郝立峰 王三民 王飛鳴

1.西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，西安,7100722.中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽(yáng)，110015

星形人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)模式的理論研究

郝立峰 王三民 王飛鳴

1.西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，西安,7100722.中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽(yáng)，110015

采用集中質(zhì)量法建立了含N個(gè)星輪的星形人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彎-扭-軸耦合動(dòng)力學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)方程。模型中將人字齒輪看作由兩斜齒輪通過(guò)無(wú)質(zhì)量彈簧連接而成。求解了系統(tǒng)的固有圓頻率和固有振型，根據(jù)振動(dòng)模式將星形人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的固有振動(dòng)模式進(jìn)行分類，并對(duì)其重根數(shù)和固有頻數(shù)個(gè)數(shù)進(jìn)行了理論研究。結(jié)果表明：星形人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)含有4種典型振動(dòng)模式，即：中心構(gòu)件軸向-扭轉(zhuǎn)耦合模態(tài)(重根數(shù)r=1)，星輪模態(tài)(重根數(shù)r=N-3，N>3)，中心構(gòu)件平動(dòng)模態(tài)(重根數(shù)r=2)，星輪與中心輪耦合模態(tài)(重根數(shù)r=2)。

星形人字齒輪;傳動(dòng)系統(tǒng)；耦合模態(tài)；星輪模態(tài)；平動(dòng)模態(tài)

0 引言

星形齒輪傳動(dòng)在航空領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]。星形傳動(dòng)系統(tǒng)中的噪聲和振動(dòng)問(wèn)題一直是齒輪傳動(dòng)領(lǐng)域研究的重點(diǎn)。國(guó)外學(xué)者LIN等[2]分析了單節(jié)點(diǎn)三自由度的直齒行星齒輪系統(tǒng)固有特性,將其模態(tài)分成三類并進(jìn)行了證明；KIRACOFE等[3]將直齒行星齒輪傳動(dòng)的理論分析模型擴(kuò)展到了多級(jí)行星傳動(dòng)；PARKER[4]提出通過(guò)調(diào)整嚙合相位差來(lái)抑制系統(tǒng)的三種振動(dòng)模式；基于對(duì)直齒行星傳動(dòng)振動(dòng)模式的分類，LIN等[5-6]對(duì)直齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)靈敏度進(jìn)行了分析，得出了系統(tǒng)模態(tài)對(duì)于系統(tǒng)參數(shù)靈敏度的解析表達(dá)式，并在此基礎(chǔ)上分析了直齒行星傳動(dòng)模態(tài)躍遷的相關(guān)規(guī)律，為系統(tǒng)參數(shù)選擇提供了指導(dǎo)。國(guó)內(nèi)學(xué)者林何等[7]對(duì)斜齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)進(jìn)行分類并研究了它的非線性特性；卜忠紅[8]研究了人字齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)固有特性，并對(duì)其模態(tài)進(jìn)行了分類和證明；任菲等[9]研究了太陽(yáng)輪浮動(dòng)對(duì)行星人字齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性的影響。

本文建立了星形人字齒輪系統(tǒng)彎-扭-軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，將人字齒輪等效為由退刀槽相連的左右兩斜齒，研究系統(tǒng)固有特性，將系統(tǒng)模態(tài)進(jìn)行分類，證明了人字齒輪傳動(dòng)4種典型模態(tài)，前3種模態(tài)與LIN等[2]對(duì)直齒行星傳動(dòng)系統(tǒng)分類得出的3種模態(tài)類似，第4種星輪與中心輪耦合模態(tài)為人字齒特有的新型模態(tài)，此研究為單級(jí)和多級(jí)星形人字齒輪振動(dòng)抑制及相位調(diào)諧機(jī)理的研究打下了理論基礎(chǔ)。

