侯瑞環(huán) 徐翔燕

二項(xiàng)分布參數(shù)的無(wú)先驗(yàn)信息Bayes估計(jì)與點(diǎn)估計(jì)的思考

侯瑞環(huán) 徐翔燕

結(jié)合《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)過(guò)程中的對(duì)點(diǎn)估計(jì)和Bayes估計(jì)的講解，從實(shí)際應(yīng)用的角度出發(fā)思考二項(xiàng)總體參數(shù)的無(wú)先驗(yàn)信息Bayes估計(jì)與點(diǎn)估計(jì)之間的關(guān)系：當(dāng)樣本容量n≥971時(shí)，兩種估計(jì)的誤差達(dá)到0.001甚至更??；并且，隨著樣本量不斷增加兩種估計(jì)結(jié)果趨于一個(gè)穩(wěn)定的真實(shí)值。

點(diǎn)估計(jì)作為大學(xué)《數(shù)理統(tǒng)計(jì)》的教學(xué)中最簡(jiǎn)單、最有效的參數(shù)估計(jì)方法顯得非常重要，也是統(tǒng)計(jì)推斷中不可或缺的內(nèi)容。通常，點(diǎn)估計(jì)的方法主要有矩估計(jì)和極大似然估計(jì)。然而，無(wú)論是矩估計(jì)還是極大似然估計(jì)都有著非常明顯的優(yōu)點(diǎn)和缺陷。矩估計(jì)應(yīng)用樣本信息對(duì)總體分布部分特征做統(tǒng)計(jì)推斷以達(dá)到對(duì)整個(gè)總體特征的推斷，這顯然很難完成；極大似然估計(jì)較多的注重總體信息的應(yīng)用，與矩估計(jì)相比有顯著的改善。但是，這些經(jīng)典參數(shù)估計(jì)方法都缺少了對(duì)參數(shù)本身的思考，只是從樣本本身出發(fā)，將未知參數(shù)默認(rèn)為未知常數(shù)來(lái)完成統(tǒng)計(jì)推斷，導(dǎo)致了參數(shù)本身信息的流失，這是一種明顯的信息浪費(fèi)。區(qū)別于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)派的Bayes學(xué)派提出了參數(shù)的Bayes估計(jì)很大程度上解決了這一問(wèn)題，有效的利用了參數(shù)本身的信息和樣本信息，使得估計(jì)效果在一般情況下都優(yōu)于點(diǎn)估計(jì)方法。Bayes估計(jì)方法主要依賴于參數(shù)的后驗(yàn)分布，一般情況下，參數(shù)的后驗(yàn)分布借助條件概率得到，這種求解后驗(yàn)分布的方法存在爭(zhēng)議。目前，在沒(méi)有更好解決后驗(yàn)分布的情況下可以認(rèn)為這種辦法比較有效，但是參數(shù)的后驗(yàn)分布在很多情況下較難得到。正因?yàn)槿绱耍疚淖龀鲞@樣的思考：在對(duì)二項(xiàng)分布參數(shù)的先驗(yàn)信息一無(wú)所知時(shí)，對(duì)參數(shù)的估計(jì)有沒(méi)有必要堅(jiān)持用Bayes估計(jì)？能否得到一個(gè)樣本容量使得Bayes估計(jì)和點(diǎn)估計(jì)幾乎一致？

點(diǎn)估計(jì)與Bayes估計(jì)

參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)。設(shè)X1,L,Xn是來(lái)自于二項(xiàng)分布總體b(n,p)的樣本，計(jì)算總體參數(shù)p矩估計(jì)和極大似然估計(jì)，以定理2.1形式給出。

定理2.1 在上述假設(shè)的基礎(chǔ)上p的矩估計(jì)和極大似然估計(jì)分別為:

定理2.1簡(jiǎn)要證明：

由樣本總體分布可知，二項(xiàng)分布(,)bnp的總體矩為()EXnp=，所以根據(jù)矩法估計(jì)的思想用樣本矩代替總體矩可得到

由此可以計(jì)算參數(shù)p的矩估計(jì)。

總體分布的密度函數(shù)為：

因此可以得到對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：

對(duì)（1）式關(guān)于參數(shù)p求導(dǎo)可以得到其極大似然估計(jì)。

根據(jù)上述定理可以得到這樣一個(gè)推論：在n次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生xi次，參數(shù)所對(duì)應(yīng)極大似然估計(jì)為。

參數(shù)的Bayes估計(jì)。在此假設(shè)對(duì)參數(shù)先驗(yàn)信息一無(wú)所知，根據(jù)Bayes本人的建議按“同等無(wú)知”的原則處理，即可以設(shè)定參數(shù)p的先驗(yàn)分布π(p)=U (0,1)。在這種假設(shè)下可以得到參數(shù)的Bayes估計(jì)如定理2.2。

