楊雪梅，何希，徐家品

（1. 四川大學(xué)錦江學(xué)院，四川 眉山 620860；2. 四川大學(xué)電子信息學(xué)院，四川 成都 610065）

基于Wishart矩陣特征值的頻譜感知算法

楊雪梅1，何希2，徐家品2

（1. 四川大學(xué)錦江學(xué)院，四川 眉山 620860；2. 四川大學(xué)電子信息學(xué)院，四川 成都 610065）

為了提高頻譜感知性能，克服經(jīng)典算法的缺點(diǎn)，提出了一種新的基于Wishart隨機(jī)矩陣?yán)碚摰膮f(xié)作頻譜感知算法。根據(jù)多個(gè)認(rèn)知用戶接收信號(hào)樣本協(xié)方差矩陣特征值的對(duì)數(shù)分布特性，利用樣本協(xié)方差矩陣最大特征值與幾何平均特征值的比值，得到簡(jiǎn)單的判決閾值閉式表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)頻譜感知判決。該算法不需要知道主用戶的任何先驗(yàn)信息，不受噪聲不確定性的影響。仿真結(jié)果表明，所提算法在協(xié)作用戶數(shù)少、信噪比低、采樣點(diǎn)數(shù)極少的情況下，仍能獲得較高的感知性能。該算法受虛警概率和極端值的影響較小，比同類(lèi)算法有更好的檢測(cè)性能。

頻譜感知；Wishart隨機(jī)矩陣；樣本協(xié)方差矩陣；幾何平均特征值；判決閾值

1 引言

在認(rèn)知無(wú)線電（cognitive radio）[1]頻譜感知技術(shù)中，目前最經(jīng)典的頻譜檢測(cè)方法有匹配濾波檢測(cè)（matched filtering detection，MFD）[2]、循環(huán)平穩(wěn)特征檢測(cè)（cyclostationary feature detection，CFD）[3]、能量檢測(cè)（energy detection，ED）[4,5]3種方法。匹配濾波檢測(cè)的檢測(cè)精度高，但是需要知道主用戶的先驗(yàn)信息，而循環(huán)平穩(wěn)特征檢測(cè)的計(jì)算量很大。相較于前兩者，能量檢測(cè)不需要主用戶的任何先驗(yàn)信息，算法簡(jiǎn)單，但受噪聲不確定性影響較大[6]，如噪聲可能是非高斯噪聲[7]，且對(duì)相關(guān)性信號(hào)檢測(cè)性能較差。而相關(guān)性信號(hào)在多用戶協(xié)作感知中常常與噪聲不確定現(xiàn)象同時(shí)存在，隨著多用戶協(xié)作感知的應(yīng)用愈加廣泛，為了提高相關(guān)信號(hào)的檢測(cè)性能，基于隨機(jī)矩陣?yán)碚摰亩嘤脩魠f(xié)作感知方法[8]成為熱點(diǎn)。

這類(lèi)方法對(duì)獨(dú)立同分布信號(hào)和相關(guān)信號(hào)均適用，克服了經(jīng)典感知方法的一些缺點(diǎn)，但也存在各自的優(yōu)缺點(diǎn)。參考文獻(xiàn)[9]中采用 DSCM（determinant of sample covariance matrix）算法，該算法不敏感于協(xié)作用戶數(shù)，但要在滿足大采樣點(diǎn)數(shù)、高信噪比的條件下，其檢測(cè)性能才好；參考文獻(xiàn)[10]中提出了兩種基于算術(shù)平均特征值的感知算法，其中，AME（average to maximum eigenvalue）算法采用算術(shù)平均特征值與最大特征值的比值作為判決統(tǒng)計(jì)量，在大樣本情況下，受虛警概率的影響較大，而另一種AMME（average to maximum-minimum eigenvalue）算法采用算術(shù)平均特征值與最大最小特征值之差的比值為判決統(tǒng)計(jì)量[11]；同時(shí)，基于隨機(jī)矩陣最大最小特征值方面的研究越來(lái)越多，如參考文獻(xiàn)[12,13]中分別提出的NMME（novel maximum-minimum eigenvalue）算法和LED（least eigenvalue distribution）算法，這兩種算法的檢測(cè)性能都比較高，LED算法的檢測(cè)性能略高于NMME算法，但它們分別依賴于一階和二階Tracy-Widom分布函數(shù)，而這兩種分布函數(shù)都沒(méi)有具體的閉式表達(dá)式。