1 動(dòng)力學(xué)模型及方程的建立

人字齒星形傳動(dòng)減速器彎-扭-軸耦合動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示,它由太陽(yáng)輪s、內(nèi)齒圈r及N(N為星輪個(gè)數(shù))個(gè)星輪p組成(圖1中量符號(hào)下標(biāo)ξ=c,s,r)。其中，太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈分別作為輸入、輸出構(gòu)件，星輪通過(guò)星形架與機(jī)架固連；內(nèi)齒圈為組合式，采用兩個(gè)旋向相反的斜齒輪拼接而成，太陽(yáng)輪和各星形輪為整體式。圖1中β為人字齒輪基圓螺旋角；ksp、krp分別為太陽(yáng)輪星輪和星輪內(nèi)齒圈單邊斜齒嚙合剛度。在動(dòng)力學(xué)模型中，將單個(gè)人字齒輪分為左右斜齒兩部分，每一部分考慮x、y、z、θz四個(gè)自由度，系統(tǒng)共有8N+20個(gè)自由度；各星輪沿周向均勻分布，且質(zhì)量、支撐剛度等參數(shù)均相同；人字齒輪左右側(cè)完全對(duì)稱。下文中量符號(hào)的下標(biāo)s、pn、c、r分別代表太陽(yáng)輪、星輪、星形架、內(nèi)齒圈的相關(guān)參量，下標(biāo)L、R表示人字齒輪的左右側(cè)兩部分相關(guān)參量。

圖1 星形人字齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Dynamical model of double-helical star geartransmission

模型構(gòu)件較多，采用有限元思想建立動(dòng)力學(xué)模型[10]。圖2表示第n個(gè)星輪與太陽(yáng)輪嚙合，其中第n個(gè)星輪的安裝角φn=2π(n-1)/N；齒輪副的嚙合線平面與中心構(gòu)件y軸夾角為ψspn,且有

圖2 太陽(yáng)輪-星輪n齒輪副動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of sun-starn pair

(1)

式中，α為系統(tǒng)人字齒輪端面壓力角。

以太陽(yáng)輪星輪右側(cè)單邊嚙合為例，導(dǎo)出單邊嚙合動(dòng)力學(xué)方程如下:

(2)

(3)

其中，ms、Js、rs，mpn、Jpn、rpn分別為太陽(yáng)輪和星輪單側(cè)質(zhì)量、繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、基圓半徑。pspnR(t)為人字齒右側(cè)沿齒輪嚙合線方向相對(duì)嚙合位移。sα=sinα,cα=cosα,其余類推。

合并式(2)、式(3)，并整理為矩陣形式：

以太陽(yáng)輪兩側(cè)斜齒之間耦合矩陣推導(dǎo)為例說(shuō)明左右側(cè)斜齒連接矩陣的推導(dǎo)過(guò)程，如圖2所示，左右側(cè)齒輪連接無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)方程如下：

(4)

(5)

其中，kssx、kssy、kssz、kssθ分別表示太陽(yáng)輪退刀槽的徑向、軸向、豎向和旋轉(zhuǎn)剛度。合并式(4)、式(5)，并整理為矩陣形式：

同理得星輪和內(nèi)齒圈連接矩陣Kp、Kr。

如圖3所示，以第n個(gè)星輪單側(cè)與星形架耦合為例，導(dǎo)出單邊星輪與星形架耦合方程如下：

圖3 星輪n-星形架耦合動(dòng)力學(xué)模型Fig.3 Dynamic model of star-carriern pair

(6)

(7)

式中，kp、kpz為星輪與星形架之間的徑向支撐剛度、軸向支撐剛度；rc為星輪旋轉(zhuǎn)中心至星形架旋轉(zhuǎn)中心距離,rc=rs+rp。

合并式(6)、式(7)，并整理為矩陣形式：

按有限元思想，系統(tǒng)無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程如下：

K=Kb+KL+Km

KL=

Km=

Ks=diag(kssx,kssy,kssz,kssθ)

Kp=diag(kppx,kppy,kppz,kppθ)

Kr=diag(krrx,krry,krrz,krrθ)

式中，Kb、KL、Km分別為支撐剛度矩陣、左右側(cè)耦合矩陣、嚙合副耦合矩陣；kζ、kζz、kζθ(ζ=c,s,pn,r)分別為構(gòu)件徑向支撐剛度、軸向支撐剛度、軸向扭轉(zhuǎn)剛度,n=1，2，…，N。

行星人字齒輪傳動(dòng)剛度矩陣與星形傳動(dòng)剛度矩陣區(qū)別僅是支撐剛度矩陣Kb中軸向扭轉(zhuǎn)剛度取值不同。對(duì)于星形傳動(dòng),ksθ、krθ為0，kcθ為非0；對(duì)于行星傳動(dòng),ksθ、kcθ為0，krθ非0。因而下文證明對(duì)行星傳動(dòng)也是適用的。

2 固有特性規(guī)律

表1 傳動(dòng)系統(tǒng)剛度參數(shù)

表2 傳動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)件參數(shù)

分析固有圓頻率及振型，系統(tǒng)模態(tài)分為四類，振型如圖4所示，圖中黑點(diǎn)和實(shí)線表示振動(dòng)振型所決定的構(gòu)件位置，虛線表示構(gòu)件靜平衡位置。

