郭迎福 羅炎旺 趙延明 何鴻曦 譚華江

1.湖南科技大學(xué)機(jī)械設(shè)備健康維護(hù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湘潭,4112012.湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，湘潭,411201

考慮產(chǎn)品性能偏差約束的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)

郭迎福1羅炎旺1趙延明2何鴻曦1譚華江1

1.湖南科技大學(xué)機(jī)械設(shè)備健康維護(hù)湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湘潭,4112012.湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，湘潭,411201

實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，影響加工成本的因素很多，很難用一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型來(lái)精確描述所有類(lèi)型的加工成本-公差關(guān)系。以產(chǎn)品加工成本與質(zhì)量損失成本之和最小為優(yōu)化目標(biāo)，以產(chǎn)品性能偏差與經(jīng)濟(jì)加工精度為約束，建立了產(chǎn)品的公差優(yōu)化模型；然后采用遺傳算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解；最后以某型號(hào)汽車(chē)空調(diào)壓縮機(jī)為例驗(yàn)證該模型的有效性。

公差成本；性能偏差；遺傳算法；公差優(yōu)化

0 引言

公差優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)機(jī)械產(chǎn)品的質(zhì)量影響非常大，通過(guò)公差優(yōu)化設(shè)計(jì)來(lái)提高產(chǎn)品的質(zhì)量并減少成本投入一直是國(guó)內(nèi)外研究的熱點(diǎn)。而如何建立一個(gè)合理的公差優(yōu)化模型是產(chǎn)品公差優(yōu)化設(shè)計(jì)的重點(diǎn)[1]。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)公差優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了深入研究，但他們的研究工作大都是基于尺寸鏈或傳動(dòng)鏈[2-4]。考慮產(chǎn)品性能穩(wěn)定性的公差優(yōu)化比基于尺寸鏈或傳動(dòng)鏈的公差優(yōu)化更符合長(zhǎng)遠(yuǎn)利益[5]，公差優(yōu)化的目的就是降低公差總成本。

1 建立公差優(yōu)化模型

1.1加工公差成本

在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中，由于產(chǎn)品零件的形狀、幾何尺寸各不相同，而且影響加工成本的因素很多，很難用一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型來(lái)精確描述所有類(lèi)型的加工成本-公差關(guān)系。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)加工成本-公差關(guān)系的數(shù)學(xué)模型做了很多研究，提出了很多可用的加工成本-公差關(guān)系數(shù)學(xué)模型?，F(xiàn)階段比較成熟的加工成本-公差模型有指數(shù)模型、冪指數(shù)模型、負(fù)平方模型、多項(xiàng)式模型和復(fù)合模型等。

零件的幾何形狀多種多樣, 按其加工特征可分為四類(lèi), 即外圓特征、孔特征、定位特征和平面特征。這四種公差加工成本函數(shù)如下[6]：

外圓特征的尺寸公差成本函數(shù)為

(1)

式中，Ti為符合公差成本函數(shù)的任何公差T。

內(nèi)孔特征的尺寸公差成本函數(shù)為

(2)

定位特征的尺寸公差成本函數(shù)為

(3)

平面特征的尺寸公差成本函數(shù)為

(4)

則關(guān)鍵零部件總加工成本為

(5)

1.2田口質(zhì)量損失成本[7]

設(shè)產(chǎn)品質(zhì)量特性為y，目標(biāo)值為m，相應(yīng)損失為L(zhǎng)(y)，則有

L(y)=K(y-m)2

(6)

式中，K為不依賴(lài)于y的比例常數(shù)。

我們稱(chēng)式(6)為望目特性的質(zhì)量損失函數(shù)[8]。

在公差設(shè)計(jì)中，公差為雙向?qū)ΨQ(chēng)分布,即有y-m=T/2，則

(7)

式中，A為產(chǎn)品為不合格品時(shí)所造成的損失。

尺寸公差Ti造成的質(zhì)量損失成本為[9]

(8)

關(guān)鍵零部件公差總的質(zhì)量損失成本為

(9)

則公差總成本可表示為

(10)