為了提高頻譜感知能力，在小采樣點(diǎn)數(shù)、低信噪比條件下獲得較高的檢測(cè)性能，本文在Wishart隨機(jī)矩陣?yán)碚摰幕A(chǔ)上，提出了一種基于隨機(jī)矩陣特征值分布的頻譜感知算法，利用樣本協(xié)方差矩陣特征值的對(duì)數(shù)分布形式，以隨機(jī)矩陣樣本協(xié)方差矩陣最大特征值與幾何平均特征值（maximum-geometric mean eigenvalue，MGME）比值[14]為判決門(mén)限統(tǒng)計(jì)量，對(duì)頻譜檢測(cè)做出判決。

2 系統(tǒng)模型

認(rèn)知用戶的信號(hào)檢測(cè)可以用一個(gè)二元假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚6,15]表示：

其中，H0表示沒(méi)有主用戶信號(hào)存在，只有噪聲的情況；H1表示主用戶信號(hào)和噪聲都存在的情況。xi( k)表示第i個(gè)認(rèn)知用戶在k( k=1,2,…,N)時(shí)刻采樣到的信號(hào)；hi( k)表示信道增益；ni( k)表示高斯白噪聲，其均值為0、方差為；si( k)表示主用戶信號(hào)。

用向量形式H、X以及n分別將信道增益、接收信號(hào)以及噪聲表示成如下形式：

則接收信號(hào)可以進(jìn)一步用M×N維矩陣表示：

根據(jù)以上的定義，式（1）能夠被表示為：

假設(shè)噪聲n是獨(dú)立同分布信號(hào)，且信號(hào)S與噪聲n不相關(guān)，則在樣本數(shù)N足夠大的情況下，接收信號(hào)樣本協(xié)方差矩陣Rx(N)可定義為：

其中，樣本協(xié)方差矩陣Rx(N)的行列式即樣本協(xié)方差矩陣所有特征值的乘積，可記為：

其中，λi表示矩陣Rx(N)的第i個(gè)特征值。用λmax、λmin表示矩陣Rx(N)的最大特征值和最小特征值。

3 MGME算法的理論分析

3.1 算法的理論基礎(chǔ)

當(dāng)主用戶信號(hào)不存在（H0）時(shí)，Rx(N)是一個(gè)特殊的Wishart矩陣[16]，可記為：

其中， IM為M×M維的單位矩陣。

當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N遠(yuǎn)大于協(xié)作用戶數(shù)M時(shí)：

3.2 算法的閾值推導(dǎo)

基于以上的理論分析，本文將幾何平均特征值與最大特征值之比作為判決統(tǒng)計(jì)量：

在預(yù)先給定虛警概率 Pfa作為已知量的條件下，建立判決閾值與虛警概率之間的關(guān)系，用標(biāo)準(zhǔn)Q函數(shù)表示為：

因此，判決閾值可以表示為：

由式（18）可知，判決閾值γ只與虛警概率、協(xié)作用戶數(shù)以及采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)，與噪聲無(wú)關(guān)，不受噪聲不確定性的影響。

3.3 算法判決閾值的有效性

圖1給出了MGME算法的判決閾值γ、信號(hào)與噪聲同時(shí)存在情況下以及只有噪聲情況下的仿真比值隨采樣點(diǎn)數(shù)變化的關(guān)系曲線，其中，協(xié)作用戶數(shù) M=10，虛警概率Pfa=0.01，信噪比SNR=-10 dB。由理論分析可知：γ隨采樣點(diǎn)數(shù)的變化而動(dòng)態(tài)調(diào)整；在相同采樣點(diǎn)數(shù)情況下，信號(hào)與噪聲同時(shí)存在情況下的仿真比值應(yīng)當(dāng)大于γ，而只有噪聲情況下的仿真比值應(yīng)當(dāng)小于γ；此外，由于虛警概率的存在，在只有噪聲情況下的仿真比值曲線上，也可能存在極少的點(diǎn)位于γ關(guān)系曲線的上方。由圖1可知，MGME算法的判決閾值是有效的。

