武際可

(北京大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系100871)

專題綜述

力學(xué)的幾何化

武際可1)

(北京大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系100871)

武際可，北京大學(xué)工學(xué)院力學(xué)與空天技術(shù)系教授、博士生導(dǎo)師，1958年畢業(yè)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系.著有《旋轉(zhuǎn)殼的應(yīng)力分析》、《彈性力學(xué)引論》、《彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性》等，發(fā)表有關(guān)固體力學(xué)、計(jì)算力學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文百余篇.曾任中國(guó)力學(xué)學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)、計(jì)算力學(xué)專業(yè)委員會(huì)副主任、計(jì)算力學(xué)專業(yè)委員會(huì)副主任、《力學(xué)與實(shí)踐》主編.

本文介紹了力學(xué)發(fā)展過程中，力學(xué)理論系統(tǒng)的幾何化.把力學(xué)的動(dòng)力系統(tǒng)歸結(jié)于黎曼幾何、辛幾何的幾何課題，以及對(duì)偶概念、對(duì)稱概念、變換和不變量概念在力學(xué)中的普遍應(yīng)用.

力學(xué),幾何化,對(duì)偶,黎曼幾何,辛幾何,變換,不變量

前言

從19世紀(jì)開始，力學(xué)和物理中使用的幾何學(xué)的語言越來越多，或者說力學(xué)和物理規(guī)律用幾何語言來表述.這種趨勢(shì)被稱為物理的幾何化.

力學(xué)是整個(gè)自然科學(xué)最早精確化的學(xué)科.力學(xué)是研究物質(zhì)在空間運(yùn)動(dòng)的學(xué)科，所以力學(xué)尤其是和幾何學(xué)有著不可分割的聯(lián)系.也可以說，力學(xué)是幾何化最早最深入的學(xué)科，它是隨著歷史發(fā)展逐步深入的.可以把從阿基米德開始的有限自由度力學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系的特點(diǎn)歸納如下[1]：

從阿基米德到哥白尼、斯梯芬時(shí)代，力學(xué)的研究?jī)?nèi)容主要是靜力學(xué)和天體的圓運(yùn)動(dòng).在幾何方面的主要工具是歐氏幾何,相應(yīng)的計(jì)算工具是常量的代數(shù)運(yùn)算.

從伽利略、惠更斯到牛頓、萊布尼茲的時(shí)代，力學(xué)研究的主要內(nèi)容是自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，特別是在引力作用下的自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng).在幾何方面的主要工具是解析幾何，特別是有關(guān)圓錐曲線的解析幾何.在計(jì)算方面的主要工具則是引進(jìn)了變量，發(fā)明了微積分，而且微積分的發(fā)明人牛頓與萊布尼茲自己也是著名的力學(xué)家，是那個(gè)時(shí)期的力學(xué)學(xué)科的開拓者.

從拉格朗日到哈密爾頓和雅科比時(shí)代，力學(xué)的主要研究?jī)?nèi)容是約束運(yùn)動(dòng).在幾何方面引進(jìn)了n維空間的概念，后來經(jīng)過黎曼的嚴(yán)格化，成為流形或黎曼幾何.而在分析方面引進(jìn)了泛函的概念，并且發(fā)展了求泛函極值的方法，也就是變分法.拉格朗日自己就是早期開拓變分法的主將.

在 19世紀(jì)末，力學(xué)又進(jìn)入了一個(gè)重要的新階段，這就是以龐加萊與李亞普諾夫?yàn)榇淼膭?dòng)力系統(tǒng)的定性理論時(shí)代.定性理論與運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的研究本來是從天體力學(xué)中提出來的一個(gè)理論課題，之后發(fā)現(xiàn)在一切力學(xué)系統(tǒng)中，甚至在由一切非線性常微分方程決定的系統(tǒng)中都有普遍理論與應(yīng)用意義.簡(jiǎn)單說，定性理論研究系統(tǒng)解的性質(zhì)隨參數(shù)變化的方向，例如有沒有周期解的變化、有沒有極限環(huán)的變化、解穩(wěn)定與不穩(wěn)定的變化等等.相應(yīng)的幾何方面的主要工具就是拓?fù)鋵W(xué)和微分拓?fù)鋵W(xué)，而相應(yīng)的計(jì)算工具是同倫與外微分等.力學(xué)中的定性理論的開拓者龐加萊本人也是拓?fù)鋵W(xué)的奠基人之一.經(jīng)過了100多年的發(fā)展，它現(xiàn)在仍然是學(xué)者都很關(guān)心的研究領(lǐng)域.

事實(shí)上，力學(xué)與物理的每一次認(rèn)識(shí)的進(jìn)步，都伴隨著人們對(duì)于空間的認(rèn)識(shí)的飛躍和拓廣,于是人們很自然地把所研究的物理對(duì)象的一個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)看作一種空間中的一個(gè)點(diǎn),一種變化過程可以看作點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)的軌跡.因之，力學(xué)與物理便逐漸變?yōu)橐环N擴(kuò)張了的幾何.

由于現(xiàn)代物理，如量子力學(xué)、相對(duì)論和場(chǎng)論的幾何化的問題，已經(jīng)有許多專著介紹,本文僅限于對(duì)經(jīng)典力學(xué)的幾何化的幾個(gè)重要方面進(jìn)行討論，作為一個(gè)入門的導(dǎo)引,大致涉及對(duì)偶、動(dòng)力學(xué)幾何、變換與守恒.

