喬少華， 李潤鑫， 劉 輝， 尚振宏

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500)

基于統(tǒng)計(jì)量的加權(quán)函數(shù)圖像重建方法*

喬少華， 李潤鑫， 劉 輝， 尚振宏

(昆明理工大學(xué) 信息工程與自動(dòng)化學(xué)院，云南 昆明 650500)

針對(duì)圖像重建的問題，提出了一種基于統(tǒng)計(jì)量的加權(quán)函數(shù)圖像重建方法?？紤]到退化圖像不僅含有高斯噪聲，且含有拉普拉斯噪聲，利用最大似然估計(jì)的思想估計(jì)高斯噪聲和拉普拉斯噪聲的方差構(gòu)造基于統(tǒng)計(jì)量的高斯和拉普拉斯權(quán)重函數(shù)；由于在圖像重建過程中，噪聲分布發(fā)生變化，整合L1，L2范數(shù)，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)；結(jié)合雙邊全變差(BTV)正則化算法，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)圖像恢復(fù)方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：相比基于L1-L2混合誤差模型(HEM)，方法的峰值信噪比(PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(SSIM)分別平均提高了約2.07 dB，0.02, 對(duì)含有多種噪聲的退化圖像能夠取得比較理想的結(jié)果。

統(tǒng)計(jì)量； 自適應(yīng)； 加權(quán)函數(shù)； 方差； 雙邊全變差

0 引 言

圖像重建是指利用信號(hào)處理和圖像處理的方法，通過軟件計(jì)算的方式將退化的低分辨率(LR)圖像轉(zhuǎn)化成高分辨率(HR)圖像的技術(shù)[1～7]。圖像重建主要方法有：凸集投影(projection onto convex sets,POCS)方法[8]、迭代反投影(iterative back projection,IBP)方法[9]、最大后驗(yàn)概率(maximum a posteriori,MAP)估計(jì)方法[10]和最大似然(maximum likelihood,ML)估計(jì)[10]。其中，最大似然估計(jì)是基于最大后驗(yàn)概率估計(jì)的一種方法，基于概率的算法框架。這類方法較為靈活，特別是它的正則項(xiàng)，可以自由加入對(duì)具體問題的具體約束。在提出最大后驗(yàn)概率方法之后，對(duì)于如何設(shè)計(jì)一個(gè)有效的正則項(xiàng)成為圖像處理領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。比較常用的正則化方法有Tikhonov[11]正則項(xiàng)、全變差(total variation,TV)[12]正則項(xiàng)、雙邊全變差(bilateral total variation,BTV)[13]正則項(xiàng)、Student-t正則化[14]?；贐TV正則化算法能夠得到比較理想的稀疏解，同時(shí)具有良好的邊緣信息保持和平滑效果，本文采用BTV作為正則項(xiàng)。

實(shí)際上,許多退化的圖像不僅含有高斯噪聲，而且含有拉普拉斯噪聲，無論選擇L1范數(shù)模型，還是選擇L2范數(shù)模型，都不能得到比較理想的重建結(jié)果。針對(duì)這一問題，SongH H等人[3]提出了一種基于L1-L2混合誤差模型(hybird error model,HEM)的超分辨率圖像重建算法，由于噪聲分布比列發(fā)生變化，該模型采用的權(quán)重函數(shù)不能完整地詮釋噪聲分布關(guān)系，不是最優(yōu)權(quán)重函數(shù)，為此，本文設(shè)計(jì)了一種基于統(tǒng)計(jì)量的自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)。

在圖像重建的迭代過程中，噪聲分布會(huì)發(fā)生變化，本文設(shè)計(jì)的自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)圖像重建方法，利用最大似然估計(jì)的思想，通過估計(jì)高斯和拉普拉斯噪聲方差，構(gòu)造基于統(tǒng)計(jì)量的權(quán)重函數(shù)，根據(jù)噪聲分布比例賦予L1，L2范數(shù)相應(yīng)的權(quán)重，起到自動(dòng)加權(quán)，并結(jié)合雙邊全變差正則化算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文方法可以有效地去除圖像噪聲，并且在圖像平滑區(qū)域、邊緣保持等細(xì)節(jié)方面具有更好的重建效果。

1 方 法

1.1 圖像退化

圖像退化是指圖像在獲取、傳輸和存儲(chǔ)的過程中，因各種不確定因素影響導(dǎo)致圖像質(zhì)量的下降。通常，圖像退化數(shù)學(xué)模型可以用一個(gè)線性過程來表達(dá)，其定義式為

zk=DkHkFkX+Nk,k=1,…,K

(1)

