推理作為理解抽象概念的工具，是數(shù)學的基礎(chǔ)，也是數(shù)學的基本思維方式?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）將推理能力作為十大核心概念之一，進一步確立了推理能力在數(shù)學教學中的重要地位，同時指出：“推理能力一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題過程中，兩種推理的功能不同，相輔相成?！盵1]然而，過去的小學數(shù)學教學大綱片面關(guān)注數(shù)學的嚴謹性，過于重視學生邏輯推理能力的培養(yǎng)，從而忽略了合情推理能力的培養(yǎng)。雖然2001年的《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》已經(jīng)開始認識到合情推理的重要作用，但由于過度矯正又導致演繹推理能力有所淡化。由于演繹推理與合情推理的方式大相徑庭，因此一線教師需要深刻理解它們的內(nèi)涵與差別，以及如何在教學實踐中進行有效培養(yǎng)。

一、如何理解小學階段的數(shù)學推理

由一個或幾個已知的判斷推出一個新的判斷的思維形式叫做推理。推理的種類有很多，在數(shù)學中主要有演繹（由一般到個別的推理）、歸納（由個別到一般的推理）、類比（由個別到個別的推理）三種。[2]其中，歸納和類比統(tǒng)稱為合情推理，主要是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。而演繹推理則是根據(jù)一般性的真命題（或邏輯規(guī)則）推出特殊性命題的過程。研讀《課程標準》可知，小學階段數(shù)學推理主要包括歸納、類比等以經(jīng)驗和直覺為依據(jù)的合情推理，以及以確定法則為依據(jù)的演繹推理。[3]

（一）演繹推理

三段論作為演繹推理的一般模式，其一般的推理形式為：所有的M都是N；P是M；所以，P是N。在小學階段，演繹推理一般都是基于已學習的既定法則進行簡單的推理。例如，2的倍數(shù)都是偶數(shù)，4的倍數(shù)都是2的倍數(shù)，所以4的倍數(shù)都是偶數(shù)。

演繹推理作為數(shù)學論證的有力工具，其能力主要通過演繹推理活動得以展現(xiàn)并獲得相應的發(fā)展。由于小學生年齡小、認知能力有限，因此對演繹推理能力的要求相應降低。從《課程標準》可以看出，第一學段要求學生能夠運用簡單概念對直接感知的事實進行簡單推理，第二學段要求學生能夠用言語表述事實進行演繹推理。其實，在很多結(jié)論的推導中也會用到省略形式的演繹推理，如平行四邊形面積的推導過程，就是將平行四邊進行剪切和平移得出一個長方形，再根據(jù)已經(jīng)推導出的長方形面積公式而推導出來的。

（二）歸納推理

歸納推理作為合情推理的一種形式，是從特殊到一般的推理。歸納法作為此種推理形式的主要方法，包括了實質(zhì)為演繹推理的完全歸納法以及帶有或然性的不完全歸納法。盡管不完全歸納法的結(jié)論并不具有必然性，但卻在科學活動中有著極其重要的作用。通過觀察、實踐和推廣，猜測出一般性結(jié)論，可以幫助人們不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，豐富和拓展研究內(nèi)容。[4]因此，歸納推理可以幫助學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并進行大膽地猜想，是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的重要方法，對于學生的創(chuàng)造力和想象力的發(fā)展有著積極的促進作用。

在小學階段，由于學生的形式邏輯思維發(fā)展尚不成熟，因此僅是對不完全歸納法提出了要求。雖然《課程標準》并未明確提出，但一些具體學習內(nèi)容卻蘊含了培養(yǎng)學生不完全歸納推理的教學目標。例如，第二學段出現(xiàn)的對加法交換律（[a+b=b+a]）等運算律的探索與了解，若要嚴格證明該性質(zhì)，則需要利用皮亞諾公理進行證明。小學四年級學生不可能理解這一高度形式化的公理，因而教師往往需要通過一些具體的運算幫助學生理解，如2+3=3+2，3+5=5+3，通過引導學生觀察幾個特殊的例子，逐步歸納得出“兩個加數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變”這一規(guī)律，而這正是不完全歸納的過程。

