樊建斌

所謂分類討論，主要指當(dāng)問(wèn)題所顯示的對(duì)象不能采取統(tǒng)一研究的方法進(jìn)行解答時(shí)，根據(jù)題目給出的分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，再逐類討論，最后對(duì)綜合性問(wèn)題做出完整解答.諸如此類先進(jìn)行分類，再進(jìn)行討論，把問(wèn)題“分而治之，逐個(gè)擊破”的思維方式就是分類討論的思想.其實(shí)質(zhì)也是一種化繁為簡(jiǎn)、化難為易的解題策略.

在數(shù)學(xué)思維中，分類討論思想占據(jù)著較為重要的地位，影響著學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)性知識(shí)的理解、對(duì)基礎(chǔ)性技能的掌握以及思維能力的發(fā)展、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成等.近年來(lái)，很多中考題都以考查分類討論思想為目的，但是得分率卻相對(duì)較低.究其緣由，一是教師對(duì)學(xué)生知識(shí)的生成關(guān)注過(guò)多，缺少對(duì)解題思維的滲透；二是教師側(cè)重對(duì)題型的討論，缺少對(duì)思想方法的提煉；三是教師注重學(xué)生系統(tǒng)知識(shí)的積累，缺少對(duì)思想方法的歸納.下面筆者從實(shí)際課堂教學(xué)出發(fā)，淺析初三階段數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中對(duì)學(xué)生分類討論思想的培養(yǎng)策略.

一、了解學(xué)生的認(rèn)知局限，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論意識(shí)

在著名的教育、發(fā)展心理學(xué)家皮亞杰看來(lái)，學(xué)習(xí)是人們構(gòu)建其內(nèi)部心理表征的一系列過(guò)程，因而學(xué)習(xí)者在這一活動(dòng)過(guò)程中并不是簡(jiǎn)單地將其外部的知識(shí)“搬運(yùn)”到記憶中，而是將原有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)，然后與外部的環(huán)境、條件發(fā)生相互作用，以此來(lái)構(gòu)建屬于自己的新圖式.在進(jìn)入初三的復(fù)習(xí)階段后，學(xué)生接觸的與分類討論相關(guān)的問(wèn)題已經(jīng)不在少數(shù)，但是仍有大部分學(xué)生缺少分類討論意識(shí)，不會(huì)運(yùn)用分類討論方法.為了逐步使學(xué)生養(yǎng)成分類討論的意識(shí)，教師應(yīng)在教學(xué)中遵循逐層遞進(jìn)、適時(shí)滲透、深化漸進(jìn)的原則.

（一）在思維展示中培養(yǎng)分類討論意識(shí)

當(dāng)碰上分類討論問(wèn)題時(shí)，教師應(yīng)先從了解學(xué)生的基礎(chǔ)性認(rèn)知能力入手，通過(guò)創(chuàng)設(shè)平臺(tái)，給足機(jī)會(huì)，引導(dǎo)、鼓勵(lì)學(xué)生，讓學(xué)生將解題思維過(guò)程與解題策略進(jìn)行自我表述，進(jìn)而使其不足與缺陷充分暴露，教師根據(jù)實(shí)際情況采取有針對(duì)性的指導(dǎo)措施.

例1：一個(gè)外角為110°的等腰三角形，它的3個(gè)內(nèi)角應(yīng)分別為多少？

這個(gè)題目看似簡(jiǎn)單，但答案并不唯一.答案一，分別為“70°、70°、40°”；答案二，分別為“55°、55°、70°”.大多數(shù)學(xué)生通常情況下只能找到一個(gè)答案，教師要引導(dǎo)學(xué)生分享自己的解答思路，從中找到其個(gè)人化的不足之處，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生分類討論的能力，避免“漏解”現(xiàn)象的發(fā)生.

（二）在自我探究中培養(yǎng)分類討論意識(shí)

初三階段的課堂教學(xué)要以學(xué)生的生理、心理階段性特征、認(rèn)識(shí)水平、知識(shí)結(jié)構(gòu)等為基礎(chǔ)，促使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中形成自我探究的意識(shí).

例2：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）均為y=■這一反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)，且x1>x2，那么y1與y2是什么關(guān)系？

對(duì)于這樣的題型，一般情況下，大多數(shù)學(xué)生會(huì)從“負(fù)數(shù)小于正數(shù)”入手，將x1放置在x軸的正方向上，將x2放置在x軸的負(fù)方向上，從而得到答案y1>y2.此時(shí)，只要教師提醒學(xué)生注意關(guān)鍵條件：x1>x2，學(xué)生可能馬上就會(huì)意識(shí)到其所在位置的特殊性——不確定性，發(fā)覺(jué)x1、x2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)可能會(huì)出現(xiàn)在x軸的正方向上，也可能出現(xiàn)在x軸的負(fù)方向上，進(jìn)而提升分類討論意識(shí).

二、正視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要教授學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)，更要注重對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng).因此在開展分類討論教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)正視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知能力開展教學(xué)活動(dòng)，同時(shí)，教師要關(guān)注學(xué)生的知識(shí)生成與發(fā)展過(guò)程，最終培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力.