圖1 MGME判決閾值的有效性

4 算法性能仿真

4.1 仿真環(huán)境及工具

為了驗(yàn)證所提MGME算法的檢測(cè)性能，本文將從兩方面對(duì)MGME算法進(jìn)行仿真分析：從不同采樣點(diǎn)數(shù)、協(xié)作用戶數(shù)、信噪比以及不同虛警概率情況下對(duì)MGME算法進(jìn)行仿真分析；將所提算法與LED、AMME以及AME等同類(lèi)算法作比較。實(shí)驗(yàn)采用10 000次的Monte Carlo（蒙特卡洛）仿真，仿真平臺(tái)為MATLAB（R2013a）。

4.2 采樣點(diǎn)數(shù)、協(xié)作用戶數(shù)以及信噪比對(duì)檢測(cè)性能的影響

為了更好地分析，表1列出了在不同采樣點(diǎn)數(shù)M、協(xié)作用戶數(shù)N以及信噪比SNR下，MGME算法的檢測(cè)概率 Pd，由表1可知，仿真選取較少的采樣點(diǎn)數(shù)，在低協(xié)作用戶數(shù)和低信噪比條件下，也能獲得較高的檢測(cè)概率。

表1 不同情況下的檢測(cè)概率

圖2為Pfa=0.05，分別取協(xié)作用戶數(shù)M=5、10，采樣點(diǎn)數(shù)N=100、200、500時(shí)，檢測(cè)概率隨信噪比變化的關(guān)系曲線。

圖2 不同M、N下的信噪比與檢測(cè)概率的關(guān)系曲線

4.3 虛警概率對(duì)檢測(cè)性能的影響

圖3為M=10，分別取采樣點(diǎn)數(shù) N=100、200、350，信噪比SNR=-10 dB 、 -15dB時(shí)，檢測(cè)概率隨虛警概率變化的關(guān)系曲線。仿真結(jié)果表明，當(dāng)虛警概率從 0.01增加到 0.1的過(guò)程中，在不同的采樣點(diǎn)數(shù)和信噪比情況下，MGME算法的檢測(cè)概率增加均不到 0.15，由此可知，MGME算法受虛警概率的影響較小；此外，仿真選取較低的采樣點(diǎn)數(shù)和信噪比，當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)N=200，信噪比SNR=-10 dB時(shí)，MGME算法的檢測(cè)概率為1。在實(shí)際情況中，可根據(jù)信噪比的高低選擇合適的采樣點(diǎn)數(shù)，以達(dá)到最優(yōu)的檢測(cè)性能。

圖3 不同N、SNR下的檢測(cè)概率與虛警概率之間的關(guān)系

4.4 MGME算法與其他同類(lèi)算法的性能比較

這部分將MGME算法與LED、AMME、AME以及DSCM算法從幾個(gè)不同方面進(jìn)行仿真分析與比較。

圖4 檢測(cè)概率與采樣點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系

圖 5表示各種算法在不同信噪比情況下的檢測(cè)性能，N=200， Pfa=0.05，M=20。從圖 5可以看出，AME和AMME兩種算法的關(guān)系曲線幾乎是重合的，MGME算法的關(guān)系曲線明顯高于其他4種算法。當(dāng)信噪比SNR=-14 dB 時(shí)，DSCM算法的檢測(cè)概率只有0.278，LED算法為0.903，AMME算法為0.923，AME算法為0.934，MGME算法已達(dá)0.954，由圖5可知，在低信噪比情況下，MGME算法的檢測(cè)性能是最好的。

圖5 檢測(cè)概率與信噪比之間的關(guān)系

為了更好地分析，表2列出了當(dāng)N=100時(shí)，各種算法在是否存在極端值兩種情況下檢測(cè)概率的偏差（取正值），由表2可知，在N=100時(shí)，MGME算法的偏差最小，AME算法略高于MGME算法，其他3種算法檢測(cè)概率的偏差遠(yuǎn)大于MGME、AME兩種算法。

