李海斌， 王樹(shù)慶

(1.河北科技大學(xué) 信息學(xué)院，河北 石家莊 050018；2.石家莊數(shù)英儀器有限公司 生產(chǎn)部，河北 石家莊 050000)

均勻平面電磁波場(chǎng)強(qiáng)解析解的算法研究

李海斌1， 王樹(shù)慶2

(1.河北科技大學(xué) 信息學(xué)院，河北 石家莊 050018；2.石家莊數(shù)英儀器有限公司 生產(chǎn)部，河北 石家莊 050000)

對(duì)無(wú)限大均勻線性各向同性介質(zhì)中的均勻平面電磁波的場(chǎng)強(qiáng)，分別采用時(shí)域法和頻域法進(jìn)行了推導(dǎo)和分析.兩種算法的數(shù)學(xué)本質(zhì)和場(chǎng)強(qiáng)解析解的物理意義為：電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度具有相同的空間相位和時(shí)間相位，并且電場(chǎng)強(qiáng)度垂直于磁場(chǎng)強(qiáng)度，它們與電磁波傳播方向垂直.電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度的振幅只相差一個(gè)比例因子.

均勻平面；電磁波；場(chǎng)強(qiáng)；解析解；時(shí)間域；頻率域；麥克斯韋方程；波動(dòng)方程

均勻平面電磁波是一種最簡(jiǎn)單的電磁波形式[1].天線輻射的電磁場(chǎng)在遠(yuǎn)區(qū)小范圍內(nèi)可以看作是均勻 平面電磁波，因此，均勻平面電磁波的場(chǎng)強(qiáng)分析具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義.場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算方法包括數(shù)值算法和解析算法.由于均勻平面電磁波具有良好的對(duì)稱性，因此，可以利用解析法進(jìn)行公式的推導(dǎo)與計(jì)算.

1 電磁波的波動(dòng)方程組推導(dǎo)

假設(shè)無(wú)限大均勻線性各向同性介質(zhì)中，電場(chǎng)及磁場(chǎng)分布分別滿足約束條件：

E=E(z,t)

(1)

H=H(z,t)

(2)

并且介質(zhì)滿足兩個(gè)約束關(guān)系：B=μH，D=εE，其中μ為磁導(dǎo)率；H為磁場(chǎng)強(qiáng)度；ε為介電常數(shù)；E為電場(chǎng)強(qiáng)度.

基于上述假設(shè)知，電場(chǎng)強(qiáng)度與x變量、y變量無(wú)關(guān)，磁場(chǎng)強(qiáng)度也與x變量、y變量無(wú)關(guān)，并且介電常數(shù)和磁導(dǎo)率都是固定的常數(shù).根據(jù)麥克斯韋方程，考慮到所分析場(chǎng)點(diǎn)沒(méi)有電流源，也沒(méi)有電荷源，因此有下列公式成立：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

根據(jù)公式(4)和公式(5)，有下列等式成立：

(8)

(9)

(10)

根據(jù)公式(6)和公式(7)，有下列等式成立：

(11)

(12)

(13)

公式(8)和公式(12)中都有Ex和Hy，聯(lián)立兩個(gè)公式，消去Ex有：

(14)

從公式(9)和公式(13)組成的方程組中消去變量Hy：

(15)

通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，公式(14)和公式(15)即為均勻平面電磁波的波動(dòng)方程.

公式(9)和公式(11)中都含有Ey和Hx，聯(lián)立兩個(gè)方程，消去Ey，可得

(16)

再?gòu)墓?9)和公式(11)中消去變量Hx得：

(17)

通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，公式(16)和公式(17)也是均勻平面電磁波的波動(dòng)方程，而且場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值具有對(duì)稱性.

2 場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算公式的推導(dǎo)

2.1 方法一：時(shí)域法[2]求場(chǎng)強(qiáng)

根據(jù)方程(14)，下面的表達(dá)式滿足其解

Hy=Hy0cos(wt-wz/u)

(18)

根據(jù)公式(18)可得：

(19)

在公式(19)的推導(dǎo)過(guò)程中，變量u為電磁波在均勻介質(zhì)中傳播的相速,其數(shù)值為:

(20)

根據(jù)公式(18)和公式(19)，在無(wú)限大均勻線性各向同性介質(zhì)中傳播的電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度，在空間某一點(diǎn)具有相同的空間相位和相同的時(shí)間相位，且兩者的振幅相差一個(gè)比例因子.

