陳言（福州格致中學(xué)，福建福州350001）

基于翻轉(zhuǎn)課堂的高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案設(shè)計與思考

陳言
（福州格致中學(xué)，福建福州350001）

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式顛轉(zhuǎn)了知識傳授和知識內(nèi)化的過程，基于翻轉(zhuǎn)課堂的高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案可以為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建平臺、提供“腳手架”，利用導(dǎo)學(xué)案中“導(dǎo)”的功能和“學(xué)”的任務(wù)可以為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、主動學(xué)習(xí)提供幫助，實現(xiàn)課前、課中、課后的有效學(xué)習(xí)。

翻轉(zhuǎn)課堂；導(dǎo)學(xué)案；設(shè)計與思考

一、引言

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式是信息時代在學(xué)習(xí)方式和教育模式上的一次創(chuàng)新，其特點是翻轉(zhuǎn)傳統(tǒng)的教學(xué)流程，將“課堂講解—課后作業(yè)”變?yōu)椤罢n前學(xué)習(xí)—課堂研究—課后拓展”的教學(xué)過程，其核心思想是“先學(xué)后教、以學(xué)定教”。在翻轉(zhuǎn)課堂里，學(xué)生掌握著學(xué)習(xí)的主動權(quán)，是知識的主動建構(gòu)者，但由于學(xué)生直接面對新內(nèi)容、新問題、新情境，這可能會給他們的學(xué)習(xí)帶來一定的困難，解決這一問題的有效抓手就是根據(jù)學(xué)生的實際情況合理設(shè)計導(dǎo)學(xué)案，為學(xué)生提供學(xué)習(xí)的支架、路線圖，提供自主學(xué)習(xí)與思考探究的問題情景，讓每位學(xué)生都能在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)自主探究、主動思考、獲取知識、發(fā)展能力。所謂導(dǎo)學(xué)案“是指教師通過對課標、教材、學(xué)情的深入研究，依據(jù)學(xué)生的認知水平、知識經(jīng)驗而編制的用于指導(dǎo)學(xué)生主動參與、合作探究的學(xué)習(xí)方案”。［1］目前，導(dǎo)學(xué)案在打造高效課堂方面以其特有的實效性受到廣大教師的關(guān)注，本文以“等比數(shù)列的前n項和”為例，介紹基于翻轉(zhuǎn)課堂的導(dǎo)學(xué)案設(shè)計，探究如何設(shè)計使用導(dǎo)學(xué)案。

二、課前學(xué)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

課前學(xué)習(xí)（前置學(xué)習(xí)）環(huán)節(jié)是學(xué)生獲取知識的環(huán)節(jié)，學(xué)生利用學(xué)習(xí)資料和微視頻學(xué)習(xí)，對新知識產(chǎn)生一個基本的認識，作為學(xué)習(xí)活動的組織者，教師應(yīng)認真研究教材和課程標準，明確學(xué)生應(yīng)達到的目標，合理安排前置學(xué)習(xí)的內(nèi)容，合理設(shè)計導(dǎo)學(xué)案，筆者對等比數(shù)列前n項和的前置學(xué)習(xí)導(dǎo)學(xué)案設(shè)計如下：

1.學(xué)習(xí)目標

（1）通過類比、歸納，猜想，寫出等比數(shù)列的前n項和公式。

（2）運用特殊與一般、分類與討論、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式。

設(shè)計說明：為了給學(xué)生指明學(xué)習(xí)方向和達成目標，教師盡可能使用“寫出”“運用”等有明確指向的詞語，使學(xué)習(xí)目標的表述具體、清晰。

2.學(xué)習(xí)重點和難點

重點：等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)。

難點：分析等比數(shù)列的結(jié)構(gòu)特點推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式。

3.學(xué)習(xí)過程

【知識回顧，提出問題】

在學(xué)習(xí)等差數(shù)列時，我們研究過等差數(shù)列的前n項和，其探究的方法是從高斯算法中獲得啟示，利用倒序求和的方法得到，對于等比數(shù)列怎樣求其前n項和？

設(shè)計意圖：以類比的方式直截了當?shù)靥岢鰡栴}，讓學(xué)生明確要學(xué)什么并思考怎么學(xué)。

【探索分析，猜想論證】

（2）能類比等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方式求Sn嗎？上式中每一個括號里的和是否都相等？

設(shè)計意圖：選擇與等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)進行類比作為“引思”“設(shè)疑”的點，讓學(xué)生思而生疑，以疑促思。

（3）用倒序求和的方法行不通，需要另辟蹊徑，我們從特殊化入手去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論。

