李根，吳錦武

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鋪設(shè)角度與鋪層順序?qū)雍习宸€(wěn)定性的影響

李根，吳錦武

(南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院，江西南昌330063)

以層合板結(jié)構(gòu)的臨界屈曲載荷系數(shù)最大化為優(yōu)化目標(biāo)，基于改進(jìn)型模擬退火算法對(duì)層合板結(jié)構(gòu)鋪設(shè)角度和鋪層順序進(jìn)行優(yōu)化。由于層合板結(jié)構(gòu)的鋪層角度是離散變量，模擬退火算法適合求解離散變量的優(yōu)化問(wèn)題。利用模擬退火算法優(yōu)化層合板鋪層，在算法內(nèi)采用并行計(jì)算、引入記憶功能同時(shí)設(shè)置雙閾值終止準(zhǔn)則，有效地提高了優(yōu)化過(guò)程的收斂速度，同時(shí)避免優(yōu)化過(guò)程中出現(xiàn)局部最優(yōu)解。以臨界屈曲載荷系數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，選取復(fù)合材料層合板的鋪設(shè)角度順序?yàn)樵O(shè)計(jì)變量，采用改進(jìn)的模擬退火算法得出復(fù)合材料層合板的最優(yōu)鋪設(shè)角度以及鋪層順序。

模擬退火算法；臨界屈曲載荷系數(shù)；鋪層優(yōu)化；層合板

0 引言

由于復(fù)合材料具有比強(qiáng)度高、比剛度大、比彈性模量高等性質(zhì)，廣泛應(yīng)用于航空航天等結(jié)構(gòu)的承載構(gòu)件[1]。結(jié)構(gòu)件的穩(wěn)定性即屈曲問(wèn)題是影響構(gòu)件承載能力的決定性因素。因此研究復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性至關(guān)重要[2]。

不同的鋪設(shè)角度以及鋪層順序影響復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)的剛度，從而引起層合板結(jié)構(gòu)的屈曲強(qiáng)度。近年來(lái)，以層合板穩(wěn)定性為優(yōu)化目標(biāo)、鋪設(shè)角度為設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究越來(lái)越多。如基于遺傳算法和蟻群算法對(duì)層合板的屈曲進(jìn)行了鋪層優(yōu)化[3-4]，多種算法相結(jié)合對(duì)層合板的穩(wěn)定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化[5-6]。上述研究成果中多數(shù)基于遺傳算法、蟻群算法等進(jìn)行優(yōu)化分析，而模擬退火算法相比遺傳算法等具有局部搜索能力強(qiáng)、運(yùn)行時(shí)間較短等優(yōu)點(diǎn)，已被越來(lái)越多的研究人員用于解決層合板的結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。如利用模擬退火算法并采用整數(shù)編碼方式對(duì)層合板的屈曲載荷系數(shù)進(jìn)行鋪層優(yōu)化[7]。Karakaya[8]等人計(jì)算了層合板的固有頻率和臨界屈曲載荷系數(shù)，然后將遺傳算法與模擬退火算法相結(jié)合，以層合板的基頻、屈曲為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行了鋪層優(yōu)化。Deng[9]等人分析了層合板的振動(dòng)特性，然后利用模擬退火算法優(yōu)化層合板的鋪層厚度。Akbulut[10]等人在經(jīng)典模擬退火算法的基礎(chǔ)上對(duì)參數(shù)進(jìn)行了適當(dāng)調(diào)整，得到一種新型模擬退火算法并對(duì)層合板的鋪層厚度進(jìn)行了優(yōu)化。

本文對(duì)經(jīng)典模擬退火算法進(jìn)行改進(jìn)，解決搜索能力差等缺點(diǎn)，同時(shí)針對(duì)以臨界屈曲載荷系數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的經(jīng)典模擬退火算法存在計(jì)算工作量大、計(jì)算效率偏低以及全局搜索目標(biāo)函數(shù)等特點(diǎn)，選取復(fù)合材料層合板的鋪設(shè)角度順序作為設(shè)計(jì)變量，重點(diǎn)討論不同的載荷比、不同長(zhǎng)寬比以及不同鋪層厚度時(shí)的最優(yōu)鋪設(shè)結(jié)果。