（三）類比推理

類比推理是根據(jù)兩個或兩類不同的對象，在某些方面（如特征、屬性、關(guān)系等）的類同之處，猜測這兩個對象在其他方面也可能有類同之處，并作出某種判斷的推理方法。[5]與歸納法相同，利用類比法得到的結(jié)論可能為真，也可能為假，需要進一步證明。

類比推理在小學數(shù)學的應用比較廣泛。例如：在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，有整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)運算的類比；將整數(shù)的運算法則、順序和定律類比應用到小數(shù)和分數(shù)的運算中；在圖形與幾何領(lǐng)域，有長方形和正方形的周長類比應用到平行四邊形的周長。

二、小學階段數(shù)學推理能力的培養(yǎng)

推理是數(shù)學學習的基本方式，沒有推理，數(shù)學只是靜態(tài)的知識，不可能得到發(fā)展。如何培養(yǎng)小學生的數(shù)學推理能力，教師需要把握推理的內(nèi)涵，利用數(shù)學學習領(lǐng)域這一培養(yǎng)的載體，在厘清目標間的聯(lián)系以及學生間的差異后，將其滲透到數(shù)學教學過程中。

（一）數(shù)學推理的培養(yǎng)要基于具體的數(shù)學內(nèi)容

“無內(nèi)容的推理只是空洞的推理、也是沒有任何意義的?！盵6]因而，在培養(yǎng)學生的推理能力時，教師需要依托數(shù)學學習領(lǐng)域這一載體，結(jié)合具體的教學內(nèi)容來進行。

1.歸納推理能力的培養(yǎng)

歸納法在小學數(shù)學探究學習中應用較為廣泛，特別是或然性的不完全歸納，一些法則、規(guī)律、性質(zhì)的學習往往都是通過基于幾個特殊的例子對其進行觀察、歸納并總結(jié)。梳理小學數(shù)學教材可以發(fā)現(xiàn)，歸納推理主要包括以下3種形式。

（1）公式的歸納

數(shù)學公式作為數(shù)學知識的重要表現(xiàn)載體，從生成過程來看，與數(shù)學知識是一致的，并且對其推導過程的理解影響著學生對知識的理解。在小學階段，對于圖形的周長公式、面積公式、體積公式，以及正比例、反比例和百分數(shù)等內(nèi)容，在教材中均通過探索交流歸納得出。

例如，探索長方形的面積公式，教師通過引導學生觀察長方形中密鋪著的小正方形，初步形成猜想：長方形的面積為長乘以寬，進一步選取幾個長方形進行密鋪驗證，從而得到長方形的面積公式?？梢姡@一系列探索過程均是訓練學生歸納推理的有效資源。因而，在教學相關(guān)內(nèi)容時，教師需要在研讀教材的基礎(chǔ)上，設(shè)計相關(guān)的探索活動，引導學生在觀察、實驗的基礎(chǔ)上學會分析和比較，有條理地進行思考。這不僅有助于學生歸納推理能力的形成，還有助于學生在歸納思考過程中獲得對數(shù)學對象屬性間關(guān)系的認識。endprint

（2）法則的歸納

由于數(shù)學法則常常反映出數(shù)學對象本質(zhì)的聯(lián)系與趨勢，在內(nèi)容上包括具體的程序操作，因此是問題解決過程中需要頻繁使用的重要工具，也是小學階段數(shù)學學習的重點內(nèi)容之一。教材中的整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)以及百分數(shù)的加減乘除筆算法則，都是教師通過引導學生對幾個例子的觀察，在理解算理的基礎(chǔ)上組織學生在探索、交流中獲得。例如，學習“三位數(shù)除以一位數(shù)的法則”，教師可以讓學生在掌握除法口訣、口算乘法、筆算減法的基礎(chǔ)上，通過列豎式對其進行探索和歸納。

