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        函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系

        2017-09-11 13:20:28劉春燕
        速讀·下旬 2017年9期
        關(guān)鍵詞:函數(shù)

        摘 要:本文分別就一元函數(shù)與二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系進(jìn)行梳理,并給出相應(yīng)的定理、實(shí)例及證明,旨在幫學(xué)生理清函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系。

        關(guān)鍵詞:函數(shù);連續(xù);可導(dǎo);可微;一元;二元

        高等數(shù)學(xué)中的一道??碱}為:二元函數(shù)

        [f(x,y)xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]在點(diǎn)(0,0)處是否連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)是否存在?通常以選擇題的形式出現(xiàn),但是每次考查,得分率一直都不理想的原因在于學(xué)生沒(méi)有理清函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系。本文旨在幫學(xué)生理清函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系。

        一、一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系

        1.一元函數(shù)連續(xù)是可導(dǎo)的必要非充分條件,即函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù),但函數(shù)連續(xù)卻不一定可導(dǎo)。

        定理1【1】如果函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo),則f(x)在x0處必連續(xù)。

        證明:因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo),即[limVx→0VyVx=A],由具有極限的變量與無(wú)窮小的關(guān)系知:[VyVx=A+?](其中[?]為當(dāng)[Vy0]時(shí)的無(wú)窮?。碫y=AVx+[?Vx],所以[limvx→0VY=0],即f(x)在x0處連續(xù)。

        例1[fx=x]在x=0處連續(xù)卻不可導(dǎo)。

        證明:因?yàn)閇limx→0fx=limx→0x=0],[limx→0+fx=limx→0+x=0],[f0=0=0],即[limx→0-fx=limx→0+x=f(0)],所以[fx=x]在x=0處連續(xù)。又因?yàn)?/p>

        [f'-0=limh→0-f0+h-f(0)h=limh→0-0+h-0h=limh→0--hh=-1],

        [f'+0=limh→0+f0+h-f(0)h=limh→0+0+h-0h=limh→0+hh=1],[f'-0≠f'+0],

        所以[fx=x]在x=0處不可導(dǎo)。即[fx=x]在x=0處連續(xù)卻不可導(dǎo)。

        2.一元函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的。

        定理2【1】函數(shù)y=f(x)在x0處可微的充要條件是函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)。

        證明:(必要性)因?yàn)閥=f(x)在x0處可微,則Vy=AVx+0(Vx),即[VyVx=A+0(Vx)Vx],于是,當(dāng)Vx→0時(shí),[A=limVx→0VyVxf(x0)]。

        (充分性)若函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo),則[limVx→0VyVx=f'(x0)]存在,根據(jù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系,則[VyVx=f'x0+?](其中[?]為當(dāng)Vx→0時(shí)的無(wú)窮小),即vy=f(x0)vx+[?VX],這里[f'(x0)]是與[Vx]無(wú)關(guān)的常數(shù),而[?VX]是Vx→0時(shí)的高階無(wú)窮小,故函數(shù)y=f(x)在x0處可微。

        3.一元函數(shù)可微與可導(dǎo)是等價(jià)的,顯然,一元函數(shù)連續(xù)也是可微的必要非充分條件。

        二、二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系

        1.二元函數(shù)連續(xù)與可導(dǎo)之間沒(méi)有必然聯(lián)系。

        例2二元函數(shù)[f(x,y)xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù),但偏導(dǎo)數(shù)存在。

        證明:因?yàn)楫?dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)沿路徑y(tǒng)=kx趨于(0,0)點(diǎn)時(shí),有[limx→0y→0xyx2+y2=limx→0kx2x2+(kx)2=limx→0k1+k2],當(dāng)k取不同值時(shí),函數(shù)趨于不同的常數(shù),所以該函數(shù)當(dāng)(x,y)→(0,0)時(shí)極限不存在,從而f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù),

