徐 粲， 胡一知， 鄧 瑋， 李 飛， 王勇潔， 巫緒濤

(合肥工業(yè)大學宣城校區(qū)建筑工程系，安徽宣城 242000)

基于培養(yǎng)建模能力的力學競賽資源庫建設

徐 粲， 胡一知， 鄧 瑋， 李 飛， 王勇潔， 巫緒濤

(合肥工業(yè)大學宣城校區(qū)建筑工程系，安徽宣城 242000)

力學建模是聯(lián)結力學與工程應用最為重要的紐帶，也是力學應用通向工程技術進步的一座橋梁。文章結合高校學生學習經驗，進行力學競賽資源庫建設。文中分別從知識點闡釋方式、知識點拓展、對數(shù)學能力的強化三方面概括闡述了資源庫由淺入深、循序漸進，通過提煉問題共性，由普遍至特殊拓展問題，解決問題的建立原則，以及資源庫為培養(yǎng)學生建模能力所采取的方法。

力學競賽； 材料力學； 資源庫

多年來，隨著各高校對力學的重視程度不斷加深，力學教學取得了較豐富的成果。并且，伴隨其應用的發(fā)展而不斷充實，經過國家立項的面向21世紀系列課程改革，力學課程已經取得了一系列成果[1]。其中，力學競賽培養(yǎng)了學生的科學精神、科學態(tài)度和科學方法，以及培養(yǎng)學生的意志品質、思維品質、實踐能力和自學能力。在競賽輔導的同時也豐富了教師的專業(yè)知識，更重要的是增強了教師自身的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新實力，這將直接或間接地對創(chuàng)造型人才的培養(yǎng)產生積極的影響。但各高校對力學資源庫的建設工作往往散見于有關力學和工程應用的文獻、力學競賽的輔導教材中，集中思路、強調過程的資源庫尚不成熟。尤其是力學競賽教學資源庫的建設和應用還存在著很多問題，由于力學競賽的知識廣度和思維難度都遠超本科階段學習，其資源庫的建設也涉及到方方面面的問題。

多媒體技術的飛速發(fā)展,給現(xiàn)代教育帶來了生機與活力[2]。本文結合高校學生對材料力學[3]的學習經驗，開展基于培養(yǎng)建模能力的力學競賽資源庫建設，以提高學生力學建模能力。

現(xiàn)分點闡述幫助培養(yǎng)學生力學建模能力而采用的具體方式。

1 基礎知識闡釋方式

本資源庫對基礎知識方面的闡述不同于常規(guī)課堂學習的方式。后者常從基本假定出發(fā)，一步步推導，得出結論，結合具體實例強化對知識的理解。而本資源庫基于學習對象主要為完成《材料力學》學習的學生，在介紹典型例題思路的同時系統(tǒng)地歸納串聯(lián)每個知識點，具體闡述各個知識點在例題中的應用方式。相比于常規(guī)學習中的建立模型推出結論，資源庫著重培養(yǎng)的是利用結論解決實際問題的能力。例如，在對一部分懸臂、一部分支撐在已知曲率臺座上梁的問題分析中，課件內由梁與臺座貼合這一結論結合相應知識點，得出曲率與彎矩之間的關系式，從而完成對此類問題的分析與解答。

2 關鍵知識應用拓展

本資源庫建設的目的為培養(yǎng)學生的力學建模能力，故其課件中除了對基礎知識進行歸納總結外，還對多個知識點進行了更具深度和廣度的拓展。思路分析過程循序漸進，由點至面，由基礎問題中的小知識點為起點拓寬至多個重要知識點，逐步發(fā)現(xiàn)并解決更具難度和深度的問題，旨在幫助學生在面對工程問題時，能夠“化繁為簡”，從而建立一個合理的力學模型進行分析求解。以達到提高學生建模能力與力學素養(yǎng)的預期效果，下面舉例闡述。

2.1 彎曲切應力問題分析

在基礎知識部分中，我們已完成了矩形截面梁彎曲切應力的推導?？梢园l(fā)現(xiàn)，其中所運用的切應力互等定理可作為共性繼續(xù)推廣至對任意梁橫截面彎曲切應力的推導中。

