譚 兵， 黃輝紅， 陳桂糖

(西南石油大學理學院， 四川成都 610500)

系泊系統(tǒng)的優(yōu)化設計

譚 兵， 黃輝紅， 陳桂糖

(西南石油大學理學院， 四川成都 610500)

系泊系統(tǒng)是近淺海觀測網(wǎng)的重要組成部分，如何設計最優(yōu)的系泊系統(tǒng)從而促進信號的傳播具有重要的意義．本文圍繞著系泊系統(tǒng)的設計問題展開討論，通過三力匯交平衡理論和力矩平衡方程確定系泊系統(tǒng)中各個參數(shù)之間的聯(lián)系，利用懸鏈線方程解得錨鏈的受力、形狀，解決了在確定錨鏈的型號、長度和重物球的質(zhì)量的情況下，使得浮標的吃水深度和游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可能小的問題，給出了最優(yōu)系泊系統(tǒng)設計的方案．

系泊系統(tǒng)；三力匯交平衡；懸鏈線方程；多目標規(guī)劃

0 引言

近淺海觀測網(wǎng)的傳輸節(jié)點由浮標系統(tǒng)、 系泊系統(tǒng)和水生通訊系統(tǒng)組成. 系泊系統(tǒng)具有成本低、 結(jié)構(gòu)簡單、 方向性好等顯著優(yōu)點， 因此在海洋工程中獲得了廣泛的應用[1]. 目前系泊系統(tǒng)在海上油田開發(fā)、 船舶防風以及援救打撈作業(yè)場布置中都有十分廣泛的應用. 本文基于2016年全國大學生數(shù)學建模競賽A題， 對系泊系統(tǒng)的設計問題進行了分析研究.

系泊系統(tǒng)的設計問題就是確定錨鏈的型號、 長度和重物球的質(zhì)量， 使得浮標的吃水深度和游動區(qū)域及鋼桶的傾斜角度盡可能小，本文需解決如下三個問題.

問題1 某型傳輸節(jié)點選用Ⅱ型電焊錨鏈22.05m， 選用的重物球的質(zhì)量為1200kg. 現(xiàn)將該型傳輸節(jié)點布放在水深18 m、 海床平坦、 海水密度為1.025×103kg/m3的海域. 若海水靜止， 分別計算海面風速為12 m/s和24m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、 錨鏈形狀、 浮標的吃水深度和游動區(qū)域.

問題2 在問題1的假設下， 計算海面風速為36m/s時鋼桶和各節(jié)鋼管的傾斜角度、錨鏈形狀和浮標的游動區(qū)域. 調(diào)節(jié)重物球的重量，使得鋼桶的傾斜角度不超過5度，錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16度.

問題3 由于潮汐等因素的影響， 布放海域的實測水深介于16～20m之間. 布放點的海水速度最大可達到1.5m/s、 風速最大可達到36 m/s. 給出考慮風力、 水流力和水深情況下的系泊系統(tǒng)設計，分析不同情況下鋼桶、 鋼管的傾斜角度、 錨鏈形狀、 浮標的吃水深度和游動區(qū)域.

說明 近海風荷載可通過近似公式F=0.625×Sv2(N)計算， 其中S為物體在風向法平面的投影面積(m2)，v為風速(m/s). 近海水流力可通過近似公式F=374×Sv2(N)計算， 其中S為物體在水流速度法平面的投影面積(m2)，v為水流速度(m/s).

1 模型的假設與符號說明

1.1 模型假設

1.假設系泊系統(tǒng)中各個連接部件不存在摩擦力的損耗.

2.假設沒有人為的外力來影響系泊系統(tǒng).

3.假設不考慮海水的侵蝕等對鋼管錨鏈等質(zhì)量的影響.

4.假設海水中沒有其他生物來影響系泊系統(tǒng).

1.2 符號的說明

符號說明見表1.

表1 符號說明

2 模型的建立與求解

2.1 問題1的模型建立與求解

首先采用整體隔離法， 對浮標、 鋼管、 鋼桶、 錨鏈和所參考的整體進行受力分析， 通過三力匯交平衡理論和力矩平衡方程建立各變量之間的函數(shù)關系. 再引入懸鏈線模型并根據(jù)需求對其進行合理改進， 得到錨鏈滿足的函數(shù)關系. 對水深的約束和系泊系統(tǒng)各部分在法向方向上的高度， 建立目標函數(shù)并進行求解.

2.1.1 受力分析與關系式的建立

系統(tǒng)的受力分析見圖1.

圖1 整個系統(tǒng)的受力分析

通過三力匯交平衡理論可以得到水平方向與豎直方向的關系式：

然后分別對各個單個的物體進行受力分析.