(1)中心構(gòu)件軸向-扭轉(zhuǎn)耦合模態(tài)18個(gè)(重根數(shù)r=1)，固有圓頻率數(shù)值見(jiàn)表3第1欄，振型如圖4a所示。振型特征為：中心構(gòu)件平動(dòng)振型坐標(biāo)為0，僅有軸向和扭轉(zhuǎn)；星輪振型相同。

(2)星輪模態(tài)8個(gè)(重根數(shù)r=N-3)，此模態(tài)只有當(dāng)N>3時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，固有圓頻率數(shù)值大小與星輪個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。頻率數(shù)值見(jiàn)表3第4欄，振型如圖4b所示。其振型特征為：中心構(gòu)件不動(dòng)；星輪振型成比例變化。

(3)中心構(gòu)件平動(dòng)模態(tài)7個(gè)(重根數(shù)r=2)，頻率數(shù)值見(jiàn)表3第2欄，振型如圖4c所示。其振型特征為：中心構(gòu)件軸扭振型坐標(biāo)為0，僅有平動(dòng)；人字齒左右兩側(cè)振型z向相反，其他相同。

表3 系統(tǒng)固有圓頻率(rad/s)及其重根數(shù)與星輪個(gè)數(shù)關(guān)系

(a)中心構(gòu)件軸向-扭轉(zhuǎn)耦合模態(tài) (b)星輪模態(tài)

(c)中心構(gòu)件平動(dòng)模態(tài) (d)星輪與中心輪耦合模態(tài)圖4 星形人字齒輪傳動(dòng)四種模態(tài)振型Fig.4 Vibration modes of the double-helical star gear transmission system

(4)星輪與中心輪耦合模態(tài)6個(gè)(重根數(shù)r=2)，頻率數(shù)值見(jiàn)表3第3欄，振型如圖4d所示。其振型特征為：中心構(gòu)件除星形架不動(dòng)外，其他平動(dòng)；同側(cè)星輪振型成比例變化；人字齒左右兩側(cè)振型z向相同，其他相反。

前三類模態(tài)與LIN等[2]提出的直齒行星齒輪模態(tài)相似，第四類模態(tài)是由于自由度數(shù)增多而產(chǎn)生的全新模態(tài)。

3 固有特性規(guī)律的證明

為了證明其振型規(guī)律，假設(shè)系統(tǒng)的固有圓頻率為ωk，對(duì)應(yīng)振型為Φk，則

Φk=(Pc，PrL，PsL，P1L，…，PrR，PsR，P1R，…)T

Pξ=(xξ，yξ，zξ，θξ)ξ=
(Pc，PrL，PsL，P1L，…，PrR，PsR，P1R，…)

分塊代入整理后可得

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

系統(tǒng)模態(tài)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)式(8)～式(14)特征值ωk及其對(duì)應(yīng)振型的求解問(wèn)題。

3.1中心構(gòu)件軸向-扭轉(zhuǎn)耦合模態(tài)證明

中心構(gòu)件軸向-扭轉(zhuǎn)耦合模態(tài)的振型特征如下式所示:

(15)

中心構(gòu)件只有軸扭，同側(cè)星輪的振型相同。

將Φk代入式(8)～式(10)、式(12)、式(13)整理得

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

將Φi代入式(11)和式(14)得到：

(26)

(27)

系統(tǒng)的固有圓頻率求解轉(zhuǎn)化為求解式(15)中所含18個(gè)變量的特征值ωk的問(wèn)題，式(16)～式(27)共有18個(gè)方程，聯(lián)立后可以計(jì)算得到18個(gè)固有圓頻率和其對(duì)應(yīng)振型。

3.2星輪模態(tài)證明

此振型的特征如下式所示：

(28)

中心構(gòu)件不動(dòng)，單側(cè)星輪成比例運(yùn)動(dòng)，其中，λn為常數(shù)。

將Φi代入式(8)～式(10)、式(12)、式(13)整理得

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

3.3中心構(gòu)件平動(dòng)模態(tài)證明

3.3.1等價(jià)性結(jié)論的證明

在證明此模態(tài)之前，首先證明以下結(jié)論：式(9)～式(11)和式(12)～式(14)對(duì)應(yīng)等價(jià)的前提條件是人字齒左右側(cè)振型滿足以下兩個(gè)條件之一。兩個(gè)條件為：①中心構(gòu)件平動(dòng)，左右側(cè)振型z向相反，其他項(xiàng)相同；②中心構(gòu)件平動(dòng)，左右側(cè)振型z向相同，其他項(xiàng)相反。由于篇幅限制，僅對(duì)振型滿足條件①時(shí)式(11)和式(14)的等價(jià)性進(jìn)行證明，其他證明過(guò)程類似。