1 力學(xué)中的對(duì)偶

對(duì)偶空間概念的引進(jìn)，實(shí)際上是緊密聯(lián)系于物理量的描述的,在力學(xué)中就有不少對(duì)偶空間.如三維空間中的質(zhì)點(diǎn)位移組成一個(gè)三維向量空間L3，若給定其基底3個(gè)不共面的向量e1,e2,e3，則任一位移均可由u=u1e1+u2e2+u3e3來表示，這里ui為位移在這組基底上的坐標(biāo).有了位移空間L3，我們可以引進(jìn)其對(duì)偶空間.這個(gè)對(duì)偶空間實(shí)際上描述了空間力向量組成的空間.眾所周知，力在位移上做功是一個(gè)標(biāo)量，給定一個(gè)力f相當(dāng)于定義了一個(gè)在位移空間上做功的線性函數(shù)

令力向量a為對(duì)偶空間L′3中的元素,則a在位移空間中做功為

這種以對(duì)偶空間的方式定義力的概念和力學(xué)中最初以大小方向作用點(diǎn)定義的方式有所不同.在那里只說明了力是一個(gè)向量，而現(xiàn)在不僅說明了力的向量性質(zhì)而且把它和L3中元素即位移的關(guān)系闡明了，說明了力和位移的對(duì)偶關(guān)系.分析力學(xué)中廣義力的概念也是這樣引進(jìn)的.

除了位移和力這一對(duì)對(duì)偶空間之外，在力學(xué)和物理學(xué)中還有許多對(duì)偶空間.如固體力學(xué)中一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)構(gòu)成了對(duì)偶空間，在一般情形下它們是六維的；在分析力學(xué)中廣義力和廣義位移組成一對(duì)n維的對(duì)偶空間等等.

作為一個(gè)例子，我們下面來具體分析一下質(zhì)點(diǎn)系和剛體的平衡條件和位移約束條件.

設(shè)在位移空間 L3中給定一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移為u=uiei，一個(gè)將任意的 u變?yōu)?0的線性函數(shù)對(duì)應(yīng)于其對(duì)偶空間中的零向量，即

由于對(duì)偶是相互的，一個(gè)將任意向量a∈L′3變?yōu)?的線性函數(shù)，對(duì)應(yīng)于L3中的零向量，即

這兩件事實(shí)說明：在任意位移上做零功的力為零，而在任意力作用下都做零功的位移也為零.

則可以引進(jìn)乘子λ，令

令其中x為任意，所得到的y即可滿足要求.

將前述事實(shí)加以推廣，設(shè)在空間中有 m個(gè)質(zhì)點(diǎn)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)引進(jìn)一個(gè)位移ui(i=1,2,···,m)，則這些位移構(gòu)成一個(gè)n=3m維的向量空間L3m=而它的對(duì)偶空間相當(dāng)于由每一點(diǎn)上給定的一個(gè)力Fi所構(gòu)成的3m維空間L′3m.

顯然這個(gè)力系在任意位移上做功為零的條件為

如果給定的位移并不是任意的，比如說m個(gè)質(zhì)點(diǎn)是約束在同一個(gè)剛體上，則ui可以表示為

這里u0與?為兩個(gè)任意的常向量，ri為空間質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)向量.采用通常三維空間中向量的運(yùn)算將式(4)代入式(3)，得

由于u0與?的任意性，有

這就是剛體的平衡條件.

同樣，考慮作用在各點(diǎn)的力系任意變化下都做零功的位移所滿足的條件，即考慮式 (3)在 Fi滿足剛體平衡條件(5)時(shí)位移場(chǎng)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件.在這種情形下，根據(jù)引理，把式(3)與式(5)兩式聯(lián)立，尋求Fi任意變化下ui的解空間.為此，將式(5)的兩個(gè)等式分別乘以待定乘子u0與?兩個(gè)向量后與式(3)相減，得

顯然式(6)可以化為

由于上式中Fi是任意變化的，于是得到

這也就是剛體位移的約束條件.

上面所討論的剛體在兩個(gè)相互對(duì)偶的空間內(nèi)滿足做零功的相互對(duì)偶的兩個(gè)條件，就是剛體力學(xué)中的靜力平衡條件(式(5))和運(yùn)動(dòng)學(xué)幾何條件(式(8)).

對(duì)于連續(xù)介質(zhì)，以彈性力學(xué)為例.

若彈性體一點(diǎn)的位移為u，其在直角坐標(biāo)中的分量為u,v,w,則應(yīng)變張量Γ各分量為

下標(biāo)1,2,3對(duì)應(yīng)于x,y,z.

作用在彈性體一點(diǎn)的應(yīng)力張量為T,分量為σij(i,j=1,2,3).

令彈性體為D，其邊界為?D，在D上作用有體力f，邊界?D上作用有面力t.

現(xiàn)在考慮對(duì)于任何u下述不變量為零的條件

對(duì)上面的第3個(gè)積分進(jìn)行分部積分就可以得到

由于u的任意性，所以一定有這就是彈性力學(xué)問題的應(yīng)力平衡方程和應(yīng)力邊界條件.