針對浮標的受力分析(圖2).

圖2 浮標的受力分析

其中F1x，F(xiàn)1y分別為鋼管1對于浮標的拉力在水平方向以及豎直方向上的分解. 同時為了求解各個鋼管以及鋼桶的傾角， 需要考慮力矩平衡. 針對后面鋼管的分析同理. 可以分別得到水平方向與豎直方向上的關系式：

針對鋼管1的受力分析(圖3).

圖3 鋼管1的受力分析

其中θ1即為鋼管1的傾斜角度. 水平方向以及豎直方向上的關系式滿足

其力矩平衡的方程為

F1ysinθ1+f浮sinθ1×0.5=G鋼管sinθ1×0.5+F1xcosθ1

對其余鋼管受力分析方法類似， 我們可得到各鋼管的力矩平衡方程

Fiysinθi+f浮sinθi×0.5=G鋼管sinθi×0.5+

Fixcosθi(i=1， 2,3,4)

針對鋼桶進行受力分析(圖4).

圖4 對鋼桶進行受力分析

根據(jù)圖4可以分別得到水平方向與豎直方向上的關系式

以重物鏈接的點作為支點的力矩平衡方程為

F5ysinθ5+f桶sinθ5×0.5=G桶sinθ5×0.5+F5xcosθ5

2.1.2 錨鏈的相關模型建立

通過查找資料可以了解到錨鏈的相關計算[2]， 即懸鏈線方程的計算， 需要用到微分的思想.

圖5 懸鏈線示意圖

圖5為錨鏈上任意一纜索元的靜力[3],其中w是纜索的單位長度重量,dl為懸鏈線長度，T6為張力,dT為張力在dl上的增量,θ為的方向錨鏈下端切線方向與水平線的夾角,dθ為θ在dl上的增量. 通過在錨鏈AB段上的積分， 沿水平與垂直方向建立平衡方程

通過微分可得到懸鏈線方程

由于所有的未知量均可以用吃水高度h表示， 通過題目中所給出的約束條件水深H=18， 建立目標函數(shù)， 當z最小時可得到h近似最優(yōu)解.

minz=H-h+(cosθ1+cosθ2+cosθ3+cosθ4+cosθ5)×1-y0

2.1.3 模型的求解

吃水深度， 各個鋼管的傾角， 鋼桶的傾角以及懸鏈長度， 懸鏈在x上的投影長度， 浮動區(qū)域半徑隨風速變化的參數(shù)如表2所示.

表2 不同風速下解得的不同參數(shù)

通過數(shù)據(jù)可知， 在風速為12m/s的情況下， 存在臥底錨鏈的長度l'1=6.8169m. 風速為24m/s的情況下， 存在臥底錨鏈的長度l'2=0.3133m.

然后通過上述懸鏈方程可以作出錨鏈形狀(圖6).

圖6 不同風速下的錨鏈形狀

2.2 問題2的模型建立與求解

在問題1的模型基礎上， 將風速為36m/s代入問題1中的模型求解， 通過MATLAB編程仿真， 繪制得到風速為36m/s時錨鏈的形狀， 具體數(shù)據(jù)如表3所示.

表3 在風速為36m/s的情況下各個參數(shù)的數(shù)值

通過分析上表數(shù)據(jù)得到在風速等于36m/s的情況下， 鋼桶的傾角θ5大于5度， 則需要重新調(diào)整重物的重量.

錨鏈形狀如圖7所示.

圖7 風速為36m/s情況下的錨鏈形狀

問題2研究的是基于題目給出的：鋼桶的傾斜角度不超過5度的情況， 錨鏈在錨點與海床的夾角不超過16度的情況. 因為存在兩個目標函數(shù)， 所以為了簡化問題， 可以考慮逐步逼近. 首先使鋼桶的傾斜角等于5度， 通過問題1中的模型解出吃水深度和重物的質(zhì)量， 并由該解出值計算錨鏈在錨點與海床的夾角， 若求得錨鏈在錨點與海床的夾角大于16度， 則不滿足情況， 應舍去， 需要增大重物的質(zhì)量繼續(xù)取值， 直到所得角滿足條件. 具體求解的流程圖如圖8所示.

圖8 首先考慮鋼桶的傾斜角的流程圖

考慮與此類似的情況， 假設錨鏈在錨點與海床的夾角等于16度， 同理可以解出一個吃水深度和一個重物的質(zhì)量， 并由該值計算鋼桶的傾角. 若大于5度則不滿足情況， 則需要增大重物的質(zhì)量繼續(xù)取值.