1 層合板穩(wěn)定性分析

假設(shè)層合板受中面壓縮與剪切載荷作用示意圖如圖1所示，其中和為層合板橫截面上單位長(zhǎng)度的內(nèi)力(即拉力、壓力或剪切力)，和為矩形層合板的長(zhǎng)和寬。

層合板在偏離平衡狀態(tài)下的屈曲平衡方程為[2]

(2)

(3)

假設(shè)層合板為四邊簡(jiǎn)支正交各向異性對(duì)稱，其屈曲微分方程為

(5)

通過(guò)選取不同的和可得到一系列的值，其中最小的值即為層合板的臨界屈曲載荷，顯然當(dāng)時(shí)有最小值，得到臨界屈曲載荷為

(7)

式中，方向的屈曲半波數(shù)大小取決于層合板的剛度以及長(zhǎng)寬比/的關(guān)系，根據(jù)最小值條件，求解下式：

可得到：

(9)

將式(9)代入到式(7)中，可得：

從式(9)可知：最小屈曲載荷對(duì)應(yīng)長(zhǎng)寬比/的整數(shù)倍。根據(jù)壓桿穩(wěn)定臨界理論可知：個(gè)半波數(shù)與個(gè)半波數(shù)對(duì)應(yīng)同一個(gè)臨界屈曲載荷，即

(11)

求解得到：

(13)

當(dāng)給定了長(zhǎng)寬比和主彎曲剛度比，根據(jù)式(13)可判斷出屈曲半波數(shù)。

如圖2所示的層合板加載形式中，層合板四邊分別受到和方向的均勻面內(nèi)載荷和，其中是載荷因子，、是施加的載荷，且滿足：，則當(dāng)層合板發(fā)生屈曲時(shí)，相應(yīng)的屈曲載荷系數(shù)為

(15)

2 模擬退火算法的改進(jìn)

為了克服經(jīng)典模擬退火算法的計(jì)算工作量大、計(jì)算效率偏低以及結(jié)果精度不高的缺點(diǎn)，本文對(duì)其算法進(jìn)行如下改進(jìn)：

(a) 將并行搜索的思想引入到模擬退火算法中來(lái)加快搜索速度。由于模擬退火算法是一種串行計(jì)算的優(yōu)化算法，經(jīng)典模擬退火算法在每一步循環(huán)中都會(huì)搜索當(dāng)前狀態(tài)下鄰域中的隨機(jī)點(diǎn)，從而大大增加了算法的運(yùn)算量。為了解決這一問(wèn)題，引入并行搜索的思想。

(b) 在算法的搜索過(guò)程中引入記憶功能。經(jīng)典模擬退火算法中若想得到全局最優(yōu)解，則需要同時(shí)滿足初始溫度足夠高、溫降過(guò)程足夠緩慢并且在每一溫度下進(jìn)行的抽樣較多，最終溫度趨于零。但是全局收斂仍然較難以實(shí)現(xiàn)，并且通過(guò)接受概率得到的最優(yōu)狀態(tài)可能會(huì)比搜索軌跡中的某些其它中間狀態(tài)還要差，導(dǎo)致最終得到的解和最優(yōu)解偏差較大。所以為了不丟失目前的最好狀態(tài)點(diǎn)并提高搜索效率，本文在算法的搜索過(guò)程中引入記憶功能，即在模擬退火算法的搜索過(guò)程中保留了期間最優(yōu)解，并且隨著搜索進(jìn)程及時(shí)更新。