定理2.2設(shè)在上述先驗(yàn)分布的假設(shè)下，二項(xiàng)分布b(n,p)的參數(shù)p的Bayes估計(jì)為：

其中x=xi，i=1,2,L,n。

定理2.2簡(jiǎn)要證明：由上述假設(shè)可知，π(p)=U(0,1)，同時(shí)可以寫(xiě)出隨機(jī)變量X與參數(shù)p的聯(lián)合分布

可以得到X的邊緣密度

即可得到參數(shù)p的后驗(yàn)分布

上式表明參數(shù)p的后驗(yàn)分布為貝塔分布Be(x+1,n-x+1)，因此可以得到參數(shù)的估計(jì)為：

結(jié)果得證。

數(shù)據(jù)模擬與誤差分析。對(duì)二項(xiàng)分布參數(shù)基于點(diǎn)估計(jì)結(jié)果和Bayes估計(jì)樣本容量分別為15、30、100和200的數(shù)據(jù)模擬結(jié)果見(jiàn)圖1～4，并進(jìn)行誤差的比較與分析。

對(duì)二項(xiàng)分布參數(shù)估計(jì)而言，當(dāng)樣本容量較小時(shí)，可以看出極大似然估計(jì)結(jié)果與Bayes估計(jì)結(jié)果相差較大（圖1、2），然而在中位數(shù)處取值相等；同時(shí)可以看出Bayes估計(jì)在極端情況下，估計(jì)結(jié)果更符合人們的正常理念。當(dāng)樣本容量不斷增大時(shí)，極大似然估計(jì)與Bayes估計(jì)在結(jié)果上差異越來(lái)越小（圖3、4），當(dāng)971≥n時(shí)，這兩個(gè)估計(jì)結(jié)果只差達(dá)到0.001甚至更小，此時(shí)就二項(xiàng)分布參數(shù)估計(jì)的應(yīng)用而言，可以考慮用點(diǎn)估計(jì)得到參數(shù)的結(jié)果代替Bayes估計(jì)的結(jié)果。

圖1 樣本容量為15的估計(jì)擬合

圖2 樣本容量為30的估計(jì)擬合

圖3 樣本容量為100的估計(jì)擬合

圖4 樣本容量為200的估計(jì)擬合

為了更好地說(shuō)明這一觀點(diǎn)，在此通過(guò)取不同的樣本容量n對(duì)同一個(gè)二項(xiàng)分布的參數(shù)分別用點(diǎn)估計(jì)和Bayes 估計(jì)方法做數(shù)據(jù)模擬。得到在不同估計(jì)方法下估計(jì)值與參數(shù)真實(shí)值之間的誤差，結(jié)果見(jiàn)表1。

由表1結(jié)果可知，點(diǎn)估計(jì)與Bayes估計(jì)結(jié)果都隨著樣本容量的增加而減小，其中點(diǎn)估計(jì)得到結(jié)果與真實(shí)值之間是一個(gè)固定的單點(diǎn)誤差值，而B(niǎo)ayes估計(jì)與真實(shí)值之間誤差是一個(gè)區(qū)間，這個(gè)區(qū)間隨著樣本容量增加精度不斷提高，當(dāng)樣本容量為30時(shí)，精度為0.192，樣本量為500時(shí)，精度為0.104?？傮w而言，它們都隨著樣本容量的增加趨向真實(shí)值。

表1 點(diǎn)估計(jì)和Bayes估計(jì)與參數(shù)真實(shí)值誤差結(jié)果

二項(xiàng)分布的參數(shù)估計(jì)在對(duì)參數(shù)信息一無(wú)所知的情況下，當(dāng)樣本容量較大時(shí)，兩種方法對(duì)參數(shù)的估計(jì)結(jié)果相差很小，并且隨著樣本容量的增加參數(shù)的估計(jì)值最終趨向一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值，即分布參數(shù)的真實(shí)值。所以單從二項(xiàng)分布的應(yīng)用角度思考，在樣本容量較大和對(duì)參數(shù)信息知之甚少的情況下，可以直接用點(diǎn)估計(jì)來(lái)完成參數(shù)的估計(jì)，從而得到估計(jì)值。這樣既可以減少計(jì)算參數(shù)后驗(yàn)分布的困難，也可以很快的得到參數(shù)估計(jì)結(jié)果。

（作者單位：塔里木大學(xué)信息工程學(xué)院）

塔里木大學(xué)青年創(chuàng)新校長(zhǎng)基金（TDZKQN201615）