朱遠(yuǎn)稼 李 力

(重慶市清華中學(xué) 重慶 400054)

求小振動(dòng)周期應(yīng)注意的一個(gè)近似處理

朱遠(yuǎn)稼 李 力

(重慶市清華中學(xué) 重慶 400054)

計(jì)算力學(xué)體系小振動(dòng)的周期，是物理競(jìng)賽中常見的問題.文獻(xiàn)[1，2] 分別用動(dòng)力學(xué)法和能量法討論如下“可動(dòng)懸點(diǎn)擺”的周期：如圖1所示，質(zhì)量為m的小環(huán)套在固定水平光滑桿上，小環(huán)又通過長(zhǎng)為l的輕繩與質(zhì)量為M的小球連接，證明此體系在小角度下的運(yùn)動(dòng)是諧運(yùn)動(dòng)，并求其周期.

圖1

更簡(jiǎn)捷、更程序化的推導(dǎo)方法是用分析力學(xué)的拉格朗日方程[3]求解：設(shè)廣義坐標(biāo)為m沿水平桿運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)x和M擺動(dòng)的角度θ，則

xM=x+lsinθ

yM=lcosθ

求得體系的動(dòng)能為

以水平桿為勢(shì)能零平面，則體系勢(shì)能為

V=-Mglcosθ

所以體系的拉格朗日函數(shù)為

L=T-V=

代入拉格朗日方程

整理得

(1)

(2)

在小角度條件下簡(jiǎn)化微分方程的這個(gè)近似處理用得很多，例如文獻(xiàn)[6]研究的競(jìng)賽題.

如圖2所示，一個(gè)質(zhì)量為M的槽放在水平光滑地面上，一個(gè)質(zhì)量為m，擺長(zhǎng)為l的擺球放在槽內(nèi)帶動(dòng)槽在水平面內(nèi)小角度振動(dòng)，球直徑恰等于槽左右壁距離，且擺球在最低點(diǎn)時(shí)也不和槽底接觸，槽內(nèi)壁光滑，求這個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)周期.

圖2 競(jìng)賽題題圖

文獻(xiàn)[6]用了4種方法，下面我們另用拉格朗日方程求解：設(shè)廣義坐標(biāo)為θ，則

體系動(dòng)能

勢(shì)能

V=-mglcosθ

拉氏函數(shù)

代入拉氏方程

整理后有

微分方程可簡(jiǎn)化為

解得

同文獻(xiàn)[6]的結(jié)果是一致的.

從上述兩個(gè)題目的研究可以發(fā)現(xiàn)，小角度條件下簡(jiǎn)化微分方程的這個(gè)近似處理很重要，同時(shí)也看到分析力學(xué)處理問題的優(yōu)越性——簡(jiǎn)捷而程序化.當(dāng)然，分析力學(xué)最重要的地方不在于此，而是對(duì)經(jīng)典物理和近代物理提供統(tǒng)一的表達(dá)形式，它是通向量子力學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、量子場(chǎng)論等領(lǐng)域的必經(jīng)之路.

1 韓娟,鄭修林,李春梅.探討無(wú)固定懸掛點(diǎn)單擺的周期.物理通報(bào),2009(4):2～5

2 李力.用能量法簡(jiǎn)捷推導(dǎo)可動(dòng)懸點(diǎn)單擺的諧運(yùn)動(dòng)周期.物理通報(bào),2012(9):129

3 梁昆淼，原著,鞠國(guó)興,施毅，修訂.力學(xué)(下冊(cè))理論力學(xué)(第4版).北京:高等教育出版社,2012.61～65

4 熊志權(quán).物理原來(lái)不能這樣考.成都:西南交通大學(xué)出版社,2012.51～52

5 《數(shù)學(xué)手冊(cè)》編寫組.數(shù)學(xué)手冊(cè).北京:人民教育出版社,1981.226

6 柯堯.賞析一道求振動(dòng)周期的競(jìng)賽題的多種解法.物理教師,2016(10):92～93

2017-01-08)