法則作為一種程序性知識，需要學生在問題得到解決后熟練掌握，但由于數(shù)學中的法則比較多，只靠死記硬背肯定不行，因而在教學中教師需要注重法則的探尋教學，通過提供具體的問題讓學生進行分析與比較，在實際操作中歸納概括出具有規(guī)律性的結(jié)論。這一過程不僅能夠訓練學生的歸納推理能力，而且通過由具體到一般的推理過程，也有助于學生理解和記憶數(shù)學概念。

（3）規(guī)律的歸納

探索規(guī)律是小學數(shù)學中的主要學習內(nèi)容，根據(jù)《課程標準》中所給的示例可以看出，這是一個“通過對個別、具體對象及其關(guān)系的觀察和比較，找到能夠制約這些對象及其關(guān)系的確定性因素，進而通過歸納和解釋確定具有普遍性的規(guī)律”[7]的過程。可見，對于規(guī)律的探尋活動也是歸納推理的重要途徑。在小學數(shù)學中主要有對算式、數(shù)列、圖形規(guī)律的探尋。因此，在教學時，教師需要基于此平臺，“引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜想某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力。”[8]小學生的知識和能力有限，對規(guī)律進行嚴格的證明相對困難，因此，一般通過具體的例子進行驗證。例如，在學習“2，3，5整除特征”時，教師可以利用學生對2，3，5倍數(shù)認識的已有經(jīng)驗，引導學生先對100以內(nèi)的數(shù)進行探索，再分別歸納得出2，3，5倍數(shù)的特征，再進一步用100以外的數(shù)進行驗證。

2.類比推理能力的培養(yǎng)

與歸納推理類似，小學階段的一些數(shù)學概念、性質(zhì)、法則等，都可以通過類比得出。

（1）概念、性質(zhì)、法則的類比

小學數(shù)學中有很多概念比較抽象，如果嚴格定義，學生理解起來較為困難，甚至無法理解，再加上一些概念在其內(nèi)涵上具有一定的類似性或同一性，因此，很多數(shù)學概念都可以利用類比法進行描述和定義。比如，圓的周長與面積可以通過與長方形的相關(guān)內(nèi)容進行類比。再如，商不變性質(zhì)、小數(shù)和分數(shù)的性質(zhì)、比的性質(zhì)均存在密切的關(guān)系，學生也可以通過類比的方法來理解和掌握。

（2）立體與平面的類比

體會立體圖形與平面圖形二者的聯(lián)系是小學階段空間與圖形領(lǐng)域的教學目標之一。學生通過認識平面圖形與立體圖形，體會二維空間與三維空間的轉(zhuǎn)化。因此，在學生學習了平面圖形后，教師可以將一些概念和性質(zhì)類比到認識立體圖形中去。

例如，面積是求一個平面圖形所占的平面大小，相類似的，體積則可以理解為一個立體圖形所占的空間大小。從這個角度來看，面積公式和體積公式的推導過程和推導方法也具有相類似的地方。

基于上述分析可知，部分數(shù)學概念、性質(zhì)、法則等內(nèi)容的學習能夠為培養(yǎng)學生的類比推理能力提供契機。為了更好地在教學中利用這一契機發(fā)展學生的類比推理能力，教師對數(shù)學中的概念、性質(zhì)、法則等內(nèi)容要有深入的理解，在梳理相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上，利用類比的正向遷移特性，在設(shè)計教學時以相似部分作為基點，通過復習回顧、設(shè)計“隱藏”聯(lián)系的數(shù)學問題，幫助學生在理解已有內(nèi)容的基礎(chǔ)上，經(jīng)歷觀察比較—尋找相似點—建立聯(lián)系—形成猜想—進行驗證的過程，基于所找到的兩個對象之間所存在的相似的或相同的形式或性質(zhì)作出類比。這一過程不僅有助于學生在數(shù)學活動中掌握類比推理的一般方法與經(jīng)驗，還可以幫助他們對已有知識進行拓展，形成系統(tǒng)的知識體系。由于類比方法是一種非邏輯思維方法，因此推理所得到的結(jié)論具有一定的或然性。在教學過程中，教師還要培養(yǎng)學生進行驗證或說理的意識，簡單解釋類比的過程和依據(jù)，引導學生明確類比得出的結(jié)論并不一定正確。