        因?yàn)閇fx0,0=limVx→0f0+Vx,0-f(0,0)Vx=0],

        [fy0,0=limVy→0f0,0+Vy-f(0,0)Vy=0],

        所以f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)存在。

        例3二元函數(shù)[fx,y=sinx2+y2]在點(diǎn)(0,0)處連續(xù),但偏導(dǎo)數(shù)不存在。

        證明:因?yàn)閇limx→0y→0fx,y=limx→0y→0sinx2+y2=0=f(0,0)],所以[fx,y=sinx2+y2]在點(diǎn)(0,0)處連續(xù)。

        因?yàn)閇fx0,0=limVx→0f0+Vx,0-f(0,0)Vx=limVx→0sinVxVx]不存在,

        [fy0,0=limVy→0f0,0+Vy-f(0,0)Vy=limVy→0sinVyVy]也不存在,所以f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)不存在。

        2.二元函數(shù)可微是可導(dǎo)的充分不必要條件。

        定理3【2】若函數(shù)z=f(x,y)在P(x0,y0)處可微分,則函數(shù)在P(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)[?z?x]和[?z?y]存在,且函數(shù)z=f(x,y)在P(x0,y0)處的全微分為:dz=fx(x0,y0)Vx+fy(x0,y0)Vy=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。

        證明:因?yàn)楹瘮?shù)z=f(x,y)在P(x0,y0)處可微分,由全微分的定義知,Vz=f(x0+Vx,y0+Vy)-f(x0,y0)=AVx+BVy+0(ρ),其中ρ=[(Vx)2+(Vy)2]。當(dāng)Vy=0時(shí),Vz=f(x0+Vx,y0)-f(x0,y0)=Vxz=AVx+0([Vx]),從而有[limVx→0VxzVz=fxx0,y0=A],

        同理,當(dāng)[Vx=0]時(shí),Vz=f(x0,y0+Vy)-f(x0,y0)=Vyz=BVyx+0([Vy]),從而有[limVy→0VyzVy=fxx0,y0=B]。

        所以函數(shù)z=f(x,y)在P(x0,y0)處的全微分dz=fx(x0,y0)Vx+fy(x0,y0)Vy=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。

        例4函數(shù)[fx,y=xyx2+y2(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]在點(diǎn)(0,0)處可導(dǎo),但卻不可微。endprint

        證明:因?yàn)閇fx0,0=limVx→0f0+Vx,0-f(0,0)Vx=0],

        [fy0,0=limVy→0f0,0+Vy-f(0,0)Vy=0],所以f(x,y)在點(diǎn)(0,0)處可導(dǎo)。

        因?yàn)?/p>

        [Vz-dz=f0+Vx,0+Vy-f0,0-fx0,0Vx+fy0,0Vy=VxVy(Vx)2+(Vy)2]

        在ρ=[(Vx)2+(Vy)2]→0的過(guò)程中,當(dāng)沿著路徑y(tǒng)=kx趨于(0,0)點(diǎn)時(shí),[Vz-dzρ=VxVy(Vx)2+(Vy)2(Vx)2+(Vy)2=VxVy(Vx)2+(Vy)2=k(Vx)2Vx2(1+k2)=k1+k2]不趨于0,即[Vz-dz]不是[ρ]的高階無(wú)窮小,從而由微分的定義知函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處不可微。

        3.二元函數(shù)可微是連續(xù)的充分不必要條件。

        定理4:若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分,則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)。

        證明:因?yàn)楹瘮?shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分,所以[Vz=AVx+BVy+oρ,ρ=(Vx)2+(Vy)2,limρ→0Vz=0][limVx→0Vy→0f(x+Vx,y+Vy)=limρ→0fx,y+Vz=f(x,y)]。即函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處連續(xù)。

        例5二元函數(shù)[fx,y=sinx2+y2]在點(diǎn)(0,0)處連續(xù),但在點(diǎn)(0,0)處偏導(dǎo)數(shù)不存在,也不可微。