空間某場(chǎng)點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度振幅為Hy，電場(chǎng)強(qiáng)度振幅為Ex，兩者有如下的關(guān)系:

(21)

根據(jù)波動(dòng)方程(16)和波動(dòng)方程(17)，求取均勻平面電磁波場(chǎng)強(qiáng)的解析解.

根據(jù)公式(16)，其解析解為:

Hx=Hx0cos(wt-wz/u)

(22)

再根據(jù)公式(9)，電場(chǎng)強(qiáng)度Ey為:

(23)

從公式(22)和公式(23)可以看出，電磁波傳播的方向與Ey，x，Hx的方向一致.

2.2 方法二:頻域法(復(fù)數(shù)法)[3]求場(chǎng)強(qiáng)

在無(wú)限大均勻線性各向同性介質(zhì)中，在無(wú)源區(qū)域的時(shí)諧電磁場(chǎng)滿足復(fù)數(shù)麥克斯韋方程:

rotH=jwD=jw·E

rotE=-jwB=-jwμH

divD=0

divB=0

(24)

根據(jù)假設(shè)和公式(24)，可推導(dǎo)出公式(14)和公式(15)或者公式(16)和公式(17).本部分根據(jù)波動(dòng)方程求取時(shí)諧波的解析解.

公式(26)為滿足波動(dòng)方程式(15)的復(fù)數(shù)解析解：

Ex=E0ejφe-jkzejwt

(25)

根據(jù)公式(8)知，

(26)

公式(25)和公式(26)的瞬時(shí)值表達(dá)式分別為[1]：

Ex(z,t)=E0cos(wt-kz+φ)

(27)

Hy(z,t)=ZcE0cos(wt-kz+φ)

(28)

公式(28)中，Zc為波阻抗.由公式(27)和公式(28)可以發(fā)現(xiàn)，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度具有相同的空間相位和時(shí)間相位，并且Ex,x,Hy的方向與電磁波傳播方向一致.兩者的振幅只相差一個(gè)比例因子.

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，時(shí)域法對(duì)于理解電磁波的物理意義有一定的幫助,頻域法對(duì)于簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程有積極作用，并且兩種算法的結(jié)果完全一致.這兩種算法成立的前提是，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的數(shù)值只有橫向分量，沒(méi)有縱向分量.通過(guò)提出假設(shè)可以簡(jiǎn)化麥克斯韋方程的求解過(guò)程.

[1] 鄒澎，周曉萍，馬力.電磁場(chǎng)與電磁波：第2版[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016:224-227.

[2] 程守洙，江之永.普通物理學(xué):第3冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，1979:112-118.

[3] 張洪欣，沈遠(yuǎn)茂，韓宇南.電磁場(chǎng)與電磁波：第2版[M].北京：清華大學(xué)出版社，2016:157-160.

責(zé)任編輯：金 欣

Algorithm as analytic answer of field intensity of
plane uniform electromagnetic wave

LI Hai-bin1, WANG Shu-qing2

(1.School of Information Technology, Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang, Hebei 050018, China;2.Center of Production, Shijiazhuang Suin Instruments Co. Ltd, Shijiazhuang, Hebei 050000, China)

Field intensity is related to plane uniform electromagnetic wave which travels in linear isotropic uniform medium, while analytic algorithm can be classified into time and frequency domains. Its mathematical theory and physical meaning claims that electric and magnetic field intensities have the same space and time phases at perpendicular status. Both are perpendicular to the wave travelling direction. Amplitude of magnetic field divided by wave impedance is the amplitude of electric field.

uniform plane; electromagnetic wave; field intensity; analytical answer; time domain; frequency domain; Maxwell equation; wave equation

2017-03-21

李海斌(1966-)，男，河北石家莊人，河北科技大學(xué)副研究員，碩士，從事電子工程領(lǐng)域的教學(xué)與科學(xué)研究工作.

1009-4873(2017)04-0026-03

O441

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