表2 N=100時(shí)是否存在極端值兩種情況下各算法檢測(cè)概率的偏差

圖6表示在是否存在極端值兩種情況下，各種算法的檢測(cè)概率隨采樣點(diǎn)數(shù)變化的關(guān)系曲線，其中。此外，從圖6中可以看到，DSCM、LED和AMME 3種算法在存在極端值情況下的關(guān)系曲線與理想情況下相差甚遠(yuǎn)，MGME和AME兩種算法在存在極端值情況（無(wú)極端值）下的關(guān)系曲線與理想情況下只有較小的差異，而MGME算法在采樣點(diǎn)數(shù)達(dá)到130時(shí)，是否有極端值兩種情況下的關(guān)系曲線已幾乎重合，此時(shí) AME算法仍然保持大約 0.02的偏差。綜上所述，5種算法中，只有 AME和MGME兩種算法受極端值的影響較小，而MGME算法受極端值的影響是最小的。

圖6 檢測(cè)概率與采樣點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系

由上述仿真結(jié)果可知，所提MGME算法受虛警概率和極端值的影響較小，在低協(xié)作用戶數(shù)和低信噪比條件下，也能通過(guò)極少的采樣點(diǎn)數(shù)，獲得較高的檢測(cè)概率；此外，與AMME、AME和LED等基于特征值的同類(lèi)算法相比，在不同信噪比、采樣點(diǎn)數(shù)以及協(xié)作用戶數(shù)情況下，MGME算法表現(xiàn)出了更好的檢測(cè)性能。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用Wishart隨機(jī)矩陣特征值的對(duì)數(shù)分布特性，提出了一種基于樣本協(xié)方差矩陣最大特征值與幾何平均特征值比值的算法，即MGME算法。該算法不依賴于Tracy-Widom分布函數(shù)，且能得到一個(gè)判決閾值閉式表達(dá)式，當(dāng)虛警概率、協(xié)作用戶數(shù)、采樣點(diǎn)數(shù)等參數(shù)確定后，判決閾值能夠獲得物理意義明確的檢測(cè)結(jié)果。另外，由于判決閾值只與虛警概率、協(xié)作用戶數(shù)、采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)，因此在主用戶信息動(dòng)態(tài)變化時(shí)，算法性能也很穩(wěn)定。通過(guò)仿真可知，該算法克服了噪聲不確定性對(duì)檢測(cè)性能的不利影響，在采樣點(diǎn)數(shù)、協(xié)作用戶數(shù)以及信噪比均較小的情況下，能獲得較高的檢測(cè)性能，算法簡(jiǎn)單，復(fù)雜度不高，并且受虛警概率和極端值的影響較小，與同類(lèi)算法相比，所提算法能獲得更好的檢測(cè)性能。

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Spectrum sensing algorithm based on the eigenvalue of Wishart random matrix

YANG Xuemei1, HE Xi2, XU Jiapin2
1. College of Jinjiang, Sichuan University, Meishan 620860, China 2. College of Electronics and Information Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China

In order to improve the spectrum sensing performance and overcome the shortcomings of the classical algorithm, a new cooperative spectrum sensing algorithm based on Wishart random matrix theory was proposed. According to the logarithmic distribution characteristics of the sampled covariance matrix eigenvalues and using the ratio of maximum eigenvalue and geometric mean eigenvalue, a simple closed-form threshold expression could be obtained, and the spectrum sensing decision could be performed depend on the threshold. The simulation results show that the proposed algorithm can get better sensing performance even under the conditions of a few number of cooperative users, low signal to noise ratio and a few samples. It is less affected by false-alarm probability and the extreme values, and has better detection performance than similar algorithms.

spectrum sensing, Wishart random matrix, sample covariance matrix, geometric mean eigenvalue, threshold expression

TN925

：A

10.11959/j.issn.1000-0801.2017255

楊雪梅（1983-），女，四川大學(xué)錦江學(xué)院講師，四川省通信學(xué)會(huì)會(huì)員，主要研究方向?yàn)橥ㄐ排c信息系統(tǒng)、多媒體通信等。

何希（1991-），女，四川大學(xué)電子信息學(xué)院碩士生，主要研究方向?yàn)橥ㄐ排c信息系統(tǒng)。

徐家品（1957-），男，四川大學(xué)電子信息學(xué)院教授，主要研究方向?yàn)橥ㄐ排c信息系統(tǒng)。

2017-06-26；

：2017-08-28