若q=1則Sn=na1，若q≠1，當n=2時,S2=a1+a2= a1+a1q=a1(1+q)，當n=3時,

S3=a1+a2+a3=a1(1+q+q2)，……，依次類推請寫出Sn的表達Sn=a1+a2+…+an=a1（）。

上面的式子較長，能化簡嗎？

設(shè)計意圖：對等比數(shù)列前n項和公式的探索，導(dǎo)學(xué)案設(shè)計的重點放在如何調(diào)動學(xué)生的積極性，如何指導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)上，為了發(fā)揮導(dǎo)學(xué)案“導(dǎo)”的功能，筆者設(shè)計使用“歸納-猜想-演繹”的學(xué)習(xí)方式取代課本純演繹的學(xué)習(xí)方式，以知識的再發(fā)現(xiàn)過程和學(xué)生思維的發(fā)展過程為主線，學(xué)生通過體驗、感受，自主完成等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)。

【思考題】等比數(shù)列前n項和公式還有其它的推導(dǎo)方法嗎？

三、課堂探究導(dǎo)學(xué)案

針對課堂探究活動，導(dǎo)學(xué)案的編制應(yīng)突出學(xué)生的主體意識和問題意識，可以將要求學(xué)生掌握的知識和方法設(shè)計成一個個問題，用問題來引導(dǎo)和促進學(xué)生學(xué)習(xí)，用問題來拓展和深化學(xué)生思維，導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計就是要使學(xué)生學(xué)習(xí)有“路”，學(xué)習(xí)有“法”，成為學(xué)生課堂學(xué)習(xí)實踐過程中的學(xué)習(xí)方案和操作方案。

1.課堂交流、合作探究

課本上等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法我們稱之為“錯位相減法”，其它推導(dǎo)方法的研究如下：

你還有其它的推導(dǎo)方法嗎？請寫出來與大家交流。

設(shè)計意圖：方法一源自2000多年前古埃及人的遞推方法，方法二源自歐幾里得比例法，課堂探究活動不應(yīng)拘泥于教材上的一種方法，應(yīng)鼓勵學(xué)生通過積極思考，從不同的角度對公式進行推導(dǎo)與證明，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

2.構(gòu)造模型，數(shù)學(xué)實驗

對于正數(shù)等比數(shù)列{an}，首項為a1，公比為q求其前n項和的實驗：

有了以上發(fā)現(xiàn)，我們是不是又得到了等比數(shù)列前n項求和的一種推導(dǎo)方法？請寫出來。

設(shè)計意圖：發(fā)揮導(dǎo)學(xué)案“學(xué)做”的功能，引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)實驗。

3.學(xué)以致用，解決問題

例1求下列等比數(shù)列的前8項和

設(shè)計意圖：有了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式，如果已知Sn.an,q,a1,n五個量中的任意三個，就可以求出其余的兩個，本例是對等比數(shù)列的前n項和公式的直接應(yīng)用，同時滲透了方程思想。

方法1：觀察、發(fā)現(xiàn)：a5+a6+…+a10=S10-S4。

方法2：此等比數(shù)列的連續(xù)項從第5項到第10項構(gòu)成一個新的等比數(shù)列：首項為，公比為q=，項數(shù)為n=6的等比數(shù)列，所求和為_____。

分析：數(shù)列中的第n項c=n是由a=n和b=1n2nnn2n相乘而來，由于每一項中的n不一樣，所以不能直接運用等比數(shù)列求和公式。如何將不可求和的式子轉(zhuǎn)化為可求和的式子?如果能夠把數(shù)列的前n項和化為，就可以用等比數(shù)列求和公式計算，如何把“系數(shù)”化為相同呢？可以用“錯位相減法”嗎？請寫出過程。

變式4求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn-1(x≠0)。

分析：當x=1時，Sn=？

當x≠1時，可以用“錯位相減法”求Sn嗎？

設(shè)計意圖：應(yīng)用環(huán)節(jié)的重點是方法的使用以及問題的解決，是基于學(xué)生的角度設(shè)計問題，通過一題多解及一題多變，提煉數(shù)學(xué)方法，感悟數(shù)學(xué)思想，形成解題技能，優(yōu)化思維品質(zhì)，提高思維水平。

四、課后學(xué)習(xí)導(dǎo)學(xué)案

課后學(xué)習(xí)導(dǎo)學(xué)案內(nèi)容包含對本節(jié)課所學(xué)知識和方法的小結(jié)、課后作業(yè)、延伸探究等，采用任務(wù)驅(qū)動的方式，引導(dǎo)學(xué)生及時復(fù)習(xí)，整理歸納。推薦的作業(yè)應(yīng)當數(shù)量合適，難度適中，可以適當設(shè)置選做題，滿足不同層次學(xué)生的需要，并要求學(xué)生按時完成推薦的作業(yè)。

1.學(xué)習(xí)體會：本節(jié)課一方面是“等差數(shù)列的前n項和”與“等比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)，另一方面它又為進一步學(xué)習(xí)等比數(shù)列前n項和性質(zhì)等內(nèi)容做準備，就知識的應(yīng)用價值上來看，它是從數(shù)學(xué)問題和現(xiàn)實問題中抽象出來的一個模型，公式推出中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法有著廣泛的應(yīng)用，請總結(jié)本節(jié)課所用到的數(shù)學(xué)思想方法。

