黃炳鋒（福州第三中學(xué)，福建福州350003）

突出創(chuàng)新應(yīng)用引領(lǐng)教學(xué)實(shí)踐
——2017全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題簡析與啟示

黃炳鋒
（福州第三中學(xué)，福建福州350003）

2017年全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題繼續(xù)保持連續(xù)穩(wěn)定的特點(diǎn)，立足數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，以數(shù)學(xué)知識為載體，以理性思維、邏輯推理能力為立意，關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出創(chuàng)新應(yīng)用，滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)了時代特征。試卷凸顯考試內(nèi)容的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性等，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神、實(shí)踐能力有積極的導(dǎo)向作用。

全國Ⅰ卷；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；理性思維；創(chuàng)新應(yīng)用；復(fù)習(xí)對策

2017年全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題與近幾年的高考試題一樣，保持連續(xù)穩(wěn)定的特點(diǎn)，試卷立足數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，以數(shù)學(xué)知識為載體，以理性思維、邏輯推理能力為立意，關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)時代特征。試卷著力整體布局，注重考查“三基”和“四能”；試題背景公平、立意新穎、表述脫俗，對考生區(qū)分精確，有較好的區(qū)分度；與2016年相比，全卷試題的難度略作調(diào)整，理科試卷難度基本持平，文科試卷難度略低，這與學(xué)生及教學(xué)實(shí)際更加吻合，難易適度確保試卷有較高的內(nèi)容效度和預(yù)測效度。

試題知識點(diǎn)多，覆蓋面廣，選擇題與填空題遵循由易到難、逐層深入的特點(diǎn)；解答題以分步設(shè)問、梯次遞進(jìn)的方式，提高試卷區(qū)分度。從知識板塊的考查分布看，與往年基本保持一致，文、理科試卷對主干知識（即基礎(chǔ)知識）的考查占分比例分別為76.3%和73.7%，特別突出對主干知識的考查，每個知識板塊的考查分布如下：

一、試題分析

（一）考查通用數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)基礎(chǔ)性

高考試題體現(xiàn)基礎(chǔ)性的特征就是試題解答的常規(guī)性和方法的通用性，亦即常說的“淡化技巧，強(qiáng)調(diào)通性通法”。在高中數(shù)學(xué)中，通性通法是指具有普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法，通性通法是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在解決數(shù)學(xué)問題中的集中體現(xiàn)。［1］2017年試卷繼續(xù)加強(qiáng)基礎(chǔ)性和創(chuàng)新性，以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本能力、基本思想方法為考查重點(diǎn)，注重對數(shù)學(xué)通性通法的考查?？疾闀r從學(xué)科整體意義和思想價值的高度立意，淡化特殊技巧，體現(xiàn)基礎(chǔ)性。

例如理科16題，試題以立體幾何的基礎(chǔ)知識為載體，探求通過折疊所成三棱錐體積的最大值，以往常用的解題技巧是“取特殊值”，即設(shè)定最大值在特殊的“中點(diǎn)”位置取得，但用此法解決本題是行不通的，實(shí)際上求最值問題，除了幾何直觀，通用的數(shù)學(xué)方法是構(gòu)建三棱錐體積關(guān)于某個變量的目標(biāo)函數(shù)（這里變量取圓心到底面正三角形的邊的距離為佳），用函數(shù)與方程的思想解題。函數(shù)與方程的思想就是中學(xué)數(shù)學(xué)重要的通性通法之一。此外，理科第5題、第11題，文科第9題、第14題等也考查了函數(shù)與方程的思想，理科第14題、文科第8題等考查了數(shù)形結(jié)合的思想，文理第21題考查了分類與整合的思想，文理第19題考查了統(tǒng)計(jì)與概率的思想等。這些問題都是通過檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度，來考查通用數(shù)學(xué)方法，凸顯基礎(chǔ)性。

（二）加強(qiáng)應(yīng)用意識考查，增強(qiáng)實(shí)踐性

考查應(yīng)用意識的試題要求綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題，解題涉及豐富的內(nèi)涵，包括閱讀理解、數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算求解等，給考生提出較高的要求。2017年數(shù)學(xué)科高考貫徹高考內(nèi)容改革的要求，文理科均命制了一大一小兩個應(yīng)用題，繼續(xù)加強(qiáng)應(yīng)用意識的考查。