現(xiàn)在要討論在滿足平衡方程的應(yīng)力任意變化條件下式(10)成立時(shí)，位移應(yīng)當(dāng)滿足什么條件.由于式(11)是對(duì)于應(yīng)力的2個(gè)約束，所以應(yīng)當(dāng)在討論式(10)是否成立時(shí)引進(jìn)不定乘子u，于是有

經(jīng)過消去相同的項(xiàng)并且對(duì)最后一個(gè)積分進(jìn)行分部積分，再考慮T的任意性，就會(huì)得到

式中右邊是應(yīng)變分量的位移表達(dá)式(9).

上面兩個(gè)例子說明，由于引進(jìn)對(duì)偶的概念，由物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，可以通過對(duì)偶得到作用在物體上的力的規(guī)律.由應(yīng)變表達(dá)能夠?qū)ε嫉玫狡胶鈼l件.反之亦然.

同樣，力學(xué)中有大量的對(duì)偶的規(guī)律，我們只要對(duì)一個(gè)方面研究清楚了，就能夠通過對(duì)偶關(guān)系得到相應(yīng)的對(duì)偶量的規(guī)律.

2 黎曼幾何與拉格朗日動(dòng)力系統(tǒng)

在一張光滑曲面上給了一個(gè)坐標(biāo)架場(chǎng)，即每一點(diǎn)給了不共線的兩個(gè)向量e1和e2，還給了一個(gè)微向量

其中dx1，dx2是坐標(biāo)的微分，這個(gè)微向量的長(zhǎng)度的平方應(yīng)當(dāng)是

如果把上式中的ei·ej=gij(i,j=1,2)，它們是坐標(biāo)參量x1,x2的函數(shù).這樣，上式就可以寫成

其中，按i,j從1到2約定求和.(即凡有上標(biāo)和下標(biāo)相同，就對(duì)于指標(biāo)變量從1到它的上界求和)

顯然因?yàn)閑i·ej=ej·ei所以gij=gji，即gij對(duì)于下標(biāo)是對(duì)稱的.它稱為度量張量，或黎曼度量，有的情況下也稱為度規(guī)張量.

在曲面上每一點(diǎn)給了式(13)，我們就能夠計(jì)算曲面上任何兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)進(jìn)而也能夠計(jì)算曲面上的其他度量性質(zhì)，例如相交兩條線的交角、閉曲線所圍的面積等.實(shí)際上，關(guān)鍵是給了作為坐標(biāo)參量x1,x2函數(shù)的gij，無需知道坐標(biāo)架，e1和e2.也就是說，只要知道了gij，就能夠知道曲面內(nèi)的一切度量性質(zhì).把對(duì)于二維曲面的這個(gè)思想推廣到n維流形上，就是黎曼幾何.下面就將式(13)中的上下標(biāo)的變化范圍擴(kuò)大到n.

圖1的四幅圖，是荷蘭藝術(shù)家摩里茨·科奈里斯 ·埃舍爾畫的《圓的極限》.每一幅都畫在一個(gè)半徑為單位的圓內(nèi).畫面從中心一直到邊緣，逐漸變小，以至無限小.這幾幅圖中都是充滿對(duì)稱的圖案.這種對(duì)稱就不再是通過平移轉(zhuǎn)動(dòng)和鏡面反射能夠使圖形重合，而需要引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖儞Q使圖形重合.其中的奧妙就是采用的度量為

也就是

有關(guān)對(duì)稱的更多知識(shí)請(qǐng)參見文獻(xiàn)[2-3].

圖1 圓的極限

這樣的二維黎曼空間，它的參數(shù)定義域是在一個(gè)單位圓內(nèi)，這個(gè)圓稱為龐加萊圓盤，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊首先引進(jìn)的.有了度量就很容易求出空間的測(cè)地線(它相當(dāng)于歐氏平面上的直線).把測(cè)地線的參數(shù)變化畫在圓盤上，然后根據(jù)測(cè)地線的軌跡去構(gòu)圖.第3個(gè)圓盤上的首尾相連的魚就是沿著測(cè)地線畫的.

德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866)(圖 2)是一位有多方面貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家.在哥廷根大學(xué)畢業(yè)后師從高斯攻讀博士學(xué)位，于1851年以有關(guān)單復(fù)變函數(shù)的論文獲博士學(xué)位. 1854年黎曼在哥廷根大學(xué)初次登臺(tái)為了提升講師，作了題為《論作為幾何基礎(chǔ)的假設(shè)》(Ueber die Hypothesen,welche der Geometrie zu Grunde liegen)的演講，開創(chuàng)了黎曼幾何的歷史.在這篇論文中，黎曼并沒有用多少公式，其中列出的唯一重要的公式就是式(13).

圖2 黎曼像

這篇論文開辟了微分幾何的新領(lǐng)域，除此之外，黎曼在數(shù)論、復(fù)變函數(shù)論、微分方程、數(shù)學(xué)物理等方面都有非常重要的貢獻(xiàn)[4].

正如平面可以看作曲面的特殊情形，當(dāng)黎曼幾何的度量張量的數(shù)值gii=1，gij=0(當(dāng)i/=j時(shí))，黎曼幾何就是通常的歐氏空間，亦即歐氏幾何.