(c) 采用雙閾值設(shè)置算法的內(nèi)循環(huán)和外循環(huán)的終止準(zhǔn)則，即在每一溫度下的當(dāng)前狀態(tài)連續(xù)100次保持不變時(shí)則認(rèn)為Metropolis抽樣穩(wěn)定，在溫降過(guò)程中所得到的最優(yōu)解連續(xù)10次溫降都變化非常小時(shí)則認(rèn)為算法收斂，此時(shí)終止計(jì)算輸出結(jié)果。改進(jìn)的模擬退火算法在盡量保持解的最優(yōu)性的前提下減少了計(jì)算量，大大提高了效率。

3 層合板穩(wěn)定性優(yōu)化模型

將層合板的臨界屈曲載荷系數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)，以層合板的鋪設(shè)角度作為設(shè)計(jì)變量，層合板臨界屈曲載荷系數(shù)最大化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：

JLBS微小拉壓力傳感器采用了箔式應(yīng)變片貼在合金鋼彈性體上，承受拉、壓力均可，具有測(cè)量精度高、穩(wěn)定性能好、溫度漂移小、輸出對(duì)稱性好、結(jié)構(gòu)緊湊等特點(diǎn)。通過(guò)查閱技術(shù)手冊(cè)，可以得到此壓力傳感器的綜合精度為R=0.05%F·S，量程為M=25N。

4 數(shù)值分析

4.1 改進(jìn)SA算法與經(jīng)典SA算法的對(duì)比

首先用經(jīng)典模擬退火算法(如圖3所示)以臨界屈曲載荷系數(shù)作為目標(biāo)函數(shù)對(duì)層合板進(jìn)行鋪層角度優(yōu)化，再利用改進(jìn)的模擬退火算法對(duì)層合板進(jìn)行鋪層角度優(yōu)化，通過(guò)對(duì)比兩者的優(yōu)化結(jié)果和迭代過(guò)程來(lái)分析改進(jìn)后的模擬退火算法的優(yōu)越性。

表1 x方向軸壓時(shí)層合板優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

表2 y方向軸壓時(shí)層合板優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

由表1和表2可知：和方向軸壓時(shí)層合板最優(yōu)鋪層角度不同，同時(shí)改進(jìn)后的算法的計(jì)算精度較經(jīng)典算法要高17%左右，改進(jìn)后的算法優(yōu)化效果明顯。

(a) 經(jīng)典SA算法

(b) 改進(jìn)SA算法

圖4方向承受軸壓時(shí)兩算法的迭代過(guò)程

Fig.4 Iteration processes of two algorithms in thedirection of axial compression

(a) 經(jīng)典SA算法

(b) 改進(jìn)SA算法

圖5方向承受軸壓時(shí)兩算法的迭代過(guò)程

Fig.5 Iteration processes of two algorithms in thedirection of axial compression

表3 x和y方向同時(shí)軸壓時(shí)兩算法優(yōu)化對(duì)比

(a) 經(jīng)典SA算法

由表3和圖6可知：在和方向同時(shí)均施加載荷時(shí)，改進(jìn)后的模擬退火算法在迭代過(guò)程中收斂效果較好，而經(jīng)典算法由于沒(méi)有引入記憶功能導(dǎo)致在迭代計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)了局部最優(yōu)解，從而最終的優(yōu)化結(jié)果精度比改進(jìn)的算法低了20%左右。