式中X為原始高分辨率圖像;z為退化圖像;Dk為第k模糊算子；Hk為第k幅圖像的下采樣算子;Fk為第k幅圖像的幾何運(yùn)動(dòng)算子;Nk為加性噪聲。

目前，圖像重建均以退化模型式為理論依據(jù)，通過已知的LR圖像z，對(duì)式(1)反向求解，得到HR圖像X，與此同時(shí)，該求解過程往往忽略一些問題：由于LR圖像數(shù)量不足以及病態(tài)的模糊因子D，往往導(dǎo)致解的不唯一性。為了解決這一系列問題，通常采用正則化方法對(duì)其解空間加以限制。加入正則項(xiàng)的代價(jià)函數(shù)如下

(2)

式中 l通常取1或2; λ為正則參數(shù);Xr為正則項(xiàng)。對(duì)式(2)進(jìn)行最優(yōu)化求解就可以完成圖像的重建。對(duì)于Xr，本文選擇BTV作為圖像重建正則項(xiàng)。

1.2 BTV正則化算法

同時(shí)利用空間距離與灰度差值對(duì)圖像進(jìn)行重建，圖像噪聲抑制效果比較明顯，還能很好地保持邊緣信息。其正則項(xiàng)表達(dá)式為

(3)

1.3 加權(quán)函數(shù)圖像重建方法

為了同時(shí)兼顧L1，L2范數(shù)特點(diǎn)，文獻(xiàn)[3]提出了自適應(yīng)范數(shù)HEM，其目標(biāo)函數(shù)如下

(4)

通過觀察HEM算法的權(quán)重函數(shù)，其分布圖如圖1所示，可知，該權(quán)重函數(shù)使得兩種噪聲比例在0～1之間,未完全覆蓋，例如,拉普拉斯噪聲權(quán)重?zé)o法取到0.2，即當(dāng)拉普拉斯噪聲權(quán)重小于0.3時(shí)，對(duì)應(yīng)的權(quán)重函數(shù)只能取到0.3。

圖1 HEM權(quán)重函數(shù)H(γ)曲線

為了克服這一缺陷，本文考慮利用最大似然估計(jì)，構(gòu)造基于統(tǒng)計(jì)量的拉普拉斯權(quán)重函數(shù)，其定義為

(5)

(6)

同理，高斯權(quán)重函數(shù)為1-S(v)。

如圖2所示，當(dāng)v=0.5時(shí)，高斯噪聲和拉普拉斯噪聲分布趨于相等；當(dāng)v≥0.5時(shí)，混合噪聲偏向于拉普拉斯分布，加權(quán)函數(shù)自主選擇L1范數(shù)；當(dāng)v≤0.5時(shí)，混合噪聲偏向于高斯分布加權(quán)函數(shù)自主選擇L2范數(shù)。相比HEM算法的權(quán)重函數(shù)，本文方法權(quán)重函數(shù)的2種噪聲分布所占比例全覆蓋，即S(v)∈[0,1]，1-S(v)∈[0,1]，而文獻(xiàn)[3]的2種噪聲分布所占比例分布非全覆蓋，即H(γ)∈(0,0.681 4)，1-H(γ)∈(0.318 6,1) 。

圖2 本文方法權(quán)重函數(shù)曲線S(v)

理論上,圖像噪聲可以理解為不可預(yù)測(cè)，隨機(jī)發(fā)生，是一個(gè)多維隨機(jī)過程，因此，可以利用概率密度分布函數(shù)描述，則高斯和拉普拉斯的概率密度分布函數(shù)定義如下

(7)

(8)

式中r為N維噪聲向量;σG，mG，σL和mL分別為高斯和拉普拉斯對(duì)應(yīng)的方差和均值。

計(jì)算拉普拉斯概率密度分布函數(shù)的最大似然估計(jì)(MAP)，對(duì)式(8)兩邊取對(duì)數(shù)

(9)

對(duì)式(9)分別求mL和σL的偏導(dǎo)數(shù)

(10)

(11)

由式(10)、式(11)計(jì)算拉普拉斯的均值和方差

(12)

(13)

同理，可得高斯均值和方差

(14)

(15)

則本文自適應(yīng)加權(quán)函數(shù)為

(16)

綜合式(3)、式(16)，最終的圖像重建目標(biāo)函數(shù)為

(17)