最早黎曼提出黎曼流形時(shí)，式(1)中關(guān)于dxi的二次型是正定二次型，這是由于式(13)左邊是微弧的平方，不管在什么條件下都是正的.后來，人們考慮式(13)不一定要求是正定的，這時(shí)這種空間就稱為偽歐氏空間.在狹義相對(duì)論中，定義時(shí)空距離為

其中 c是光速，t是時(shí)間.這就是一個(gè)偽歐氏空間.易于驗(yàn)證這個(gè)式子是在洛倫茨變換之下的不變量.

順便提一句，當(dāng)二次式(13)不一定是正定的，而且后面還有dxi的一次項(xiàng)時(shí)，這種空間就稱為芬斯拉空間(Finsler Space)，研究它的學(xué)問就稱為芬斯拉幾何.我國(guó)數(shù)學(xué)家蘇步青是芬斯拉幾何的專家.

在牛頓的《原理》出版后的101年，也是法國(guó)大革命的前一年，即1788年，卻在法國(guó)出版了一本不含幾何推理也沒有任何幾何插圖的力學(xué)書,這就是拉格朗日(Lagrange)著的《分析力學(xué)》,用統(tǒng)一的方法處理帶約束的力學(xué)系統(tǒng).所謂分析力學(xué)，實(shí)際上可以看作約束體系的力學(xué).這本書的出版標(biāo)志著力學(xué)發(fā)展進(jìn)入一個(gè)新階段.

他首先引進(jìn)可以完全描述力學(xué)系統(tǒng)狀態(tài)的有限個(gè)參數(shù)，采用拉格朗日的符號(hào)，記為 qj(j= 1,2,···,n)稱為廣義坐標(biāo)，后人也稱為拉格朗日坐標(biāo).其次，他在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能 T，用的函數(shù)來表示，即

把上式與后來黎曼引進(jìn)的微弧長(zhǎng)式(13)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)除了前面差一個(gè)1/2的系數(shù)外，完全是弧長(zhǎng)對(duì)于時(shí)間微商平方的表達(dá)式.把這個(gè)空間的微弧長(zhǎng)記為

這里Qj是作用力在廣義坐標(biāo)中的表達(dá)式，當(dāng)它們?yōu)榱銜r(shí)，即不受外力的條件下，運(yùn)動(dòng)路徑就是黎曼空間中的短程線.如果將Qj表為qj的函數(shù)，且是有勢(shì)力的情形，即

這時(shí)若令L=T-U,則有

這個(gè)方程稱為第二類拉格朗日方程，函數(shù)L是泊松引進(jìn)的稱為拉格朗日函數(shù).

式 (16)中如果 Qj=0則它的解就相當(dāng)于使以T為黎曼度量的短程線.在歐式空間中不受外力的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線.而有約束的力學(xué)系統(tǒng)在黎曼空間的運(yùn)動(dòng)軌跡是黎曼空間的測(cè)地線.式(17)表示，如果以L為黎曼度量則該力學(xué)系統(tǒng)在這種空間的運(yùn)動(dòng)軌跡是L度量之下的短程線.因?yàn)檫@些微分方程都是相應(yīng)的作用量取極值條件下的解.

可以看到，分析力學(xué)中引進(jìn)的廣義坐標(biāo)實(shí)際上是最早高維空間的概念. 后來黎曼引進(jìn)了黎曼幾何、黎曼流形，他的度量二次型實(shí)際上就相當(dāng)于拉格朗日引進(jìn)的動(dòng)能的表達(dá)式.這才對(duì)力學(xué)上的廣義坐標(biāo)給了一個(gè)比較深刻的解釋，所以也可以說，分析力學(xué)是流形上的力學(xué).拉格朗日使力學(xué)擺脫了古典歐氏幾何的束縛，但并沒有使它永遠(yuǎn)脫離幾何，而是使力學(xué)與更高層次的幾何——流形幾何或現(xiàn)代微分幾何聯(lián)系在一起.

總之，當(dāng)給了一組廣義坐標(biāo)，或者用幾何語言說，給了一個(gè)n維流形，在流形上定義了一個(gè)正定二次型 (15)，那么就定義了一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng) (16).這樣就把拉格朗日動(dòng)力系統(tǒng)完全歸結(jié)于一種幾何問題:一個(gè)運(yùn)動(dòng)的軌跡，對(duì)應(yīng)于流形上的一條曲線.

3 辛幾何與哈密爾頓動(dòng)力系統(tǒng)

上一節(jié)我們引進(jìn)了黎曼幾何的概念.并且說，把黎曼幾何中的度量進(jìn)行推廣或少許改變就會(huì)得到新的幾何.不過上面引述的幾種改變都還保留了二次式(13)的對(duì)稱性質(zhì).現(xiàn)在我們要引進(jìn)一種比較大的改變，從而產(chǎn)生一種嶄新的幾何——辛幾何(Symplectic Geometry).