        證明由例3可知[fx,y=sinx2+y2]在點(diǎn)(0,0)處連續(xù),但偏導(dǎo)數(shù)不存在。由定理3可知,偏導(dǎo)數(shù)不存在,則不可微。

        4.二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)是函數(shù)可微的充分不必要條件。

        定理5【2】若二元函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)[?z?x,?z?y]在點(diǎn)(x,y)處連續(xù),則函數(shù)z=f(x,y)在該點(diǎn)處可微分。

        證明:

        [vz=fx+Vx,y+Vy-fx,y=fx+Vx,y+Vy-fx,y+Vy+fx,y+Vy-fx,y],

        由拉格朗日中值定理,有

        [fx+Vx,y+Vy-fx,y+Vy=fxx+θ1Vx,y+VyVx,(0<θ1<1)]。再由[fx(x,y)]在點(diǎn)(x,y)處的連續(xù)性及極限與無(wú)窮小的關(guān)系知[limVx→0Vy→0fxx+θ1Vx,y+Vy=fx(x,y)],則[fxx+θ1Vx,y+Vy=fxx,y+ε1],其中[ε1]是[Vx,Vy]的函數(shù),且當(dāng)[Vx→0,Vy→0]時(shí),[ε1→0]。因此,[fxx+θ1Vx,y+VyVx=fxx,yVx+ε1Vx]。

        同理有[fxx,y+Vy-fx,y=fxx,yVy+ε1Vy],其中,當(dāng)[Vy→0]時(shí),于是[Vz=fxx,yVx+fxx,yVy+ε2Vy],因?yàn)?/p>

        [ε1Vx+ε2Vyρ≤ε1+ε2ρ→0→0,ρ=(Vx)2+(Vy)2]。故函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處可微分。

        例7二元函數(shù)[fx,y=(x2+y2sin1x2+y2)(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]

        在點(diǎn)[(0,0)]處可微,但偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。

        證明:因?yàn)?/p>

        [fx0,0=limVx→0f0+Vx,0-f(0,0)Vx=limVx→0(Vx)2sin1(Vx)2Vx=limVx→0Vxsin1(Vx)2=0]

        [ fy0,0=limVy→0f0,0+Vy-f(0,0)Vy=limVy→0(Vy)2sin1(Vy)2Vy=limVy→0Vysin1(Vy)2=0]

        [Vz-fx0,0Vx+fy0,0Vy=f0+Vx,0+Vy-f0,0=ρ2sin1ρ2=o(ρ)]

        其中[ρ=(Vx)2+(Vy)2]。所以f(x,y)在點(diǎn)[0,0]處可微。

        因?yàn)椋?dāng)[(x,y)≠(0,0)]時(shí)

        [fxx,y=2xsin1x2+y2+(x2+yx)cos1x2+y2×-1(x2+y2)2×2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2]

        即[fxx,y=2xsin1x2+y2-2xx2+y2cos1x2+y2(x,y)≠(0,0)0x,y=(0,0)]

        顯然[lim(x,y)→(0,0)fx(x,y)≠fx(0,0)],即[fx(x,y)]在點(diǎn)[(0,0)]處不連續(xù),同理[fy(x,y)]在點(diǎn)[(0,0)]處也不連續(xù)。

        參考文獻(xiàn):

        [1]楊晉浩,韓天勇.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))修訂版[M].科學(xué)出版社,2010,8.

        [2]韓天勇,施達(dá),楊洪.高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))修訂版[M].科學(xué)出版社,2011,2.

        作者簡(jiǎn)介:

        劉春燕(1988,01—),女,漢,四川仁壽人,成都大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院專任教師(助教),碩士研究生,主要從事模糊關(guān)系方程方面的研究。

        基金項(xiàng)目:2014年成都市科技局項(xiàng)目(2014-RK00-00051-ZF),2015年成都市科技局項(xiàng)目(2015-RK00-00010-ZF、2015-RK00-00018-ZF)。endprint

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