4.2 不同載荷比時(shí)層合板的屈曲優(yōu)化

從表4可知：對(duì)于不同的載荷比，層合板最后的鋪層順序也不同。隨著載荷比增大，相應(yīng)的臨界屈曲載荷系越小。

表4 四邊簡(jiǎn)支時(shí)層合板優(yōu)化結(jié)果

(a)=0.125

(b)=0.15

(c)=0.20

(d)=1.00

圖7 簡(jiǎn)支板不同載荷比時(shí)的迭代過(guò)程

Fig.7 Iteration processes of simple support plate with differentvalues

另外由圖7可知：改進(jìn)的算法收斂情況總體上較好。即當(dāng)溫度降到約為10 ℃左右時(shí)，算法開(kāi)始趨于收斂，雖然之后仍會(huì)出現(xiàn)震蕩情況但其幅度已非常小，最終當(dāng)溫度降到約為3 ℃時(shí)，算法終止并獲得最優(yōu)解。在迭代過(guò)程中，雖然改進(jìn)的算法中引入了記憶功能，保留了每一溫度下的最優(yōu)解，但仍會(huì)出現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值的震蕩情況，主要是因?yàn)榻邮軠?zhǔn)則在鄰域隨機(jī)搜索時(shí)由于計(jì)算量大會(huì)造成搜索不均勻?qū)е碌木植孔顑?yōu)解，但對(duì)最終的優(yōu)化結(jié)果的影響不是很大，總體上較為滿意。

4.3 不同長(zhǎng)寬比時(shí)層合板的屈曲優(yōu)化

以4.1節(jié)中的四邊簡(jiǎn)支層合板為例，模擬退火算法初始溫度參數(shù)，鏈長(zhǎng)，指數(shù)退火衰減函數(shù)的溫降速率系數(shù)，和方向承受均勻軸壓。在不同長(zhǎng)寬比時(shí)層合板鋪層優(yōu)化結(jié)果如表5～7所示。

由表5和表7可知：(1) 不同厚度的層合板在不同長(zhǎng)寬比時(shí)，上下表層的纖維鋪設(shè)方向變化不大；(2) 鋪層越厚，層合板的臨界屈曲載荷則越大；(3) 在邊長(zhǎng)比為1時(shí)，上表層鋪設(shè)角度為±45°的鋪層有利于提高臨界屈曲載荷，而在邊長(zhǎng)比為1.5和2時(shí)，在層合板上表層連續(xù)鋪設(shè)三層90°的鋪層有利于提高臨界屈曲載荷；(4) 相比文獻(xiàn)[11]的遺傳算法結(jié)果，改進(jìn)模擬退火算法的優(yōu)化結(jié)果稍大，這是由于改進(jìn)的模擬退火算法對(duì)于層合板鋪設(shè)角度的優(yōu)化問(wèn)題有著較好的全局收斂性，得出的解更為精確。

表5 長(zhǎng)寬比等于1時(shí)層合板優(yōu)化結(jié)果

表6 長(zhǎng)寬比a/b=1.5層合板優(yōu)化結(jié)果

表7 長(zhǎng)寬比/=2層合板優(yōu)化結(jié)果

Table 5 Optimum results for a/b = 2

5 結(jié)論

(1) 通過(guò)對(duì)比改進(jìn)后模擬退火算法與經(jīng)典模擬退火算法的優(yōu)化結(jié)果，改進(jìn)后算法優(yōu)化計(jì)算結(jié)果要比經(jīng)典算法的結(jié)果高出17%～20%，說(shuō)明改進(jìn)后算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面有一定優(yōu)勢(shì)。

(2) 利用改進(jìn)的模擬退火算法對(duì)復(fù)合材料層合板的屈曲進(jìn)行鋪層優(yōu)化時(shí)，不同載荷比時(shí)算法收斂情況比較滿意，當(dāng)溫度下降到之后時(shí)趨于收斂，并在時(shí)得到最優(yōu)解；

(3) 在層合板不同鋪設(shè)層數(shù)條件下，四邊簡(jiǎn)支板在上下表層鋪設(shè)90°或0°的鋪層、同時(shí)在內(nèi)部鋪設(shè)較多層數(shù)的±45°鋪層時(shí)，可提高層合板的臨界屈曲載荷。

[1] 沈觀林，胡更開(kāi). 復(fù)合材料力學(xué)[M]. 北京：清華大學(xué)出版社，2013, 10. SHEN Guanlin, HU Gengkai. Composite material mechanic[M]. Beijing: Tsinghua University Press, 2013, 10.

[2] 吳連元. 板殼穩(wěn)定性理論[M]. 上海：上海交通大學(xué)出版社, 1989. WU Lianyuan. Stability theory of plates andshells[M]. Shanghai: Shanghai Jiaotong University Press, 1989.