改變的第一點(diǎn)是令空間的維數(shù)為偶數(shù)，第二點(diǎn)，最重要的是改變微分 dxi乘積的定義.原來的乘積是可交換的，即dxidxj=dxjdxi，就是兩個(gè)元素相乘時(shí)，次序先后結(jié)果都一樣.這種乘法對(duì)于次序的置換是對(duì)稱的.現(xiàn)在把乘法的可交換改為交換次序后取反號(hào)，即dxidxj=-dxjdxi.也就是說，將原來坐標(biāo)參數(shù)微分的乘法從對(duì)稱改為反對(duì)稱.為了區(qū)別于原來的乘法，把這種乘法取名為外積，乘法的符號(hào)也改用“∧”，于是有dxi∧dxj=-dxj∧dxi.在這樣的改動(dòng)下式(13)就可以寫為

由于外積的性質(zhì)，上式中必然有g(shù)ii=0，gij=-gji.另外，即這時(shí)的度規(guī)是一個(gè)反對(duì)稱張量.由于引用了外積，上式也不一定是正定的了，所以就不再有弧長(zhǎng)的性質(zhì)，不再保留式(13)左端的(ds)2.

上面這個(gè)表達(dá)式還是有一點(diǎn)復(fù)雜.現(xiàn)在我們引用一個(gè)定理(達(dá)布定理)，這個(gè)定理說，式(18)在一定的條件下，總能夠通過坐標(biāo)參量的變換，把它化為如下的標(biāo)準(zhǔn)型

這個(gè)式子用矩陣的符號(hào)可以記為

式中0n與En分別表示n階零矩陣和單位矩陣.度量矩陣(gij)的形式為

需要說明的是，外積的概念在 19世紀(jì)就已經(jīng)產(chǎn)生了.到了 20世紀(jì)，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家卡丹 (′Elie Joseph Cartan，1869—1951)(圖3)對(duì)它進(jìn)行了系統(tǒng)的發(fā)展，并引進(jìn)外形式和外微分的概念.表達(dá)式(18)或(19)就是一個(gè)二階外微分形式，對(duì)于微分形進(jìn)行外微分，可以得到更高階的微分形.后來的研究發(fā)現(xiàn)外形式有著更為豐富的幾何內(nèi)涵.與之相對(duì)應(yīng)的式(13)是僅僅考慮流形內(nèi)的度量性質(zhì)，對(duì)應(yīng)的幾何稱為內(nèi)蘊(yùn)幾何.而外形式則更多地考慮到流形的定向、低維流形與高維流形之間的關(guān)系，所以后來在力學(xué)、物理和微分方程的可積性等方面都有重要的應(yīng)用.卡丹在李群理論及其幾何應(yīng)用、數(shù)學(xué)物理、微分幾何等方面有很重要的貢獻(xiàn).

辛(Symplectic)這個(gè)詞則是德國(guó)(后加入美籍)數(shù)學(xué)家魏爾 (Hermann Klaus Hugo Weyl，1885—1955)(圖 3)于 1939年引進(jìn)的.他首先引進(jìn)了辛群(Symplectic Group)的概念，即一個(gè)線性變換群如果能夠保持反對(duì)稱二次型(18)的反對(duì)稱性質(zhì)則這個(gè)線性變換群就稱為辛群.對(duì)辛群，魏爾在1946年出版的專著《經(jīng)典群，它們的不變量與表示》第六章中有較詳細(xì)的討論.

圖3 卡丹(左)與魏爾(右)像

抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利后，蔣介石想制造原子彈，曾派出華羅庚(數(shù))、吳大猷(理)、曾昭掄(化)，各帶一二位研究生于1946年赴美考察.后來他們知道，美國(guó)政府規(guī)定：凡與原子彈有關(guān)的研究機(jī)構(gòu)和工廠，—律不準(zhǔn)外國(guó)人進(jìn)入.這三位和他們所帶的研究生只得“各奔前程”.華羅庚就去訪問普林斯頓，接觸到魏爾，并把“Symplectic”翻譯為“辛”，介紹到中國(guó).

1834與1835年，哈密爾頓發(fā)表了兩篇著作，《論動(dòng)力學(xué)中的一個(gè)普遍方法》與《再論動(dòng)力學(xué)中的普遍方法》.在這兩篇論文中包含了他對(duì)分析力學(xué)的主要貢獻(xiàn).

哈密爾頓引進(jìn)了

后人將H稱為哈密爾頓函數(shù).將pi,qi稱為哈密爾頓的廣義坐標(biāo).

注意式中的自變量的變分是任意的，可得到

這便是以哈密爾頓函數(shù) H與哈密爾頓變量 p,q表示的運(yùn)動(dòng)方程.后人也將它稱為哈密爾頓方程.p,q決定的流形，也稱為相空間，顯然它是2m維的.

現(xiàn)在把式(21)寫成矩陣的形式，我們有

式中

這個(gè)式子中右端的矩陣就是式 (20)，就是說方程(21)的反對(duì)稱性質(zhì)和辛幾何中的二次型(19)的結(jié)構(gòu)是相同的.于是討論關(guān)于方程(21)的許多問題就和研究辛幾何的問題一致起來了.例如要在相空間進(jìn)行一個(gè)變換使它在新的相空間的方程仍然具有(21)的形式，就和辛空間的參數(shù)變換使得二次型(19)的形式不變是同一個(gè)問題.這樣的變換在力學(xué)中稱為正則變換，在辛幾何中稱為辛群.

