法，就能較為準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖像。這樣就有利于學(xué)生理解函數(shù)的性質(zhì)，同時也拓寬了學(xué)生的知識面。

1. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式

用解析式表示函數(shù)的關(guān)系，便于研究函數(shù)的性質(zhì)，而利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的解析式，函數(shù)的一些基本性質(zhì)就會顯得更加清晰。

例1. 設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點為P點，且曲線在P點處的切線方程為12x-y-4=0，若函數(shù)在x=2處取得極值0，試確定函數(shù)的解析式。

解析：因為函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d的圖像與y軸交點為P點，所以，P點的坐標(biāo)為（0，d），又曲線在P點處的切線方程為y=12x-4，P點坐標(biāo)適合方程，從而得：d=-4，又切線斜率k=12，故在x=0處的導(dǎo)數(shù)y′ x=0 =12，而y′=3ax2+2bx+c，y′ x=0 =c，從而得出：c=12，又函數(shù)在x=2處取得極值0，所以，

12a+4b+12=08a+4b+20=0

解得：a=2，b=-9。

所以，函數(shù)解析式為y=2x3-9x2+12x-4

2. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)，運用導(dǎo)數(shù)知識來討論函數(shù)單調(diào)性時，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需考慮f ′（x）的正負即可，當(dāng)f ′（x）>0時，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)f ′（x）<0時，f（x）單調(diào)遞減。

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：①確定f（x）的定義域；②求導(dǎo)數(shù)；③在函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)解不等式f ′（x）>0和f ′（x）<0；④確定f（x）的單調(diào)區(qū)間。

若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。

此方法簡單快捷且適用面廣。

例2. 求函數(shù)f（x）=x3-3x2+3的單調(diào)區(qū)間。

解析：求導(dǎo)數(shù)y′，y′=3x2-6x

由y′>0得：3x2-6x>0，解得：x<0或x>2

由y′<0得：3x2-6x<0，解得：0

故所求單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0）∪（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，2）

3. 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最（極）值

求函數(shù)的最（極）值是高中數(shù)學(xué)的難點，也是高考經(jīng)常考查的內(nèi)容之一，它涉及函數(shù)知識的很多方面，用導(dǎo)數(shù)解決這類問題可以使解題過程簡化，步驟清晰。

一般地，函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，則f（x）在[a，b]上的最值求法：（1）求f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的極值；（2）將y=f（x）的各極值與端點處函數(shù)值 f（a）、f（b）比較，其中，最大的一個為最大值，最小的一個為最小值。求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：①確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f ′（x）；②求f ′（x）=0的所有實數(shù)根；③判斷在每個根（如x0）的左右兩側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f ′（x）的符號如何變化。如果f ′（x）的符號左正右負，則f（x0）是極大值；如果f ′（x）符號左負右正，則f（x0）是極小值。

注意：如果f ′（x）=0的根x=x0的左右側(cè)符號不變，則f（x0）不是極值。

例3. 設(shè)函數(shù)f（x）=ln（2x+3）+x2，求f（x）在區(qū)間[-■，■]的最大值和最小值。

解析：依據(jù)題意可得：f（x）的定義域為（-■，+∞）

求得導(dǎo)數(shù)為f ′（x）=■+2x=■=■

當(dāng)f ′（x）>0時，解得：-■-■

當(dāng)f ′（x）<0時，解得：-1

從而，f（x）分別在區(qū)間（-■，-1），（-■，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，-■）上單調(diào)遞減。

