馮艷青,王忠英,姚俊,文傳軍

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院,江蘇常州213000)

一類二階拋物型方程初邊值問題解的存在定理

馮艷青,王忠英,姚俊,文傳軍

(常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院,江蘇常州213000)

本文研究了一類二階非線性拋物型方程解的存在唯一性問題.利用非線性分析中的吸引盆理論和同胚理論,獲得了相應(yīng)的二階非線性拋物型方程初邊值問題解的大范圍存在唯一性定理.

二階拋物型方程;初邊值問題;吸引盆;全局同胚

1 引言

二階拋物型方程

也被稱為熱傳導(dǎo)方程,其中Δ表示n維拉普拉斯算子.由于在物理、幾何中的廣泛應(yīng)用,許多數(shù)學(xué)工作者都研究過方程(1)解的存在性問題,也得到很多結(jié)果(見文獻(xiàn)[1-5]).

在拋物型偏微分方程解的存在性問題的研究中,一般是先建立一個可能的解的先驗(yàn)估計(jì),然后利用一些非線性分析的方法證明解的存在性.如Elcart和Sigillito在文[1]中先推導(dǎo)出了拋物算子Lau

的一個先驗(yàn)估計(jì)kuk2,1≤CkLuk0,進(jìn)而得到了解存在唯一性定理.受到上述思想的啟發(fā),我們將對二階拋物型算子

建立一個優(yōu)先估計(jì)

然后利用非線性分析的方法討論方程(1.1)解的存在性問題,并推導(dǎo)出一類二階拋物型方程初邊值問題解的存在唯一性的一個充分條件.我們的證明不同于Elcart和sigillito給出的證明.一個有趣的工具,吸引盆,在我們的主要定理2.1的證明中起著重要的作用,下面先給出有關(guān)吸引盆理論的相關(guān)知識.

引理1.1[6]設(shè)E,F為Banach空間,H為E中連通開集.f：H?E→F在H上是局部同胚的C1映射.設(shè)x0∈H,對于任何x∈H,路徑提升問題有唯一一個定義在最大開區(qū)間Ix=(t-x,t+x),-∞≤t-x,t+x≤+∞上的連續(xù)解t→γx(t),并且集合{(x,t)∈H×R：t∈Ix}是H×R上的開集,映射(x,t)→γx(t)是連續(xù)的.

定義1.1[6]在引理1.1的假設(shè)條件下,x0的吸引盆是指集合B={x∈H：t+x=+∞}.

定理1.1[8]設(shè)連續(xù)映射f：H?E→F是局部同胚的,則f是全局同胚的充要條件是對所有的x∈B,γx(t)都定義在實(shí)數(shù)R上,即γx(t)可以向-∞延伸.

2 一些不等式

在這一部分,將推導(dǎo)一些重要的不等式,它們在主要定理的證明中起著重要作用.考慮二階拋物算子

其中a(x)是t,x1,···,xn的有界函數(shù).設(shè)W0(D)是以

為范數(shù)的Hilbert空間,其中梯度是相對于空間變量,并且u∈W0(D)意味著u是定義在D=Ω×[0,T]中的;Ω是緊的有界集,其邊界分段光滑且處處有非負(fù)平均曲率;|D2u|2表示關(guān)于空間變量的所有二階導(dǎo)數(shù)的平方和.

記

(2.1)式可以寫為

根據(jù)上述假設(shè)可得L0是一個由W0(D)映入L2(D)的線性算子.

3 主要定理

下面給出方程

滿足初始條件u(x,0)=0,(x,t)∈?Ω×(0,T)的解的存在性和唯一性的充分條件.

設(shè)?Ω∈C2,對于所有的(x,t),h關(guān)于u連續(xù),且對于所有的u,h關(guān)于(x,t)可測,且有直到三階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).

將式(3.1)改寫為算子形式

于是式(3.1)等價于

求Frechet導(dǎo)數(shù),于是對一切u,φ∈W0(D),有

定理3.1假設(shè)

[1]Elcrat A R,Sigillito V G.An explicit a priori estimate for parabolic equations with applications to semilinear equations[J]．J.Math.Anal.,1976,7(3)：746-753.

[2]Chen P J,Gurtin M E.On a theory of heat conduction involving two temperatures[J].Z.Angew. Math.Phys.,1968,19(4)：614-627.

[3]Sigillito V G.Pointwise bounds for solutions of semilinear parabolic equations[J].SIAM J.Appl. Math.,1967,9(3)：581-585.

[4]Sigillito V G.On a continuous method of approximating solutions of the heat equation[J].J.Assoc. Comp.Mach.,1967,14(4)：732-741.

[5]Feng Y Q,Wang Z Y.The application of the basin of attraction to the existence and uniqueness of solutions for the second order parabolic boundary value problem[J].J.Math.,2016,36(5)：949-954.

[6]Gorni G.Acriterion of invertibility in the large for local dif f eomorphisms between Banach spaces[J]. Nonl.Anal.,1993,21(1)：43-47.

[7]Plastock R.Homeomorphism between Banach space[J].Trans.Am.Math.Soc.,1974,200：169-183.

[8]Wang W X,Shen Z H.The basin of attraction in Banach spaces and its applications[J].Acta Math. Sinica Chin.Ser.,2006,49(5)：1013-1020.

[9]Ladyzhenskaya O A,Uraltseva N N.Linear and quasiliear elliptic equation[M].New York：Academic Press,1968.

[10]Elcrat A R.Constructive existence for semilinear eliptic equations with discontinuous coefficients[J]. SIAM J.Math.Anal.,1974,5(4)：663-672.

[11]Feng Y Q,Wang Z Y,Wen C J.Global homeomorphism and applications tothe existence and uniqueness of solutions ofsome dif f erential equations[J].Adv.Dif f.Equ.,2014：52,DOI：10.1186/1687-1847-2014-52.

A EXISTENCE THEOREM FOR SOME SECOND ORDER PARABOLIC INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS

FENG Yan-qing,WANG Zong-ying,YAO Jun,WEN Chuan-jun
(School of Mathematics and Chemical Engineering,Changzhou Institute of Technology, Changzhou 213000,China)

In this paper,an a priori estimate for a second order linear parabolic operators is established.By using the basin of attraction and homeomorphism,a new sufficient condition of the existence and uniqueness of an initial boundary value problem for a second order parabolic equations is proved.This idea can be applied some semi-linear partial dif f erential equations.

second order parabolic equation;initial-boundary value problem;the basin of attraction;homeomorphism

O175

A

0255-7797(2017)05-1075-06

2016-12-01接收日期：2017-03-08

馮艷青(1969-),女,浙江義烏,教授,主要研究方向：微分方程及數(shù)值解.

2010 MR Subject Classif i cation：35K05;35K20