[3] 唐文艷, 顧元憲, 趙國(guó)忠. 復(fù)合材料層合板鋪層順序優(yōu)化遺傳算法[J]. 大連理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2004, 44(2): 186-189. TANG Wenyan, GU Yuanxian, ZHAO Guozhong. Stacking-sequence optimization of composite laminated plates by genetic algorithm[J]. Journal of Dalian University of Technology, 2004, 44(2): 186-189.

[4] 穆朋剛, 趙美英, 劉關(guān)心, 等. 蟻群算法在復(fù)合材料層合板優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J]. 機(jī)械強(qiáng)度, 2009, 31(3): 410-413. MU Penggang, ZHAO Meiying, LIU Guanxin, et al. Ant colony algorithm for composite laminate plates design and optimization [J]. Journal of Mechanical Strength, 2009, 31(3): 410-413.

[5] 修英姝, 崔德剛. 復(fù)合材料層合板穩(wěn)定性的鋪層優(yōu)化設(shè)計(jì)[J]. 工程力學(xué), 2005, 22(6): 212-216. XIU Yingshu, CUI Degang. Ply optimization design for stability of composite laminates[J]. Engineering Mechanics, 2005, 22(6): 212- 216.

[6] Sükrü Karakaya, ?mer Soykasap. Buckling optimization of laminated composite plates using genetic algorithm and generalized pattern search algorithm[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2009, 39(5): 477-486.

[7] 洪厚全, 李玉亮, 徐超. 復(fù)合材料層合板屈曲優(yōu)化設(shè)計(jì)的模擬退火算法應(yīng)用[J]. 強(qiáng)度與環(huán)境, 2012(6): 8-13. HONG Houquan, LI Yuliang, XU Chao. Optimization of composite laminates for buckling by simulated annealing algorithm[J]. Structure& Environment Engineering, 2012(6): 8-13.

[8] Sükrü Karakaya, ?mer Soykasap. Natural frequency and buckling optimization of laminated hybrid composite plates using genetic algorithm and simulated annealing[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization, 2011, 43(1): 61-72.

[9] DENG Shigan, PAI Pingfeng, LAI ChihChiang, et al. A solution to the stacking sequence of a composite laminate plate with constant thickness using simulated annealing algorithms[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2005, 26(5/6): 499-504.

[10] Mustafa Akbulut, Fazil O. Sonmez. Design optimization of laminated composites using a new variant of simulated annealing[J]. Computers and Structures, 2011, 89(17): 1712-1724.

[11] 方秀珍. 復(fù)合材料層合板穩(wěn)定性的遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)研究[D]. 沈陽(yáng): 東北大學(xué), 2006.FANG Xiuzhen. Genetic algorithm optimization design of stability of composite laminates[D]. Shenyang: Northeastern University, 2006.

Influence of ply stacking sequence and ply laying angle on the stability of composite laminated plates

LI Gen, WU Jin-wu

(School of Aircraft Engineering, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, Jiangxi, China)

In order to maximize the critical buckling load coefficient, the ply stacking sequence and ply laying angle of laminated composite plate are optimized with improved simulated annealing algorithm in this paper. By using parallel computation and setting up double threshold the local optimal solution appeared in the process of optimization is avoided and meantime the rate of convergence is accelerated. Fiber laying angles and stacking sequence of composite laminates plate are chosen as design variables, and the design objective function is the critical compressive load. Comparative analyses show that the optimal ply stacking sequence and ply laying angle of laminated composite plate can be obtained with improved simulated annealing algorithm.

simulated annealing algorithm; critical buckling load coefficient; ply optimization; laminated composite plates

TB332；TH113.1

A

1000-3630(2017)-04-0371-07

10.16300/j.cnki.1000-3630.2017.04.013

2016-11-18;

2017-01-29

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51265038)

李根(1989－), 男, 寧夏銀川人, 博士研究生, 研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)振動(dòng)控制分析。

吳錦武, E-mail: wujinwu@nchu.edu.cn