由此可知，f（x）在區(qū)間[-■，-■]的最小值為f（-■）=ln2+■

又f（-■）-f（■）=ln■+■-ln■-■=ln■+■=■（1-ln■）<0

（上接第116頁）

所以，f（x）在區(qū)間[-■，-■]的最大值為f（■）=■+ln■

所以，f（x）在區(qū)間[-■，-■]的最大值為f（■）=■+ln■，最小值為f（-■）=ln2+■

例4. 求函數(shù)f ′（x）=■x3-4x+4 的極值。

解析：由f ′（x）=x2-4=0，解得：x=2或x=-2

當(dāng)y′>0時，解得：x∈（-∞，-2）或（2，+∞）

當(dāng)y′<0時，解得：x∈（-2，2）

從而，f（x）在區(qū)間（-∞，-2），上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-2，2）上單調(diào)遞減。所以，

當(dāng)x=-2時，y有極大值，f（-2）=■

當(dāng)x=2時，y有極小值，f（2）=-■

二、有利于學(xué)生理解曲線的切線問題

學(xué)生由于受“圓上某點的切線”定義的影響，誤認為曲線在某點處的切線，就是與曲線有一個公共點的直線。如果學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義后，學(xué)生就知道f（x）在點x=x0的切線斜率k，正是割線斜率在x→x0時的極限，即k=lim■

由導(dǎo)數(shù)的定義，k=f ′（x），所以，曲線y=f（x）在點（x0，y0）的切線方程是y-y0=f ′（x0）（x-x0）

這就是說，函數(shù)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f ′（x0）是曲線y=f（x）在點（x0，y0）處的切線斜率。

從而學(xué)生就掌握了切線的一般定義：設(shè)有曲線C及曲線上的一點P，在點P外另取曲線上一點Q，作割線PQ，當(dāng)點Q沿曲線趨向點P時，如果割線PQ繞點P旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置PT，那么PT直線就稱為曲線C在點P處的切線。

1. 利用導(dǎo)數(shù)解決曲線上某點的切線問題

函數(shù)y=f（x）在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線的斜率，即曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處切線的斜率f ′（x0），相應(yīng)的切線方程為y-f（x0）=f ′（x0）（x-x0）

例5. 已知曲線f（x）=x3-3x2-1，過點（1，-3）作其切線，求切線方程。

解析：判斷可知，點（1，-3）在曲線上，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：y′=3x2-6x

當(dāng)x=1時，y′=-3，即所求切線的斜率為-3

故所求切線的方程為y+3=-3（x-1），即y=-3x

2. 利用導(dǎo)數(shù)解決曲線外某點的切線問題：

要求曲線外某點的切線方程，應(yīng)先設(shè)出切點坐標(biāo)，表示出切線方程，把已知點代入方程，求出切點坐標(biāo)后，再求切線方程。

例6. 求曲線y=ex在原點處的切線方程。

解析：顯然，點（0，0）不在曲線y=ex上，由于y′=ex，則：

設(shè)切點坐標(biāo)為P（x0，y0），所以，y0=ex0

則過點P的切線方程為y-ex0=ex0（x-x0）

因為點（0，0）在切線上，所以，-ex0=ex0（-x0），即x0=1，所以，切點為P（1，e）

故切線方程為y-e=e（x-1），即y=ex

三、有利于學(xué)生掌握函數(shù)思想

數(shù)學(xué)中許多問題用初等數(shù)學(xué)方法是不能解決的，而通過數(shù)學(xué)模型建立函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)思想，然后用導(dǎo)數(shù)來研究其性質(zhì)，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具性和應(yīng)用性的作用，可以輕松簡捷地獲得問題的解決，這也正是體現(xiàn)和顯示了新課程的優(yōu)越性。我們不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是建立在中學(xué)數(shù)學(xué)知識和導(dǎo)數(shù)之間的一座橋梁，不管是在證明不等式，解決數(shù)列求和的有關(guān)問題，以及解決一些應(yīng)用問題，我們都可以構(gòu)造函數(shù)模型，并且利用導(dǎo)數(shù)來解決相關(guān)問題。

總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題時使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值以及切線等問題。因此，在高中階段為學(xué)生開設(shè)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用具有深刻的意義。

（作者單位：湖北省枝江市第一高級中學(xué) 443200）endprint