（一）確定分類的對(duì)象

當(dāng)數(shù)學(xué)題中出現(xiàn)較為隱含的關(guān)系時(shí)，例如相等關(guān)系、不等關(guān)系，我們首先要將能確定關(guān)系的數(shù)量作為分類對(duì)象

例3：某超市自6月3日起就開始提供有償、可循環(huán)使用的環(huán)保購(gòu)物袋（3種），每只的售價(jià)不同，分別為1、2、3元，每只的最大容納量分別為3、5、8千克.6月10日那天，小紅和爸爸一起在該超市購(gòu)買了20千克的散裝大米，他們分別選購(gòu)了環(huán)保袋，總共3只，試問(wèn)他們應(yīng)付多少錢于所選購(gòu)的環(huán)保袋？

對(duì)于這個(gè)題目，教師可以引導(dǎo)學(xué)生先確定分類對(duì)象，如“選購(gòu)環(huán)保袋的總數(shù)為3只”，因而可以確定的數(shù)量是3，從而可以將其確定為分類對(duì)象.類似的，若題中出現(xiàn)的是關(guān)于直角三角形、平行四邊形、梯形等圖形時(shí)，我們可以從其邊長(zhǎng)或角度等入手，確定分類對(duì)象，進(jìn)而確定解題思路.

（二）選擇分類的標(biāo)準(zhǔn)

確定題中的分類對(duì)象是解題的前提，那么接下來(lái)就要確定分類標(biāo)準(zhǔn).根據(jù)問(wèn)題所給的條件、所涉及的概念、結(jié)論等內(nèi)容尋找題中分類的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn).如例3中，已將環(huán)保購(gòu)物袋的數(shù)量確定為3，選定分類標(biāo)準(zhǔn)：如題可知，3種購(gòu)物袋的價(jià)錢分別為1、2、3元，因而可能存在①3只均為1元或2元、3元；②有2只為1元，1只為2元；③2只為1元，1只為3元；④2只為2元，1只為1元等諸多情況.

（三）推理嚴(yán)密、不重不漏

確定分類的對(duì)象、選定分類的標(biāo)準(zhǔn)之后，要完成逐類求解，需要我們密切關(guān)注題中所給的條件以及所涉及的知識(shí)點(diǎn)，并結(jié)合嚴(yán)密、合理的推理，做到不重不漏.

例4：兩個(gè)三角板疊放在一起，將△AOB固定，讓△ACD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（α度），試問(wèn)當(dāng)△ACD的一邊與△AOB的一邊平行時(shí)，其角度應(yīng)為多少？（0<α<180）.

大多數(shù)學(xué)生選擇借助三角板進(jìn)行解題，結(jié)果往往會(huì)出現(xiàn)遺漏.教師可以指導(dǎo)學(xué)生注重審題與分析題干中的條件，例如角的范圍，進(jìn)而從多角度進(jìn)行討論，最終做到不重不漏.

三、對(duì)學(xué)生進(jìn)行專題性、系統(tǒng)性訓(xùn)練，提升其分類討論能力

分類思想的掌握不是一朝一夕的事，教師在教學(xué)中要重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行專題性、系統(tǒng)性的訓(xùn)練，進(jìn)而提升他們的分類討論能力.

（一）利用題中的不確定性字詞，捕捉隱含性信息

1.隱含點(diǎn)的不同位置

隱含點(diǎn)不同位置情況：（1）點(diǎn) A 在 x軸上（可能在正半軸，也可能在負(fù)半軸，或在原點(diǎn)）；（2）拋物線與x 軸間有公共點(diǎn)（可能是一個(gè)，也可能是兩個(gè)）等.

2.隱含線的不同位置

隱含線不同位置情況：（1）直線平移時(shí)與⊙O相切（可能是一次，也可能是兩次）；（2）函數(shù)圖像y=ax2-ax+3x+1 與 x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（沒(méi)有確定是何種函數(shù)，因而可能是一次函數(shù)，也可能是二次函數(shù)）等.

3.隱含圖的不同位置

隱含圖形不同位置情況：矩形ABCD在滑動(dòng)中被 x 軸分成兩部分，其面積比為 1∶4（不確定其上下兩部分的具體面積比值，可能是 1∶4，也可能是4∶1）等.

（二）借助圓規(guī)，尋找數(shù)形結(jié)合的捷徑

對(duì)于涉及到線段、角度等問(wèn)題的題目，可以提倡學(xué)生借助圓規(guī)等工具進(jìn)行解決.

例5：在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，其中點(diǎn)A、點(diǎn)B分別為A（-4，0）、B（2，0），若點(diǎn)C處于y=-■x+2上，那C點(diǎn)的坐標(biāo)是？

此題中，A、B、C三點(diǎn)均可能是直角的頂點(diǎn)，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因而可借助圓規(guī)、利用相關(guān)定義來(lái)畫圓，進(jìn)而將C點(diǎn)坐標(biāo)找出.

（三）重操作能力，降低分類討論難度

運(yùn)動(dòng)型、折疊型問(wèn)題極易在變化的過(guò)程中產(chǎn)生不同的結(jié)果，因而對(duì)大多數(shù)學(xué)生而言，難度相對(duì)較高，因而更需要采取分類討論的方法.例如教師可以鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手剪出與題中相同的圖形后按照其運(yùn)行軌道、折疊方式進(jìn)行操作.雖然這一方法在實(shí)際的解題中會(huì)受到限制，卻可以激發(fā)學(xué)生的積極性，增強(qiáng)其討論的興趣，有利于分類討論思維的形成.

“分類討論思想”不僅考查學(xué)生數(shù)學(xué)基本知識(shí)與方法的儲(chǔ)備情況，也考查學(xué)生思維的深刻性，作為初中階段的引導(dǎo)者，教師不可輕視其重要性，以學(xué)生的實(shí)際情況為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)適宜的習(xí)題訓(xùn)練，從而提高學(xué)生全面考慮問(wèn)題的能力以及數(shù)學(xué)思維的周密性與嚴(yán)謹(jǐn)性.endprint