例如文理科19題，試題以現(xiàn)實(shí)社會中常見的工廠生產(chǎn)線質(zhì)量控制為背景，結(jié)合統(tǒng)計(jì)與概率的基礎(chǔ)知識，精心編制了一道模型判斷、數(shù)據(jù)處理和數(shù)字特征求解與應(yīng)用的題目。考查了概率模型和統(tǒng)計(jì)意義的理解與應(yīng)用，考查了考生對實(shí)際問題進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模的能力、數(shù)據(jù)處理的能力和應(yīng)用的能力等。理科第（Ⅰ）問，通過建立二項(xiàng)分布模型，求解離散型隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望；第（Ⅱ）問，要求利用“3σ”原則解釋監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性，還要求根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)通過合理計(jì)算估計(jì)參數(shù)μ和σ；文科第（Ⅰ）問，根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，并利用計(jì)算結(jié)果對實(shí)際問題做出判斷；第（Ⅱ）問，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，通過分析數(shù)據(jù)解釋生產(chǎn)過程是否出現(xiàn)異常，再根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)通過合理計(jì)算估計(jì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差。此外，文科第2題以農(nóng)作物生產(chǎn)為情景設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的問題，理科第12題以大學(xué)生創(chuàng)業(yè)為背景設(shè)計(jì)數(shù)列應(yīng)用的問題，這些試題情景豐富、背景公平、貼近考生、貼近生活，具有濃厚的時代氣息，要求考生應(yīng)用數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題，對考生的閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力等進(jìn)行了全方位的考查，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的巨大作用和應(yīng)用價值，凸顯高考改革中加強(qiáng)應(yīng)用性、實(shí)踐性的特點(diǎn)。

（三）關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出選拔性

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力。高考試題依托數(shù)學(xué)知識考查數(shù)學(xué)能力，尤其是學(xué)生的理性思維（特別是邏輯思維）與數(shù)學(xué)思想方法，從本質(zhì)上講，就是對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查。2017年高考充分發(fā)揮數(shù)學(xué)思維學(xué)科的特點(diǎn)，較為全面地考查了數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)。

例如，文理科第21題的第（Ⅰ）問，試題給定函數(shù)f (x)，要求考生討論f(x)的單調(diào)性，因?yàn)閒(x)的解析式中含有參數(shù)a，所以在求解導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)時，需要對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，并據(jù)此求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；在此基礎(chǔ)上，理科第（Ⅱ）問要求根據(jù)函數(shù)有兩個零點(diǎn)的條件，文科第（Ⅱ）問要求根據(jù)函數(shù)值非負(fù)的條件，確定參數(shù)的取值范圍。試題層層深入，考查考生思維縝密性、嚴(yán)格推理能力，凸顯數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等素養(yǎng)的考查。此外，理科第7題、文科第6題、文理科第18、20題等考查了直觀想象素養(yǎng)；文理科第19題等考查了數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)。試卷中大量的試題還將數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理等素養(yǎng)的考查有機(jī)結(jié)合，綜合考查考生的核心素養(yǎng)。同時，試題也充分考慮到考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的差異，絕大多數(shù)試題的解題方法、思維方式都不是唯一的，而是多種多樣，如文理科12題，理科16題等，由于解題路徑和方法的差異，能影響運(yùn)算的復(fù)雜程度與解題時間的長短，從而達(dá)到區(qū)分考生數(shù)學(xué)能力和核心素養(yǎng)的差異，體現(xiàn)了高考的選拔功能。

（四）弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，體現(xiàn)人文性

今年首次把數(shù)學(xué)文化的考查寫進(jìn)《考試大綱》，引發(fā)了廣泛的關(guān)注。其實(shí)，對于數(shù)學(xué)文化的考查，近幾年的試題已經(jīng)有所體現(xiàn)，但一般側(cè)重于引用我國古代數(shù)學(xué)名著名題，結(jié)合函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、算法等內(nèi)容加以呈現(xiàn)，這些問題體現(xiàn)了創(chuàng)新應(yīng)用的考查。

2017年全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題雖未在數(shù)學(xué)文化考查上有大的動作，但也有所嘗試。例如理科第2題、文科第4題以我國太極圖中的陰陽魚為原型，設(shè)計(jì)幾何概型以及幾何概率計(jì)算問題，可以看出命題者試圖通過本題的求解，滲透數(shù)學(xué)文化，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文性，使考生感受中華傳統(tǒng)優(yōu)秀文化的民族性與世界性，深刻地認(rèn)識到中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長，激勵他們創(chuàng)造出更加輝煌的成就。