針對(duì)式(17)使用標(biāo)度共軛梯度(scaled conjugate gradient，SCG)優(yōu)化，在計(jì)算過程中，通常要考慮迭代的次數(shù)以及連續(xù)2次迭代相減的絕對(duì)值是否滿足給定的閾值。在迭代的過程中，噪聲分布比S(v)會(huì)發(fā)生變化，求取連續(xù)2次v相減的絕對(duì)值，如果絕對(duì)值小于給定的閾值，則終止迭代，否則繼續(xù)迭代，直到達(dá)到所設(shè)定的迭代次數(shù)為止。通過Matlab平臺(tái)計(jì)算，本文方法在迭代次數(shù)將近50時(shí)趨于穩(wěn)定，終止迭代，如圖3所示。

圖3 迭代過程

2 實(shí)驗(yàn)與分析

圖4 Lena退化圖像

利用峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)和結(jié)構(gòu)相似度(structural similarity,SSIM)作為圖像重建質(zhì)量評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)如下

(18)

(19)

第一組實(shí)驗(yàn)，在退化的Lena圖像中添加密度為0.08的拉普拉斯噪聲，選擇比較常見的椒鹽噪聲。如圖5所示，其中，基于L2BTV算法對(duì)拉普拉斯噪聲抑制效果不理想，而基于L1BTV的抑制效果相比于L2范數(shù)更好，圖5(c)較圖5(b)的去噪效果好，但是相比于圖5(d)，圖5(c)有塊狀效應(yīng)，圖5(d)的去噪效果明顯好于圖5(c)，比較圖5(d)和圖5(e)，發(fā)現(xiàn)，后者的去噪效果明顯好于前者，通過表1發(fā)現(xiàn)，相比于HEM，本文方法PSNR提高了1.85dB，SSIM提高了0.02。

第二組實(shí)驗(yàn)，在退化的Foreman圖像中添加方差為0.1的高斯噪聲，如圖6所示，對(duì)比基于L2范數(shù)和L1范數(shù)對(duì)高斯噪聲和拉普拉斯噪聲的去噪能力，發(fā)現(xiàn)圖6(b)去噪效果明顯較圖6(c)好，而相比于圖6(d)，圖6(b)有棋盤效應(yīng)。再比較圖6(d)和圖6(e)，通過表1發(fā)現(xiàn)，相對(duì)比HEM，本文方法PSNR提高了2.28dB，SSIM提高了0.02。

3 結(jié) 論

本文在HEM算法的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了一種基于統(tǒng)計(jì)量的加權(quán)函數(shù)圖像重建方法?？紤]到在圖像重建過程中噪聲分布比例發(fā)生變化的問題，基于統(tǒng)計(jì)量思想與L1，L2范數(shù)，設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)加權(quán)函數(shù),有效地解決了此問題。關(guān)于正則項(xiàng)，本文選取BTV正則化算法，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：本文方法可以獲得比較理想的重建結(jié)果。同時(shí)，存在以下問題：1)關(guān)于正則項(xiàng)算法需要做更深入的研究。2)選取SCG作為目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，表現(xiàn)出迭代次數(shù)偏多。后期將針對(duì)以上問題開展研究。

表1 不同算法的PSNR與SSIM值

圖5 添加椒鹽噪聲不同算法重建效果

圖6 添加高斯噪聲不同算法重建效果

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李潤鑫，通訊作者，E—mail:rxli@kmust.edu.cn。

DOI:10.13873/J.1000—9787(2017)09—0057—04

Study on weighting function image reconstruction method based on statistic*

QIAO Shao-hua, LI Run-xin, LIU Hui, SHANG Zhen-hong

(School of Information Engineering and Automation,Kunming University of Science and Technology,Kunming 650500,China)

Aiming at image reconstruction problem,an image reconstruction method based on weighting function with statistic is proposed.Regarding as degraded images not only have Gaussian noise but also have Laplacian noise ,the idea of the maximum likelihood estimation is adopted to estimate the variance of Gaussian noise and Laplacian noise; Because,in reconstruction process,the distribution of noise change,the weighting function of Gussian and Laplace is constructed based on statistic,which integrates L1and L2norm,and design an adaptive weighting function.Combine with bilateral total variation(BTV) regularization algorithm,an adaptive image restoration method is designed by weighting function.Experimental results show that in comparision with hybrid errors model(HEM) based on L1-L2norm,peak signal to noise ratio(PSNR) and structural similarity(SSIM) are increased by an average of about 2.07 dB,0.02,for degraded image with different noise，can achieve more satisfied result.

statistic; adaptive; weighting function; variance; bilateral total variation

10.13873/J.1000—9787(2017)09—0053—04

2016—09—08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61462052);云南省人才培養(yǎng)基金資助項(xiàng)目(KKSY201403049)

TP 391

A

1000—9787(2017)09—0053—04

喬少華(1986-)，男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閳D像處理與模式識(shí)別。