式(11)、式(14)中的(Ⅲ)表達(dá)式如下：

sψrpncβsβxr+sψspncβsβxs+τκzp-
cψrpncβsβyr+cψspncβsβys=0

(36)

-sψrpncβsβxr+cψrpncβsβyr-τκzp-
sψspncβsβxs-cψspncβsβys=0

(37)

3.3.2中心構(gòu)件平動(dòng)模態(tài)證明

(38)

將Φk代入式(8)～式(10)得

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

易于證明：

(45)

(46)

3.4星輪中心輪耦合模態(tài)證明

(47)

固有頻率個(gè)數(shù)以及重?cái)?shù)證明過(guò)程如下。

將Φk代入式(8)～式(10)得出：

(48)

(49)

(50)

(51)

易于證明：

(52)

(53)

星輪振型成比例變化證明過(guò)程如下。為了表示方便，引入如下中間變量：

εs=ksp(-sαc2β，-cαc2β，cβsβ，c2βrp)T

εr=krp(-sαc2β，cαc2β，cβsβ，c2βrp)T

-η(ωk)P1=εs(sαxs+cαys)+εr(sαxr-cαyr)

(54)

(55)

(56)

(57)

整理式(56)、式(57)得

(58)

將式(58)代入式(54)、式(55)可得

4 結(jié)論

(1)中心構(gòu)件軸向-扭轉(zhuǎn)模態(tài)18個(gè)(重根數(shù)r=1)。其振型特征為：中心構(gòu)件平移振型坐標(biāo)為0，僅有軸扭；同側(cè)星輪振型相同。

(2)星輪模態(tài)8個(gè)(重根數(shù)r=N-3)，此模態(tài)只有當(dāng)N>3時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，固有圓頻率數(shù)值大小和星輪個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。其振型特征為：中心構(gòu)件不動(dòng)；同側(cè)星輪振型成比例變化。

(3)中心構(gòu)件平動(dòng)模態(tài)7個(gè)(重根數(shù)r=2)。其振型特征為：中心構(gòu)件僅有平動(dòng)；人字齒左右兩側(cè)振型坐標(biāo)z相反，其他相同。

(4)星輪中心輪耦合模態(tài)6個(gè)(重根數(shù)r=2)。其振型特征為：中心構(gòu)件除星形架不動(dòng)外，其他均只有平動(dòng)；星輪振型呈比例；人字齒左右兩側(cè)振型坐標(biāo)z向相同，其他相反。

(5)星形傳動(dòng)的四類振型特征同樣適用于同自由度數(shù)的行星人字齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)。

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(編輯王艷麗)

TheoreticalResearchofVibrationModesforDouble-helicalStarGearTransmissionSystems

HAO Lifeng WANG Sanmin WANG Feiming

1.School of Mechanical Engineering, Northwestern Polytechnical University,Xi’an,710072 2.Shenyang Engine Design and Research Institute,Aviation Industry Corporation of China, Shenyang,110015

Dynamics model and dynamics equations with coupled bent-torsional-axial of a double-helical star gear transmission system was established based on the lumped mass method. The double-helical gears were treated as two helical gears with opposite spiral angle connected by massless spring which had the bending, torsion and axial stiffnesses. The natural cyclic frequencies and vibration modes of the system were calculated. The structure of the vibration modes were well-defined, where the special structure resulted from the cyclic symmetry of the star herringbone gears. Vibration modes were classified into four categories and the multiplicities and numbers of the eigenvalue were analyzed. The results show that the double-helical star gear transmission system has four typical vibration modes: axial-rotational coupled vibration mode (multiplicityr=1), star gear mode (multiplicityr=N-3,N>3), center component translational vibration mode (multiplicityr=2), star gear and center gear coupled mode (multiplicityr=2).

double-helical star gear; transmission system; coupled vibration mode; star gear mode; translational vibration mode

2016-04-08

TH133

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.17.014

郝立峰，男，1992年生。西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院碩士研究生。主要研究方向?yàn)辇X輪傳動(dòng)系統(tǒng)減振降噪。王三民，男，1960年生。西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。王飛鳴，男，1978年生。中國(guó)航空工業(yè)集團(tuán)公司沈陽(yáng)發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所高級(jí)工程師。