哈密爾頓的力學(xué)系統(tǒng)與拉格朗日的力學(xué)系統(tǒng)的不同處在于，它是把原來的二階方程組化歸為一階方程組.對(duì)應(yīng)的幾何語言也有不同，考慮由廣義坐標(biāo)qi構(gòu)成的n維流形，還要考慮流形上每一點(diǎn)有一個(gè)由pi組成的n維切空間，它們的直積就構(gòu)成一個(gè)2n維流形，這樣的流形，稱為2n維纖維叢.如果在這個(gè)纖維叢上定義了一個(gè)2次外形式，這就是一個(gè)辛流形，并且定義了一個(gè)哈密爾頓函數(shù)H，則我們就構(gòu)成了一個(gè)辛流形上的動(dòng)力系統(tǒng).

哈密爾頓方程不僅是從形式上將拉格朗日的二階方程組變?yōu)橐浑A方程組，使它更易于求解，而且由于使它與辛幾何對(duì)應(yīng)，開辟了從研究辛幾何去獲得關(guān)于解的性質(zhì)的途徑.進(jìn)而它告訴我們，一切具有能量守恒的力學(xué)系統(tǒng)，或者說二階方程組都能夠化歸為哈密爾頓系統(tǒng)求解，近年來，有些學(xué)者將理想流體的歐拉方程組，化歸為哈密爾頓系統(tǒng)來研究，得到了一些新的結(jié)果.另外由于哈密爾頓系統(tǒng)具有守恒性質(zhì)，所以在對(duì)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行離散化數(shù)值計(jì)算時(shí)，要使差分格式的每一步都能夠保持反對(duì)稱性質(zhì)，或者說每一步都是保辛的格式，則計(jì)算精度會(huì)更好.

4 變換群與動(dòng)力系統(tǒng)

1637年,笛卡爾(Rene Descartes，1596—1650)發(fā)表《La G′eom′etrie》奠定了解析幾何的基礎(chǔ).從而產(chǎn)生了坐標(biāo)變換的概念.

1893年,李 (Marius Sophus Lie，1842—1899)出版了包含其九年研究成果的三卷書《Theorie der Transformationsgruppen》.奠定了李群也就是變換群的基礎(chǔ)[6].

1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因 (Felix Christian Klein，1849—1925)在論文《Vergleichende Betrach-tungenber neuere geometrische Forschungen》中提出以變換來區(qū)分非歐幾何的理論,后來被稱為Erlangen program(愛爾朗根綱領(lǐng)).他將歐氏幾何、羅巴切夫斯基非歐幾何以及狹義的黎曼非歐幾何等度量幾何都統(tǒng)一于射影幾何而成為射影幾何的特例.他將當(dāng)時(shí)的幾何，分為射影幾何、仿射幾何和歐氏幾何，這不同的幾何對(duì)應(yīng)于不同的變換群.并且稱：“給了一個(gè)流形和這個(gè)流形的一個(gè)變換群，建立關(guān)于這個(gè)群的不變性理論.”就是說，幾何學(xué)是研究變換群作用下圖形和形體的不變性質(zhì)的.這個(gè)思想成為后來幾何學(xué)發(fā)展的綱領(lǐng).后來人們引進(jìn)了空間的連續(xù)變換群，開辟了一種新的幾何：研究在連續(xù)變換群作用之下的不變的性質(zhì)的幾何成為一門新的幾何領(lǐng)域，這門新的幾何就是拓?fù)鋵W(xué).

在引進(jìn)了坐標(biāo)和時(shí)間的變換后，人們自然要討論在這些變換下，哪些力學(xué)量保持不變.于是人們定義了以下3個(gè)力學(xué)量:動(dòng)量m、角動(dòng)量mr×和能量.人們立即發(fā)現(xiàn)，這3個(gè)力學(xué)量分別在坐標(biāo)的平移、旋轉(zhuǎn)和時(shí)間的平移之下保持不變.這就是著名的力學(xué)中的三大守恒定律.

1904年羅倫茨(H.Lorentz，1853—1928)引進(jìn)了時(shí)間和空間變量的羅倫茨變換，在羅倫茨變換下，時(shí)空距離dx2+dy2+dz2-c2dt2是不變量.其中c是光速.羅倫茨變換在后來相對(duì)論的發(fā)展中起了非常重要的作用.

在研究了許多個(gè)別的不變量之后，人們需要從一般的觀點(diǎn)來討論變換和不變量.在力學(xué)問題被牛頓和拉普拉斯等人提為微分方程組之后，一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的變化可以用動(dòng)力系統(tǒng)=f(x),x,f∈Rn表述，設(shè)給定初值為x0，它的解是

這個(gè)解實(shí)際上給出了從x0到x的一個(gè)帶參數(shù)t的變換.李是系統(tǒng)研究這種變換的第一人.這個(gè)變換構(gòu)成了一個(gè)單參數(shù)變換群，也稱為單參數(shù)李群.

設(shè)g(x)為x的任一函數(shù)，一般來說如果

則g(x)就是在變換(22)之下的一個(gè)不變量.顯然這個(gè)條件是充分必要的，這是因?yàn)?/p>

進(jìn)一步講，力學(xué)中的各種定律和各種方程，都是講在一定條件或過程中的不變量.都可以統(tǒng)一納入不變量的理論中去討論.

