◎欒曉婕

聚焦運(yùn)算本質(zhì) 關(guān)注融會貫通

◎欒曉婕

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出：運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡潔的運(yùn)算途徑解決問題。由此可見，運(yùn)算能力已經(jīng)改變了追求“又快又對”的傳統(tǒng)要求，而重視的是讓學(xué)生經(jīng)歷探索、發(fā)現(xiàn)計(jì)算方法的過程。

一、借助學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立解決問題

課始，出示問題情境，要求學(xué)生列出算式。

師：為什么用除法來解決？

師：對，求一個數(shù)里有幾個另一個數(shù)，用除法計(jì)算，這個除數(shù)可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)?？磥?，分?jǐn)?shù)除法和整數(shù)除法的意義是相通的。

這一環(huán)節(jié)是讓學(xué)生體會一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)的意義，因?yàn)檫\(yùn)算意義是建立計(jì)算法則的基礎(chǔ)，又是應(yīng)用這種運(yùn)算的依據(jù)?；谝陨险J(rèn)識，對除法意義的理解應(yīng)該成為分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的首要環(huán)節(jié)。

（學(xué)生自己嘗試解決，小組討論后全班交流，同時教師巡視，搜集學(xué)生作品。）

師：這三種做法你看懂了嗎？能講出每種做法的道理嗎？

生1：第一種做法是把分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)來計(jì)算。

生3：第三種做法是根據(jù)商不變的性質(zhì)，將被除數(shù)和除數(shù)同時×2，這樣除數(shù)就變成了整數(shù)，所以4÷

師：（追問） 為什么同時×2？×3可以嗎？×4呢？哪個更簡單？

生4：同時×2，這時除數(shù)就變成整數(shù)1，×3后除數(shù)還是分?jǐn)?shù)，沒有轉(zhuǎn)化為整數(shù)，×4也可以，這樣4÷但沒有×2更簡單。

生5：同時×2簡單，這個2也就是除數(shù) 的倒數(shù)，這時除數(shù)就變成整數(shù)1，任何數(shù)除以1都等于原數(shù)。

師：的確是這樣，除數(shù)變?yōu)?，更方便我們計(jì)算。同學(xué)們，剛才我們遇到一個新問題，我們能積極開動腦筋，把一個新問題轉(zhuǎn)化成學(xué)過的知識來解決，看來轉(zhuǎn)化是解決問題的好方法。還愿意分餅嗎？我們再看一個問題。

（出示第二個問題：4張同樣大的餅○○○○，每張一份，○○○○可以分成幾份？）

生7：我發(fā)現(xiàn)這道題不能轉(zhuǎn)化為小數(shù)除法計(jì)算，因此將被除數(shù)和除數(shù)同時乘除數(shù)的倒數(shù)，這時除數(shù)就變?yōu)?，好算。

師：對，同時乘除數(shù)的倒數(shù)，題目就變得如此簡單，這就是倒數(shù)的魅力。這個結(jié)果到底對不對呢，你

能用其他方法驗(yàn)證一下嗎？

師：驗(yàn)證之后，更加確信除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法可以根據(jù)商不變的規(guī)律，同時乘除數(shù)的倒數(shù)的方法來解決。

借助學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立解決問題，在多樣化的算法之中，呈現(xiàn)了學(xué)生不同的認(rèn)知水平，既有直觀運(yùn)算的通俗易懂，又有抽象運(yùn)算的合情合理。在讀懂不同水平的算法之后，對利用商不變的性質(zhì)這種做法進(jìn)行追問，學(xué)生初步理解了這種做法的算理，并通過第二次分餅的練習(xí)體會利用這種方法解決問題的優(yōu)化。由于數(shù)據(jù)簡單，便于口算，整個推算過程處在學(xué)生思維能力的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，因此降低了學(xué)生探究算法、理解算理的難度。

二、對比發(fā)現(xiàn)，總結(jié)運(yùn)算法則

師：剛才我們練習(xí)的除法問題除數(shù)都是幾分之一，如果除數(shù)是幾分之幾，這種方法還好用嗎？現(xiàn)在我們繼續(xù)挑戰(zhàn)解決分餅問題。

（出示題目：4張同樣大的餅○○○○，每張一份，○○○○可以分成幾份？ 要求學(xué)生獨(dú)立用商不變的規(guī)律解決，并驗(yàn)證這種做法的合理性，看看又有什么新的發(fā)現(xiàn)。）

生3：我發(fā)現(xiàn)利用商不變規(guī)律對除數(shù)是幾分之幾的除法同樣適用，但要注意被除數(shù)、除數(shù)同時乘除數(shù)的倒數(shù)，這樣除數(shù)變?yōu)?，非常好算。

生4：我發(fā)現(xiàn)除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法的計(jì)算，只要把被除數(shù)、除數(shù)同時乘除數(shù)的倒數(shù)，轉(zhuǎn)化為除數(shù)是1的除法，就可以迎刃而解。

師：剛才我們用商不變的性質(zhì)解決了3個問題，并用分一分的方法加以驗(yàn)證，對比看看我們整理的計(jì)算過程，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：左邊的都是用商不變的規(guī)律，把除數(shù)轉(zhuǎn)化為1來計(jì)算；右邊的除法都變成乘除數(shù)的倒數(shù)。

生6：右邊的算法是左邊的簡便寫法，因?yàn)榘殉龜?shù)轉(zhuǎn)化為1，任何數(shù)除以1，都等于它本身，除數(shù)1可省略，就和右面算式一樣了。

生7：既然是簡便寫法，那計(jì)算分?jǐn)?shù)除法不用同時乘倒數(shù)，只把被除數(shù)乘除數(shù)的倒數(shù)就可以了，可以省略一步。

生8：在學(xué)習(xí)小數(shù)除法時，我們是利用商不變規(guī)律把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法；現(xiàn)在，我們又可以利用這個規(guī)律解決分?jǐn)?shù)除法問題。

生9：對，除以一個不為零的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。這個數(shù)可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)。

師：通過三次分餅的過程，我們利用商不變規(guī)律逐漸探索出除數(shù)是分?jǐn)?shù)的除法的計(jì)算方法，這種規(guī)律不僅適用于小數(shù)除法，同樣也適用于分?jǐn)?shù)除法；并能優(yōu)化這種方法，使計(jì)算變得更加簡潔。其實(shí)，只要我們用心觀察思考，很多知識都是相通的。

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，如果僅僅從直觀模型中總結(jié)出方法，勢必認(rèn)識不深刻。上面的設(shè)計(jì)從學(xué)生已有知識出發(fā)，通過發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證等活動，學(xué)生逐漸認(rèn)識到“除以一個數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)”的方法是應(yīng)用商不變規(guī)律的簡化形式，并把分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法與以前學(xué)過的小數(shù)除法知識納入一個知識框架中，學(xué)生能融會貫通，深刻理解算理的本質(zhì)。

（作者單位：瓦房店市教師進(jìn)修學(xué)校）

（責(zé)任編輯：楊強(qiáng)）