二、備考對策

（一）掌握方向，明確考查要求

備考方向和復(fù)習(xí)內(nèi)容的選擇對總復(fù)習(xí)而言至關(guān)重要，就如羅盤對于航海一樣，《考試大綱》和《考試說明》明確了考試形式和范圍、規(guī)定了考核目標(biāo)和要求，指明了總復(fù)習(xí)的方向，是總復(fù)習(xí)最重要的參考書。從這幾年看，每年的《考試大綱》和《考試說明》都要等到學(xué)年下學(xué)期才發(fā)布，勢必影響總復(fù)習(xí)，但由于這兩本書的變化不大，因此可以使用前一年的《考試大綱》和《考試說明》先用于復(fù)習(xí)指導(dǎo)，再根據(jù)當(dāng)年的進(jìn)行調(diào)整。

備考時，應(yīng)根據(jù)《考試大綱》明確知識、能力、個性品質(zhì)和考查要求，再根據(jù)《考試說明》了解如何通過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力落實(shí)考核目標(biāo)和要求。我們知道，試卷中不同位置、不同題型的試題，在考查不同知識、能力、思想方法及其層次上有不同的功能，認(rèn)真研讀《考試說明》，理解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查要求，教學(xué)時不產(chǎn)生新的熱點(diǎn)，可以減輕學(xué)生不必要的負(fù)擔(dān)，有利于考生復(fù)習(xí)備考。

（二）夯實(shí)基礎(chǔ)，重視能力培養(yǎng)

基礎(chǔ)知識即重點(diǎn)知識，夯實(shí)基礎(chǔ)就是在全面復(fù)習(xí)必考內(nèi)容的前提下，重點(diǎn)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識?！犊荚嚧缶V》指出對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，既要全面又要突出重點(diǎn)。對于支撐學(xué)科知識體系的重點(diǎn)內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體。這表明《考試說明》中列出的6大基礎(chǔ)知識：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)，是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，要重點(diǎn)復(fù)習(xí)。同時還應(yīng)注意6大基礎(chǔ)知識常常綜合考查，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題，在綜合中考查能力，所以還應(yīng)梳理基礎(chǔ)知識的內(nèi)在聯(lián)系，搭建成條理清晰的知識網(wǎng)絡(luò)。

“以能力立意命題”是數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和考試目標(biāo)所決定的，重視數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，這既是數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，也是能力立意的考試要求?！犊荚嚧缶V》明確規(guī)定，數(shù)學(xué)能力包含了抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等。備考時，首先要明確，不同的基礎(chǔ)知識承載著不同的能力要求，培養(yǎng)能力的途徑之一就是提高基礎(chǔ)知識的靈活運(yùn)用，缺漏的知識將是影響能力發(fā)揮的致命點(diǎn)，總復(fù)習(xí)時應(yīng)經(jīng)常查缺補(bǔ)漏，《考試大綱》羅列的考試內(nèi)容與要求就是很好的比對；其次，由于學(xué)科的特點(diǎn)，對推理論證能力和抽象概括能力的考查貫穿于全卷，是考查的重點(diǎn)，應(yīng)重視，而運(yùn)算求解能力是“基本功”，決定了推理論證的正確執(zhí)行和抽象概括的實(shí)現(xiàn)，近年來，高考試題特別重視含字母的式子的運(yùn)算，運(yùn)算求解能力不過關(guān)，解題終將失敗，也應(yīng)重視。

（三）領(lǐng)會思想，在實(shí)戰(zhàn)中落實(shí)

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，它是解決數(shù)學(xué)問題的“領(lǐng)航員”?！犊荚囌f明》指出，數(shù)學(xué)思想方法主要包括函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類與整合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化的思想，特殊與一般的思想，統(tǒng)計(jì)與概率的思想等。高考對數(shù)學(xué)思想方法的考查往往決定了試題的大致位置和難易程度，比如，對分類與整合的思想的考查往往放在把關(guān)試題的位置，突出考查考生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和周密性；教學(xué)思想方法的途徑之一是“提煉”和“內(nèi)化”，復(fù)習(xí)時，教師應(yīng)善于從試題解答的過程中提煉蘊(yùn)涵其中的思想方法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的提煉滲透，使學(xué)生領(lǐng)悟并逐漸學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法；途徑之二是“實(shí)戰(zhàn)”，即實(shí)戰(zhàn)高考真題，實(shí)際上，高考試題的思想方法往往蘊(yùn)含在近幾年試題的解題思想方法之中，這也是體現(xiàn)高考試題穩(wěn)定性和發(fā)揮高考試題的導(dǎo)向作用的一個方面。

［1］曹軍．“通性通法”應(yīng)為解題首選方法［J］.數(shù)學(xué)通報，2012（7）.

［2］教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（理科）［M］.北京：高等教育出版社，2017．

［3］教育部考試中心.2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱（文科）［M］.北京：高等教育出版社，2017．

（責(zé)任編輯：萬丙晟）

（一、二等獎名單略，詳見福建省教育廳網(wǎng)站）