從比較一般的觀點(diǎn)給出不變量的定義是,一個(gè)函數(shù)f(x)在變換群?(g,x)作用下稱為不變量，如果有

這個(gè)定義說明不變量在任何單參數(shù)群上保持常數(shù).在變換群中,最重要的一類群是給了 x點(diǎn)和y點(diǎn)，若有一個(gè)g使x變到y(tǒng)點(diǎn),即?g使y=?(g,x).

從變換的觀點(diǎn)來看問題，不僅動(dòng)力系統(tǒng)的任何第一積分可以看作不變量，連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的本構(gòu)關(guān)系，控制力學(xué)規(guī)律的各種方程也可以看作不變量.所以可以從不變量的角度來研究力學(xué)中的所有問題.例如，力學(xué)中量綱分析，實(shí)際上就是討論在時(shí)間、空間和質(zhì)量的度量單位變換下力學(xué)系統(tǒng)不變的性質(zhì).而度量單位的變換構(gòu)成一個(gè)變換群.

把這個(gè)思想提升到理論高度的是一位德國(guó)女?dāng)?shù)學(xué)家諾特(Amalie Emmy Noether，1882—1935)，她的結(jié)果被后人稱為諾特定理.這個(gè)定理是說：客觀運(yùn)動(dòng)每一種變換群作用下的不變性都對(duì)應(yīng)于一個(gè)物理量的守恒定律，反之亦然.上面說的不變量，可以推廣，把一個(gè)微分方程在變換之下不變，也可以稱為微分不變量.諾特定理說如果一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)在一個(gè)變換下不變，則這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)就存在一個(gè)守恒律.這個(gè)定律把找尋不變量的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)尋找變換群的問題.由此打開了20世紀(jì)整個(gè)理論物理研究的新局面.例如，力學(xué)系統(tǒng)在時(shí)間移動(dòng)之下的不變性，對(duì)應(yīng)于能量守恒定律，對(duì)于空間平移的不變性對(duì)應(yīng)于動(dòng)量守恒定律，對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換之下的不變性對(duì)應(yīng)于角動(dòng)量守恒定律等等.在電學(xué)中的電量守恒、量子力學(xué)中的宇稱守恒等等都對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的變換群作用之下的不變性質(zhì).20世紀(jì)對(duì)于基本粒子的探索，這個(gè)定律起到了舉足輕重的作用，所以有的物理學(xué)家說：“它是引領(lǐng)現(xiàn)代物理前進(jìn)的最重要的能夠和畢達(dá)哥拉斯定理相匹敵的數(shù)學(xué)定理.”

在力學(xué)中討論的許多變換中，還應(yīng)當(dāng)著重介紹的是勒讓德變換.

1787年，勒讓德 (Adrien-MarieLegendre，1752—1833)在蒙日關(guān)于最小曲面研究的啟發(fā)下，給出了勒讓德變換.勒讓德變換在力學(xué)和物理上的應(yīng)用，可以把作用量的自變量換成與原來變量對(duì)偶的變量.由此就可以發(fā)展出一系列的另外的作用量和運(yùn)動(dòng)方程的新的表述形式.

勒讓德變換是從以下偏微分方程出發(fā)的

其中若令?z/?x=p,?z/?y=q，再令R,S,T僅是p,q的函數(shù).令曲面z=f(x,y)的切平面為

則應(yīng)當(dāng)有

式(25)在變量x,y與它們的對(duì)偶變量p,q之間給了一個(gè)變換.把這個(gè)變換具體寫出來就是對(duì)它求微商得

考慮到上面變換的雅科比矩陣應(yīng)當(dāng)互逆，即

于是有

其中

這個(gè)變換把一個(gè)擬線性方程(24)變到一個(gè)線性方程(26).

把以上的思想推廣，設(shè)有n個(gè)變量q1,q2,···,qn的函數(shù)U=U(q1,q2,···,qn)，它具有直到二階以上的連續(xù)微商，取新的一組變量它們組成對(duì)原變量q1,q2,···,qn的一組變換其雅科比行列式

從式(28)可以把原變量反解出來得

考慮新函數(shù)

可以證明

兩個(gè)函數(shù)U和Uc的關(guān)系由式(30)給出.對(duì)應(yīng)的變量和函數(shù)的關(guān)系分別由式(28)和式(31)給出.它們概括了力學(xué)與物理中許多對(duì)偶關(guān)系.

在熱力學(xué)中，常見的自變量或狀態(tài)變量有T,S,p,v四個(gè)，即溫度、熵、壓強(qiáng)與體積.這四個(gè)變量之間兩兩對(duì)偶，前兩個(gè)之積和后兩個(gè)之積的量綱都是能量.用體積和熵為自變量表示的內(nèi)能U(S,v)，有

可以將自變量改變?yōu)榕c其對(duì)偶的量，于是得到和內(nèi)能同一量綱的三個(gè)熱力學(xué)函數(shù)F(T,v),H(S,p),G(T,p)，即亥姆霍茲自由能、焓、吉布斯自由能，它們和內(nèi)能之間的關(guān)系是

這些熱力學(xué)函數(shù)之間的關(guān)系恰好是勒讓德變換.所以，勒讓德變換實(shí)際上是在得到了一個(gè)不變量后，要得到對(duì)偶自變量下的相應(yīng)不變量的一個(gè)重要的變換.