1.3約束條件

1.3.1經(jīng)濟(jì)加工精度約束

在進(jìn)行公差優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，設(shè)計(jì)的公差不能超過(guò)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)加工能力范圍，即

Tmini≤Ti≤Tmaxi

(11)

式中，Tmini為第i個(gè)尺寸的最小加工能力公差；Tmaxi為第i個(gè)尺寸的最大加工能力公差。

1.3.2性能偏差約束

運(yùn)用多元函數(shù)的全微分理論可近似得到函數(shù)的系統(tǒng)誤差[10]

(12)

式中，f為性能函數(shù)；Δx1,Δx2,…,Δxn為各尺寸偏差。

那么在某已知工況下，產(chǎn)品的性能偏差關(guān)于產(chǎn)品的關(guān)鍵零部件尺寸偏差Δx1,Δx2,…,Δxi,…,Δxn的系統(tǒng)誤差為

(13)

ΔQmin≤ΔQ0≤ΔQmax

(14)

(15)

式(13)即為公差優(yōu)化設(shè)計(jì)中關(guān)于尺寸偏差與性能偏差的約束方程。

1.4優(yōu)化模型

綜上所述，可以建立最小公差總成本優(yōu)化模型如下:

1.5優(yōu)化算法

在本文的公差優(yōu)化模型中，目標(biāo)函數(shù)與性能約束均為較復(fù)雜的非線性方程，故采用遺傳算法求解是非常合適的，遺傳算法的步驟見(jiàn)圖1。

圖1 遺傳算法步驟Fig.1 The genetic algorithm steps

2 實(shí)例分析

2.1汽車(chē)空調(diào)壓縮機(jī)制冷量Q與關(guān)鍵零部件尺寸關(guān)系

在給定工況的條件下，壓縮機(jī)的制冷量Q0主要由壓縮機(jī)的排量V決定，本文研究的SD7V16型車(chē)載空調(diào)壓縮機(jī)的關(guān)鍵機(jī)構(gòu)示意圖見(jiàn)圖2。由SD7V16關(guān)鍵機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知：排量V由搖擺斜盤(pán)式傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵零部件尺寸、斜盤(pán)傾斜角決定。在實(shí)際工作過(guò)程中，壓縮機(jī)7個(gè)活塞的正背面均受到氣體壓力的作用，當(dāng)正背面氣體壓力平衡時(shí)，斜盤(pán)組件以穩(wěn)定的斜盤(pán)傾斜角高速運(yùn)轉(zhuǎn)，當(dāng)通過(guò)調(diào)控控制閥來(lái)改變曲軸箱內(nèi)壓力時(shí)，活塞正背壓力合力產(chǎn)生的力矩發(fā)生變化，從而改變斜盤(pán)傾角的大小，可最終實(shí)現(xiàn)對(duì)排量的控制。假定SD7V16關(guān)鍵機(jī)構(gòu)保持最大斜盤(pán)傾斜角α=24°不變，則排量V僅由搖擺盤(pán)鉸接中心分布圓半徑r、雙球頭連桿兩端球頭中心距l(xiāng)、搖擺盤(pán)厚度h、氣缸中心分布圓半徑R、活塞直徑D這5個(gè)關(guān)鍵尺寸與公差所決定,而在給定工況下，壓縮機(jī)實(shí)際功率一定，斜盤(pán)傾斜角不變(α=24°)時(shí)，制冷量Q0可認(rèn)為僅由排量V決定，故可視為制冷量Q0僅與R、r、h、l、D這5個(gè)關(guān)鍵尺寸相關(guān)。

圖2 SD7V16關(guān)鍵機(jī)構(gòu)示意圖Fig.2 Key institutions schematic of SD7V16

2.2關(guān)鍵零部件公差成本建模

2.2.1加工成本模型

設(shè)r、l、h、R、d優(yōu)化后的加工公差分別為T(mén)1、T2、T3、T4、T5。先根據(jù)各個(gè)公差的特征類(lèi)型選取合適的加工公差成本模型。其中,T1、T2選定位特征尺寸的公差成本函數(shù);T3選平面特征尺寸的公差成本函數(shù)；T4選內(nèi)孔特征尺寸的公差成本函數(shù)；T5選外圓特征尺寸的公差成本函數(shù)。那么SD7V16型壓縮機(jī)關(guān)鍵零部件總加工成本為