3.演繹推理能力的培養(yǎng)

雖然演繹推理是解決數(shù)學問題的主要方法，但是考慮到小學生的年齡與認知特點，在小學階段培養(yǎng)學生的演繹推理能力，更多的還是要將其融入合情推理以及日常數(shù)學教學過程中。

《課程標準》在對演繹推理進行論述時指出：“通過實例使學生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認。”[9]可見，小學階段對于演繹推理的學習更多是希望學生在發(fā)展合情推理的基礎(chǔ)上認識并感受到演繹推理的存在和必要性，通過解決具體的數(shù)學問題體會兩種推理各自的優(yōu)點與不足，從而進一步認識到兩種推理相互依存的關(guān)系。

例如，比較[25]與[2+25+2]，[38]與[3+48+4]，[710]與[7+710+7]這3組分數(shù)的大小會發(fā)現(xiàn)，在每一組分數(shù)中，把分數(shù)的分子和分母同時加上一個大于0的數(shù)，這個分數(shù)就會變大，由此歸納得出：分數(shù)的分子和分母同時加上一個大于0的數(shù)，分數(shù)值一定變大。你認為這個結(jié)論正確嗎？

學生通過對3組分數(shù)進行驗算會發(fā)現(xiàn)，這個結(jié)論是適用的，但僅通過3個例子就得出這個結(jié)論，缺乏一定的合理性。這也是歸納法與合情推理的弊端。因而，在進行歸納推理的教學中，教師還要引導學生認識到其不足之處。因此，當學生有了猜想后，教師不妨繼續(xù)提出問題：“這個結(jié)論是否存在問題，如果有，你能說說理由嗎？”同時啟發(fā)學生進一步思考并跳出已有的實例，尋找一個反例進行驗證。比如，分數(shù)[32]，當其分子和分母分別加上1后，其結(jié)果為[3+12+1]=[43=86<96=32]，這說明原結(jié)論存在一定的問題。通過這個案例，學生不僅能夠在驗算、觀察等活動中發(fā)展歸納推理能力，還可以在思考結(jié)論是否合理的過程中明確所歸納的結(jié)論并不一定正確。當然，在這個過程中，教師需要及時進行點撥，讓學生明確要獲知猜想或結(jié)論是否正確僅靠歸納、類比是不夠的，還要對其進行證明，從而意識到演繹推理的必要性。endprint

（二）推理能力的培養(yǎng)應融入日常教學過程

培養(yǎng)學生的推理能力并非一日之功，需要長期的積累。正如《課程標準》所指出的：“推理能力的發(fā)展應當貫穿整個數(shù)學學習過程中?！盵10]因而，教師應將推理能力的培養(yǎng)作為重要的教學目標，并將其滲透到日常的課堂教學之中。

知識與能力相互促進。學生具有豐富的知識可以提升能力，反過來，能力的提高也能夠幫助學生更好更快地學習新知識。因此，教師可以將學生能力的培養(yǎng)融入日常教學中，并巧妙地利用學習新知識的契機提高學生的數(shù)學能力。

例如，在教學“三角形和梯形面積公式”時，教師可以啟發(fā)學生將其與平行四邊形面積公式的推導進行類比。在這個過程中，學生不僅學到了新知，而且也提高了類比推理的能力。又如，線、面、體的類比：線段有長短，用長度單位來計量；平面圖形有大小，用面積單位來計量；立體圖形占的空間有大有小，用體積單位來計量。點動成線，線動成面，面動成體。通過類比，學生不僅能夠掌握線、面、體的知識，而且在進行類比的過程中可以更好地把握三者之間的內(nèi)在聯(lián)系。

為了更好地將推理能力的培養(yǎng)融入教學中，教師需要深入挖掘教材內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)更多的培養(yǎng)學生推理能力的素材與載體。