變形能密度 δW=T:δΓ與余變形能密度δWc=Γ:δT之間有關(guān)系

它們都是勒讓德變換的實(shí)例.

在分析力學(xué)中，拉格朗日方程是

5 結(jié)語

以上所介紹的黎曼幾何、辛幾何、外微分以及相關(guān)的幾何概念和變換群理論，都是數(shù)學(xué)家從19世紀(jì)中葉開始到20世紀(jì)中葉近百年中發(fā)展起來的成果.這些成果最初對(duì)大多數(shù)物理學(xué)家和力學(xué)家都是不熟悉的.它們逐漸顯露出深入研究力學(xué)與物理的強(qiáng)大力量.一些經(jīng)典力學(xué)的內(nèi)容，用這些新的幾何語言重新進(jìn)行整理和加工，形成新的體系.于是到20世紀(jì)50年代以后，有一個(gè)逐漸向力學(xué)界和物理界傳播和普及的過程.這個(gè)過程的主要特征是出現(xiàn)了大量好的教材，和用這些新的幾何語言重新整理經(jīng)典的物理和力學(xué)理論的成果.這個(gè)趨勢(shì)被一些學(xué)者稱為“物理的幾何化”.

在數(shù)以百計(jì)的這類書中，有一本比較通俗的著作，這就是前蘇聯(lián)學(xué)者阿諾爾德 (Владмиргоревич Арнолъд，1937—2010)所寫的《經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法》，該書是作者1966—1968年在莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系數(shù)學(xué)專業(yè)3到4年級(jí)的講義基礎(chǔ)上寫成的.盡管有人評(píng)論這本書寫得像數(shù)學(xué)，由它不一定能夠?qū)W會(huì)力學(xué),不過它仍不失為一本好書.他把經(jīng)典力學(xué)的發(fā)展歸結(jié)為三步：牛頓力學(xué)相應(yīng)于歐氏幾何，拉格朗日力學(xué)相應(yīng)于黎曼幾何，哈密爾頓力學(xué)相應(yīng)于辛幾何.

作為結(jié)束，在力學(xué)的幾何化方面還應(yīng)當(dāng)提起兩件事：

一是愛因斯坦1915年提出的廣義相對(duì)論，它直接把引力歸結(jié)為空間的彎曲.認(rèn)為空間有了物質(zhì)分布，就會(huì)引起空間的彎曲，而空間的彎曲就對(duì)應(yīng)于引力.所以他引進(jìn)了引力場(chǎng)方程

這里gij是度量張量，Rij是Ricci曲率張量，R= Rijgij，λ是宇宙常數(shù)，G是萬有引力常數(shù).物質(zhì)場(chǎng)的能量動(dòng)量張量Tij滿足gij?jTik=0.

二是，以上幾節(jié)講的都是有限自由度的力學(xué)系統(tǒng)，近年來，人們逐漸把幾何方法推廣到無限自由度的連續(xù)體系統(tǒng)中.相應(yīng)地，把這些空間的概念拓廣到無限維空間.比較有代表性的成果是阿諾爾德等著的用微分幾何的觀點(diǎn)研究流體力學(xué)的專著[7],得到了一些新的結(jié)果.

可見，力學(xué)的幾何化，無論從教學(xué)還是從力學(xué)的基礎(chǔ)研究來看，都是一個(gè)值得關(guān)注的研究方向.

1阿諾爾德.經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法(第4版).齊民友譯.北京：高等教育出版社，2006

2武際可.談?wù)剬?duì)稱.科學(xué)網(wǎng)博文.http://blog.sciencenet.cn/blog-39472-781656.html

3武際可.從太極圖說起 —— 再談對(duì)稱.科學(xué)網(wǎng)博文.http:// blog.sciencenet.cn/blog-39472-786937.html

4武際可,黃克服.微分幾何及其在力學(xué)中的應(yīng)用.北京：北京大學(xué)出版社，2011

5武際可，王敏中，王煒.彈性力學(xué)引論(修訂版).北京：北京大學(xué)出版社，2001

6 Olver PJ.Applications of Lie Groups to Dif f erential Equations.New York:Springer-Verlag，1990

7 Arnold VI,Khesin BA.Topological methods in Hydrodynamics//Applied Mathematical Sciences. New York: Springer-Verlag,1998

(責(zé)任編輯:劉希國(guó))

GEOMETRIZATION OF MECHAINICS

WU Jike1)
(Departmemt of Mechanics and Engineering sciences，Peking University，Beijing 100871,China)

In the development of mechanics，the geometrization of theoretical systems of mechanics，is introduced.Dynaminc systems of mechanics reduced to Riemann geometry and Symplectic geometry are presented, the concepts of duel space,symmetry,transform,invariant,and there general applications in mechanics are introducd.

mechanics,geometrization,duel space,Riemann geometry,Symplectic geometry,transformation, invariant

O302

：Adoi：10.6052/1000-0879-17-181

本文于2017–05–11收到.

1)E-mail:wu jike@sina.com

武際可.力學(xué)的幾何化.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(4):323-332

Wu Jike.Geometrization of mechainics.Mechanics in Engineering,2017,39(4):323-332