(16)

2.2.2質(zhì)量損失成本模型

表1所示為關(guān)鍵零部件尺寸公差與報(bào)廢成本之間的關(guān)系。由優(yōu)化后的尺寸公差Ti造成的質(zhì)量損失成本為

(17)

式中，Ai為報(bào)廢成本。

SD7V16各關(guān)鍵零部件公差總的質(zhì)量損失成本為

(18)

表1 關(guān)鍵零部件尺寸公差與報(bào)廢成本Tab.1 Key parts size tolerance and scrap cost

2.3標(biāo)準(zhǔn)工況條件的確立

設(shè)搖擺盤(pán)鉸接中心分布圓半徑偏差為Δr，雙球頭連桿兩端球頭中心距偏差為Δl，搖擺盤(pán)厚度偏差為Δh，氣缸中心分布圓半徑偏差為ΔR，活塞直徑偏差為ΔD。引入尺寸偏差到活塞行程、壓縮機(jī)排量方程中[11]，可得到活塞行程偏差方程和壓縮機(jī)排量偏差方程分別為

ΔS=S1(α)-S(α)

(19)

(20)

式中，S(α)為活塞行程。

壓縮機(jī)在理論規(guī)定的工況下運(yùn)行時(shí)制冷量為Q0，Q0由容積效率ηV、活塞直徑D、活塞行程S、壓縮機(jī)轉(zhuǎn)速n、汽缸數(shù)z、蒸發(fā)器進(jìn)出口焓差h1-h2、吸氣質(zhì)量體積V1所決定，其計(jì)算公式為

(21)

式中，q0為單位質(zhì)量制冷量；M為氣體質(zhì)量。

由運(yùn)動(dòng)學(xué)分析可知，活塞行程S、活塞直徑D與壓縮機(jī)排量V的函數(shù)關(guān)系為

(22)

把式(22)代入式(21)可得在規(guī)定工況下制冷量Q0與壓縮機(jī)排量V的函數(shù)關(guān)系式為

(23)

式中，λ為吸氣系數(shù)。

當(dāng)壓縮機(jī)排量偏差為ΔV時(shí)，制冷量偏差

(24)

那么可以定義：在某穩(wěn)定工況下以壓縮機(jī)在最大斜盤(pán)傾斜角α=24°時(shí)的制冷量作為衡量SD7V16產(chǎn)品制冷性能的唯一參數(shù)。擬定合理的SD7V16壓縮機(jī)標(biāo)準(zhǔn)工況條件[12]，如表2所示。則可以根據(jù)式(24)求解出該標(biāo)準(zhǔn)工況條件下的制冷量偏差ΔQ0。

表2 壓縮機(jī)標(biāo)準(zhǔn)工況條件Tab.2 Compressor working conditions of the standard

SD7V16變排量壓縮機(jī)的制冷量是根據(jù)汽車(chē)室內(nèi)熱負(fù)荷變化進(jìn)行調(diào)節(jié)的。已知尺寸偏差，通過(guò)計(jì)算24°斜盤(pán)傾斜角時(shí)SD7V16在已知標(biāo)準(zhǔn)工況條件下的最小、最大制冷量偏差,可以為該標(biāo)準(zhǔn)工況下的尺寸公差優(yōu)化提供制冷量偏差的數(shù)值約束。

根據(jù)求解的方程，代入關(guān)鍵零部件尺寸與最大尺寸偏差數(shù)據(jù)，可以求出ΔQ0max,即

在穩(wěn)定工況下，排量偏差會(huì)直接導(dǎo)致制冷量偏差的產(chǎn)生。當(dāng)尺寸偏差為最大極限尺寸偏差，即為T(mén)/2時(shí)，制冷量偏差達(dá)到最大，求得ΔQ0max=17.565 W；當(dāng)不存在尺寸偏差時(shí)制冷量偏差最小,即ΔQ0min=0。