以“分數(shù)的初步認識”為例，教材先是通過把一個物體（如月餅）、一個圖形平均分成幾份表示其中的一份，引導學生初步歸納得出分子為1的分數(shù)；接著根據(jù)表示其中的幾份進一步歸納得出分子是幾的分數(shù)；最后根據(jù)把多個物體平均分成幾份，表示其中的一份或兩份即為分數(shù)。通過三個層次的學習，教師引導學生逐步歸納總結(jié)，讓學生掌握分數(shù)的本質(zhì)。當然，這樣的素材也存在于習題中。

四年級上冊“平行線”這一內(nèi)容就有這樣的練習題：在下圖中，[a]//[b]，量一量∠1和∠2的度數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？

雖然小學階段沒有學習平行線同位角性質(zhì)的知識，但是教師可以在教學時組織學生對這兩個角進行測量，通過觀察測量結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。在這個過程中，教師不能局限于問題本身，而是要鼓勵學生對測量結(jié)果和觀察結(jié)果進行分析，發(fā)現(xiàn)其位置關(guān)系并進一步歸納得出數(shù)量關(guān)系，在交流中學會表達自己的猜想。同時，為了更全面地培養(yǎng)學生的推理能力，教師還要在此基礎(chǔ)上進一步提出問題“你的猜想是否合理”，啟發(fā)學生進一步思考，促使學生結(jié)合觀察位置的關(guān)系對其余對應的幾組角進行測量，在驗證其正確性的同時認識到演繹推理的作用。

（三）推理能力的培養(yǎng)需注意層次性和差異性

通過梳理《課程標準》中有關(guān)“數(shù)學推理”的教學目標可以發(fā)現(xiàn)，其對不同學段學生推理能力的教學目標要求是不同的，具有一定的層次性。

第一學段主要涉及以下3點：探索簡單情境下的變化規(guī)律；能對事物進行簡單的分類；逐步學會有根據(jù)有條理地思考問題。第二學段則囊括了下面3條：探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢；能夠進行有條理有根據(jù)的思考，能比較清楚地表達自己思考的問題及結(jié)果；知道通過歸納推理得出的結(jié)論存在或然性，培養(yǎng)驗證或說理的意識，簡單解釋歸納推理的過程和依據(jù)。因此，在培養(yǎng)學生的推理能力時，教師需要注意教學目標的層次性，結(jié)合具體的教學內(nèi)容循序漸進地開展教學。

《課程標準》對第一學段所提供的“教學實例10”進行說明時明確指出：“如果學生在觀察上圖或者發(fā)現(xiàn)規(guī)律存有困難，教師可以引導從簡單的情形入手，比如，兩個加數(shù)先限制在5以內(nèi)?！盵11]

教師在進行推理教學時，需要考慮學生已有的認知水平，在了解學生已有認知水平的基礎(chǔ)上設(shè)計有層次性的開放性問題，鼓勵學生積極參與學習活動，在思考問題與解決問題的過程中培養(yǎng)推理能力，讓學生在能力范圍內(nèi)獲得解決問題的成就感。

例如，教學了“圓柱體積計算公式”后，教師可以設(shè)計如下問題：下面4個圖形的面積都是36m2。將這些圖形分別卷成圓柱，哪個圓柱的體積最小？哪個圓柱的體積最大？你有什么發(fā)現(xiàn)？

對于大多數(shù)學生而言，若熟練掌握圓柱體的體積公式，則可以基于此公式以及題目所給出的條件，通過計算解決題目中的前面兩個問題。由于第三個問題是開放性問題，學生需要結(jié)合前面兩個問題所隱含的規(guī)律進行歸納與概括，因而難度較大。因此，這一問題對學生的演繹推理能力要求相對較高，教師不必要求所有的學生都給出完美的答案。對于能力較強的學生，教師可以先引導學生從一般公式入手，嘗試轉(zhuǎn)化公式：[V=πr2h=12r×2πrh=12r×Ch]（其中[C]是長方形的一條邊長，[h]是另一條邊長），認識到[Ch]實際上就是長方形的面積；同時基于此引導學生通過觀察、動手操作，進一步歸納并發(fā)現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵，即考查一個長方形卷成圓柱后的體積大小，在長方形面積不變的情況下，取決于底面積半徑大小這一規(guī)律。

參考文獻：

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（責編 歐孔群）endprint