進而引入對于T型梁彎曲橫截面的切應力分析，利用之前推導實腹構件橫截面切應力的經驗，同樣將構件從縱截面處截開，但此時所截取的兩個縱截面中， 1-1截面已不同于閉口構件中恒為水平面的縱截面(圖1)，此時，1-1截面法線方向呈水平方向見圖1，而矩形截面梁的縱截面法線方向衡垂直于水平方向。

圖1 T型梁彎曲切應力推導隔離體截取位置

然后用類似的分析方法，取隔離體見圖1，利用切應力互等定理，沿軸向建立平衡方程，推導出開口薄壁橫截面切應力公式。

再推廣至任意橫截面彎曲切應力推導。例如，梁受均布軸向荷載時的彎曲切應力推導見圖2。類似之前的推導，同樣取一隔離體如圖2、圖3所示，由受力分析可知，基于切應力互等定理，但特殊在于此時正截面切應力中應再加上均布軸力的作用，然后建立軸向力的平衡方程求解，推導出此時正截面切應力的解析式。

圖2 受均布軸向力作用梁

圖3 隔離體

此例運用上例中切應力推導的方法，將問題拓寬，再結合此類問題的范式，推廣至特殊情況，然后解決問題。

課件中大量運用此類方法，在加深問題難度的同時，基于難度的逐步提升，對多種情況進行對比，提煉問題的共性，結合各實際問題的特性，建立相應力學模型進行分析，更有利于學生理解此類難度較大的問題。

2.2 對稱與反對稱問題分析

首先從內力圖及變形的對稱與反對稱情況開始引入，當兩端簡支梁受兩個對稱集中力作用時(圖4)，彎矩圖呈對稱

形式，而剪力圖呈反對稱形式(圖5)。

圖4 簡支梁受兩個對稱集中力作用

圖5 對稱反對稱內力

之后，結合能量法判斷截面所應存在的內力，引出對稱與反對稱超靜定結構的辨別。對稱性與反對稱性同時存在時(圖6)。

圖6 對稱反對稱問題

方法1：將此結構分解為對稱受力與反對稱受力的疊加見圖6，將原結構進行求解需建立一個三元一次方程組簡化為對一個二元一次方程組和一個一元一次方程的求解，簡化運算。

方法2：利用結構對稱而荷載不對稱，直接將結構從對稱處截開，得截面處呈正對稱分布的軸力和彎矩，以及呈反對稱分布的剪力。然后在運用力法求解時，基于此時單位力在兩側結構的對稱與反對稱性，簡化計算見圖6。

本例中，課件在完成對內力圖求解后，并未結束于此，而是基于此特殊內力圖中彎矩圖的對稱和剪力圖的反對稱進行了更深一步的討論，引出結構及內力具有對稱性或反對稱性時的求解方法。比如在薄壁圓環(huán)徑向受力的問題中，取1/4隔離體作分析求解。

課件中，運用此類方法在傳統(tǒng)課堂學習的基礎上，簡化各類題型的求解方法，降低解題思維的復雜程度，豐富學生的力學知識的同時，培養(yǎng)了學生對實際工程的處理能力。

2.3 不同材料組合梁的橫截面應力分布問題分析

首先結合組合梁與單一材料梁的共性，從“平面假定”的概念出發(fā)，推出“截面應變連續(xù)”的幾何關系。然后由“單向胡克定律”：

利用這一本構關系，得到截面上各點處的應力分布狀態(tài)，應力沿截面高度不連續(xù)見圖7。由靜力等效原理，通過改變截面尺寸將不同材料的組合梁換為同種材料的T型梁見圖7。

圖7 組合梁問題

指出兩者在純彎曲狀態(tài)下軸力為零的共性。結合《材料力學》中，對純彎曲梁中性軸位置的推導過程和方法，以此來確定此T型梁中性軸的位置。最后，由截面外力矩與截面應力合力矩平衡的條件，得到組合截面梁橫截面的應力大小。