2.4公差優(yōu)化模型

綜上所述，為了解決SD7V16關(guān)鍵零部件的公差分配問(wèn)題，建立考慮制冷量偏差約束的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)模型如下。

變量：

T={T1,T2,T3,T4,T5}

目標(biāo)：

minF(T)=CM(T)+Ci(T)

加工能力約束:

性能要求約束：

2.5遺傳算法求解與結(jié)論分析

基于MATLAB遺傳算法對(duì)優(yōu)化模型求解，取種群大小n=50，進(jìn)化代數(shù)取50，離散精度取0.01，交叉概率pc=0.92，變異概率pm=0.04。程序經(jīng)過(guò)調(diào)試后逐漸趨于穩(wěn)定，經(jīng)過(guò)27次迭代后，得到最穩(wěn)定解如圖3所示，其中目標(biāo)值F(T)=21.635。

圖3 優(yōu)化迭代過(guò)程曲線Fig.3 The process curve of optimization iteration

由圖3可知，考慮24°傾斜角制冷量偏差的公差優(yōu)化模型是有效的，優(yōu)化后的公差總成本比優(yōu)化前成本低。具體公差與成本的對(duì)比數(shù)據(jù)見(jiàn)表3。

表3 優(yōu)化前后結(jié)果對(duì)比Tab.3 Results compared before and after optimization

由兩組數(shù)據(jù)結(jié)果對(duì)比可知，考慮質(zhì)量損失與產(chǎn)品制冷量偏差約束的公差優(yōu)化分配方案相對(duì)原公差分配方案公差總成本減少了2.865元，節(jié)省了公差總成本約11.7%。在具體公差分配過(guò)程中，將T1、T2適當(dāng)增大，而將T3、T4、T5適當(dāng)減小，可以在滿(mǎn)足制冷性能約束與經(jīng)濟(jì)加工精度約束的條件下，實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品的質(zhì)量損失成本與加工成本之和達(dá)到最小的公差優(yōu)化目標(biāo)。

3 結(jié)語(yǔ)

產(chǎn)品性能的偏差值越小，則產(chǎn)品輸出穩(wěn)定性越好。許多性能偏差值往往與產(chǎn)品的關(guān)鍵零部件公差緊密相關(guān)，故零部件關(guān)鍵特征的公差優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中，性能偏差與關(guān)鍵零部件尺寸公差的函數(shù)關(guān)系可作為性能約束方程。本文在綜合考慮性能偏差約束、經(jīng)濟(jì)加工精度約束下，建立求解最小公差總成本的優(yōu)化模型。以SD7V16型車(chē)載空調(diào)壓縮機(jī)為例進(jìn)行分析， 驗(yàn)證了所建模型的有效性。

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(編輯王艷麗)

ConstraintToleranceOptimizationDesignBasedonPerformanceDeviation

GUO Yingfu1LUO Yanwang1ZHAO Yanming2HE Hongxi1TAN Huajiang1

1.Hunan Provincial Key Laboratory of Health Maintenance for Mechanical Equipment, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan,Hunan,411201 2.School of Information and Electrical Engineering,Hunan University of Science and Technology,Xiangtan,Hunan,411201

Based on the actual production processes, there were many factors that affected the processing costs, it was difficult to use a unified mathematical model to accurately describe all types of processing costs-tolerance relationships, the product processing costs and the quality loss costs were regared as targets, the product tolerance optimization model was established and with the restriction of product performance deviation and economic machining precision. GA was used to solve them, and finally a type of automotive air conditioning compressor was to be an example to verify the validity of the model.

tolerance cost; performance deviation; genetic algorithm(GA); tolerance optimization

2016-06-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175171)

TH124

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.17.009

郭迎福，男，1962年生。湖南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院教授。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械設(shè)計(jì)、信號(hào)測(cè)試與故障診斷。發(fā)表論文50余篇。E-mail：604442263@qq.com。羅炎旺，男，1990年生。湖南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。趙延明，男，1973年生。湖南科技大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院副教授。何鴻曦，男，1992年生。湖南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。譚華江，男，1992年生。湖南科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院碩士研究生。