通過問題1的受力分析可以得到錨鏈在錨點與海床的夾角的一個關系表達式：

化簡得tan?與吃水深度h和重物球的質(zhì)量m相關的表達式， 即

對鋼桶進行隔離受力分析得到鋼桶的傾角

又因為

通過對問題1進行受力分析可以得到

F風=F1x=F2x=F3x=F4x=F5x

整理上述公式可以得到鋼桶的傾角用吃水深度h表達的計算公式， 即

此時我們可建立重物質(zhì)量m只與錨鏈在錨點與海床的夾角和鋼桶的傾角相關的表達式， 同時考慮約束條件即

求解目標函數(shù)：

minm=φ(?,θ5).

應用MATLAB編程[4]， 通過換算， 得到m關于?和θ5的關系， 并逐步代入?(0-16°)， θ5(0-5°)解得m的值：

minm=2289.7kg.

所以需要調(diào)整的重物球質(zhì)量最小為2289.7kg.

2.3 問題3的模型的建立與求解

針對問題3題目中所給出條件， 由于增加了水流力的情況需要對研究系統(tǒng)重新進行受力分析. 并且當風力與水流力的方向相同時， 可以求得極端情況. 所以在本文中認為風力與水流力的方向相同， 并且通過問題1對風力夾角的分析， 可以假設水流力與海平面的夾角也為零度.

本文考慮海域深度為16～20米、 海水速度最大為1.5m/s及風速最大為36m/s時， 建立使浮標的吃水深度、 游動區(qū)域以及鋼桶的傾斜角度達最小的多目標規(guī)劃模型. 由于風速和海速自變量即考慮錨鏈的型號， 長度和中重物球質(zhì)量. 由于在題目中說明， 由于考慮極端情況， 所以風速， 海水速度記取最大值. 同時假定風力與海流力為同一方向. 錨鏈型號依次帶入方程式計算， 海水深度由20m開始取值， 依次取20,19,18,17,16計算.

得到多目標規(guī)劃模型,目標函數(shù)如下

約束條件：

通過無量綱[5]轉(zhuǎn)化系數(shù)將多目標規(guī)劃模型轉(zhuǎn)化為單目標函數(shù)求解

minf(h,θ5,D) =

然后利用MATLAB優(yōu)化工具箱[6]進行優(yōu)化求解. 選取重物的變化范圍在2200～5000kg， 步長取100kg. 解出在不同深度的情況下各個傾角如表4所示.

表4 不同深度下各個鋼管以及鋼桶的傾角

[1] 徐建鵬.系泊系統(tǒng)的三維動力學分析及實驗研究[D].中國海洋大學, 2014.

[2] 王文明, 張世聯(lián). 流花浮式平臺錨鏈系統(tǒng)安全評估[J]. 造船技術(shù),2007(4).

[3] 何靜. FPSO懸式錨腿系泊系統(tǒng)的錨系設計研究[D]. 武漢: 武漢理工大學, 2007.

[4] 趙海濱. MATLAB應用大全[J]， 北京：清華大學出版社， 2012.

[5] 米爾斯切特, 劉來福,等. 數(shù)學建模方法與分析[M]. 北京： 機械工業(yè)出版社, 2015.

[6] 趙靜,但琦.數(shù)學建模與數(shù)學實驗[J].北京:高等教育出版社， 2008.

[責任編輯 胡廷鋒]

Optimum Design of Mooring System

TAN Bing, HUANG Hui-hong, CHEN Gui-tang

(College of Science, Southwest Petroleum University, Chengdu 610500, China)

Mooring system is an important part of near shallow sea observation network, which promotes the spread of signals. As a consequence, designing an optimal mooring system is of great significance. In this paper, our objective is to build a mathematical model to develop a best design for the system. Firstly, we analyze the relationship among the parameters in the mooring system by the three-force convergence theory and the moment balance equation, and get the force and shape of the anchor chain by the catenary’s equations. Then we determine the type and the length of the anchor chain, as well as weight of the heavy ball. Based on the above conditions, we calculate the draft depth of the buoy, the swimming area of the buoy and the tilt angles of steel drums. In addition, we also consider that the values of the parameters are changed due to different wind speeds and sea speeds. Hence, we use the multi-objective optimization scheme to constrain the angle and ultimately obtain an optimal design of the mooring system.

mooring system; three force transfer balance; catenary line equation; multi-objective programming

2017-03-05

譚兵(1995—)， 男， 四川廣安人, 西南石油大學理學院2014級本科生. 研究方向：應用數(shù)學.

U653．2

A

1009-4970(2017)08-0009-05