本例中，課件將對梁橫截面應力求解拓展至對不同材料組合梁的橫截面應力求解，通過從基礎出發(fā)，加深難度，然后結合問題的共性和特性，進行分析求解。

整個資源庫的建設都類似以上三點情況，整體的建設內容循序漸進、深入淺出，首先歸納知識點找出問題的共性，而后加深難度至具特性的問題，由普遍至特殊，拓寬知識廣度。這既幫助學生梳理課堂知識，又為教師上課提供了便利。同時，讓學生在課堂上就能學會舉一反三。

3 力學問題數(shù)學分析

部分力學問題的難點，不在于力學知識，而在于數(shù)學計算。故在資源庫的建設中，課件在基礎知識的歸納和拓展部分，還植入數(shù)學知識。在一些特定問題上，通過對數(shù)學知識的運用，建立了相應力學問題具力學性質的數(shù)學解析式。從 數(shù)學上對力學問題進行分析，突出對學生數(shù)學能力的培養(yǎng)，也加強了學生的綜合建模能力：

3.1 壓桿穩(wěn)定問題

在彎曲章節(jié)中，我們曾推導出撓曲線近似微分方程中撓度二階導數(shù)與梁所受彎矩的關系：

EIy″=-M(x)

引入記號，

可得彎曲問題與穩(wěn)定性問題所共同具有的撓曲線二階微分方程：

y″+k2y=0

然后對y在求兩次導，得兩者共有的撓曲線四階微分方程：

此時彎曲問題以及穩(wěn)定性問題，都可結合相類似的位移邊界條件和靜力邊界條件，完成對上述兩個微分方程的求解。

而兩個問題的不同之處在于，彎曲問題對撓曲線近似微分方程的求解中，目的為求解撓度y的具體表達式，而在穩(wěn)定性求解中，目的在對方程通解系數(shù)進行求解得到壓桿穩(wěn)定的臨界力。顯然，無論是對彎曲問題的求解，還是對穩(wěn)定性問題的分析，其中大量使用的數(shù)學技巧都在提高學生的數(shù)學素養(yǎng)，通過對比，加深學生對相應知識點的理解。

3.2 平面應力狀態(tài)分析

對平面應力狀態(tài)微元體受力分析，建立任意截面位置的應力狀態(tài)矩陣表達式，從而可以實現(xiàn)應力的坐標變換，進行實際問題的分析。此處運用線性代數(shù)對力學問題進行分析，進而培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。

以上兩個問題的分析中，運用了常微分方程、矩陣變換等多種數(shù)學知識。數(shù)學技巧作為工科學生的一項必備素質，在力學建模中更是不可或缺。

課件中除了上述問題中所用到數(shù)學技能外，還在其他更多問題的具體分析中也用到了奇異積分、特殊函數(shù)等多項數(shù)學知識。在對力學問題求解中，通過對各類數(shù)學技能和數(shù)學知識的運用，提高了學生的數(shù)學水平，也增進了學生的力學建模能力。

4 結束語

力學建模作為連接理論與實踐的橋梁，在人才培養(yǎng)中占著舉足輕重的作用。本文通過介紹力學競賽資源庫的幾項特點，簡單闡述了力學競賽資源庫對學生力學建模能力培養(yǎng)和力學素質提高中所采取的方法。通過此次對資源庫的建設，也提升了筆者的力學建模能力和力學素養(yǎng)。本文以培養(yǎng)具有良好力學建模能力的學生為目的所進行的資源庫建設雖然考慮了部分實際情況，但由于資源庫使用時間短暫，還有更多的問題需在將來的不斷實踐中加以更正。

(指導教師巫緒濤系合肥工業(yè)大學副教授)

[1] 范欽珊，李緋，倪如慧， 等. 工程力學課程教學資源庫的建設[J]. 中國大學教育，2004(4)：21-22.

[2] 宋祥紅.巖土工程網(wǎng)絡教學資源庫的開發(fā)[D]. 西安： 長安大學，2005.

[3] 楊伯源.材料力學[M].北京：機械工業(yè)出版社，2002.

徐粲(1996～)，男，本科在讀，土木工程專業(yè)。

TU311.41

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[定稿日期]2017-08-08