2.推薦作業(yè)：課本P61A組2、3、4、5，選做：課本P62B組1。

3.查閱與研究：（1）“芝諾悖論”，并從數(shù)列求和的角度加以解釋；（2）中國古代數(shù)學(xué)文獻《九章算術(shù)》衰分章第二題及第四題。

五、思考與感悟

1.導(dǎo)學(xué)案設(shè)計的理論基礎(chǔ)

根據(jù)布盧姆的掌握學(xué)習(xí)理論，教師要為學(xué)生的掌握而教學(xué)，學(xué)生要為自己的掌握而學(xué)習(xí)。教師能夠幫助每一位學(xué)生很好地學(xué)習(xí)，但每一位學(xué)生掌握同樣的教學(xué)內(nèi)容所需要花費的時間是不一樣的，因此教師需要思考如何提高教學(xué)質(zhì)量，為學(xué)生個性化的學(xué)習(xí)提供幫助。按照維果斯基“搭建腳手架”的理念，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”把復(fù)雜的學(xué)習(xí)任務(wù)加以分解，一方面要為學(xué)生提供促進其發(fā)展的學(xué)習(xí)任務(wù)，另一方面還要為學(xué)生搭建完成這些學(xué)習(xí)任務(wù)的“腳手架”?；诜D(zhuǎn)課堂的高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案可以為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建平臺、提供“腳手架”，實現(xiàn)課前、課中、課后的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以利用導(dǎo)學(xué)案中“導(dǎo)”的功能，依據(jù)導(dǎo)學(xué)案中“學(xué)”的任務(wù)，明確自主學(xué)習(xí)的內(nèi)容、目標和方法，開展“自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學(xué)”活動，因此，導(dǎo)學(xué)案是學(xué)生學(xué)習(xí)的“路線圖”“指南針”“方向盤”，“是學(xué)生學(xué)習(xí)的起點，也是將要到達的目的地”，［2］導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計和應(yīng)用既符合維果斯基的“搭建腳手架”理念以及布盧姆的掌握學(xué)習(xí)理論，也符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2003實驗版）》所倡導(dǎo)的“積極主動，勇于探索”的學(xué)習(xí)方式和要求。

2.導(dǎo)學(xué)案設(shè)計的問題情境

問題在導(dǎo)學(xué)案中“既是教師‘導(dǎo)’的基本思想策略和方法的體現(xiàn)，又是學(xué)生‘學(xué)’的過程體現(xiàn)”［2］，問題的設(shè)計不僅要具有科學(xué)性、針對性、實效性和啟發(fā)性，而且要能夠有效化解學(xué)習(xí)難點。比如人教A高中數(shù)學(xué)必修5的教材是運用“錯位相減法”對等比數(shù)列前n項和公式進行推導(dǎo)，學(xué)生理解起來可能一時會有困難，針對這一情況，在導(dǎo)學(xué)案問題的設(shè)計上可以運用類比聯(lián)想、由特殊到一般等方法引導(dǎo)學(xué)生開展“歸納-猜想-演繹”的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生通過觀察、分析、歸納、猜想、論證等思維活動，在對問題的思考過程中主動建構(gòu)知識，在解決問題的同時既掌握了方法，又提高了能力。對問題的設(shè)計不僅要考慮如何化解學(xué)習(xí)難點，還要考慮如何“學(xué)”，考慮學(xué)生如何在問題的驅(qū)動下產(chǎn)生認知沖突并在已有認知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上探究新知。

3.導(dǎo)學(xué)案設(shè)計的層次性

翻轉(zhuǎn)課堂以課前學(xué)生自主學(xué)習(xí)，課堂學(xué)生自主、合作探究，是翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的主要模式，這一模式的核心理念有兩個：一是發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的自主性和積極性，“讓每個學(xué)生按照自己的步驟學(xué)習(xí)”；二是互動的個性化指導(dǎo)。因此，基于翻轉(zhuǎn)課堂的導(dǎo)學(xué)案設(shè)計不僅應(yīng)有利于學(xué)生實現(xiàn)對知識和方法的掌握，而且還應(yīng)該讓每位學(xué)生都能得到發(fā)展。從學(xué)生的差異性方面考慮，導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計應(yīng)有利于因材施教，做到對學(xué)困生有幫助、對中等生有啟發(fā)、對尖子生有挑戰(zhàn)。導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計還包括對一節(jié)課的總體設(shè)計，需要設(shè)計者認真研究教學(xué)內(nèi)容，把握好每節(jié)課的目標、要求，設(shè)計的學(xué)習(xí)活動應(yīng)由易到難、由淺入深、由表及里、螺旋上升、逐步提高。

［1］王俊亮.導(dǎo)學(xué)案在高中數(shù)學(xué)命題教學(xué)中的應(yīng)用研究［D］.濟南：山東師范大學(xué)，2011.

［2］黃發(fā)國，張福濤.翻轉(zhuǎn)課堂導(dǎo)學(xué)案編寫指導(dǎo)與案例分析［M］.濟南：山東友誼出版社，2014.

（責(zé)任編輯：王欽敏）