王 毅

(保定市第二中學 河北 保定 071000)

探究萬有引力定律的3種特殊應用

王 毅

(保定市第二中學 河北 保定 071000)

萬有引力定律是高中物理的一個重要規(guī)律，雖然教材篇幅較少，卻在歷年高考中常常作為重點考查內(nèi)容出現(xiàn)．萬有引力定律相關題目充分考查了學生分析問題、建立模型、數(shù)形結合、空間想象及應用數(shù)學解決物理問題的能力．相關題目還往往與太空探索、最新科技、最受關注的新聞熱點及愛國主義教育結合，非常符合高考命題方向．但學生對這部分考題往往不易把握，特別是一些特殊類型的應用學生不知如何入手．

對于萬有引力定律的一般應用可以概括為兩種，如表1所示.

表1 對萬有引力定律的兩種應用

這兩類問題很常見，學生也比較容易理解，經(jīng)過一定練習較容易掌握．

而一些特殊類型的應用不能用以上的方法輕易解決，需要調(diào)動更多的物理和數(shù)學知識以及更深入的邏輯思維能力，往往讓學生不知如何入手，成為了很多學生眼中的難題．下面就對萬有引力定律的3種特殊類型的應用作一總結歸納．

1 雙星和多星問題

雙星或多星互相環(huán)繞的情景在宇宙中非常常見，也是高考考查重點之一，但由于沒有一般應用中的“中心天體”，且萬有引力公式中的距離R和向心力公式中的軌道半徑r并不相等，導致學生常常答錯．

如圖1所示，雙星問題的幾個常用結論：

(1)對兩星均大小相等的物理量有萬有引力(向心力)、周期、角速度，即

F1=F2T1=T2ω1=ω1

(2)對兩星均與質(zhì)量成反比的物理量有軌道半徑、線速度、向心加速度，即

(3)若兩星體質(zhì)量分別為m1和m2，之間的距離為L，則互相環(huán)繞的周期為

圖1 雙星問題

進一步對于多星問題，基本關系是由萬有引力的合力提供向心力，同時注意由幾何關系確定軌道半徑．常見的是三星系統(tǒng)和四星系統(tǒng)，三星系統(tǒng)常見的有兩種形式.

形式一為3顆質(zhì)量相等的星體環(huán)繞中心運動，如圖2所示.若三星體質(zhì)量均為m，星體之間的距離為L，則對于任意一個星體核心關系式為

圖2 三星成正三角形的系統(tǒng)

形式二為兩顆質(zhì)量相等的星體環(huán)繞另一中心星體運動，如圖3所示.若兩星體質(zhì)量均為m，中心星體質(zhì)量為M，軌道半徑為r，則對于任意一個環(huán)繞星體核心關系式為

圖3 三星成直線的系統(tǒng)

對于四星系統(tǒng)，一般為4顆質(zhì)量相等的星體環(huán)繞中心運動，如圖4所示.若四星體質(zhì)量均為m，星體之間的距離為L，則對于任意一個星體核心關系式為

圖4 四星成正方形的系統(tǒng)

總之，對于雙星和多星問題需要引導學生分析清楚向心力的來源，注意區(qū)分星體距離和圓周運動軌道半徑的不同，結合運動示意圖和幾何關系細心求解．

2 橢圓軌道問題

典型應用：如圖5所示，衛(wèi)星a環(huán)繞地球勻速圓周運動，軌道半徑為r，周期可由萬有引力定律求出為Ta，另一衛(wèi)星b環(huán)繞地球做橢圓軌道運動，近地點近似為地球表面，遠地點為衛(wèi)星a軌道處，地球半徑為R，求衛(wèi)星b的周期．則可由開普勒第三定律得出

即可求解．

圖5 有衛(wèi)星做橢圓軌道運動

若問題變形為衛(wèi)星b的近地點高度為h1，遠地點高度為h2，則表達式相應調(diào)整為

仍可求解．另外，衛(wèi)星由遠地點運動到近地點所用時間為周期的一半，需要注意的是，橢圓軌道運動與勻速圓周運動不同，前者速率并非保持不變，所以并不是運行任意“半圈”所用時間都為周期的一半．

3 引力勢能問題及機械能問題

一個典型的應用是：推導第二宇宙速度的表達式．即從地表以某一速度發(fā)射物體，其運動到距離地球無窮遠處時，速度剛好減為零，把這一速度就稱為地球的第二宇宙速度(脫離速度)．由引力勢能的概念和機械能守恒定律可列表達式

即在地表發(fā)射時的動能和引力勢能之和等于飛到無窮遠處時的相應能量之和(均為零)．

另外，可以引導學生進一步思考推出環(huán)繞中心天體圓周運動的物體的機械能E表達式，即

利用該式可以解決一些本來只能定性理解的問題．例如：某一人造地球衛(wèi)星原來軌道半徑為r1，由于受到外層大氣阻力的作用，軌道半徑降低為r2，已知地球質(zhì)量M和衛(wèi)星質(zhì)量m及引力常量G，求阻力做功W阻為多少？則利用功能關系和機械能表達式可得

類似題目在多省市高考題中出現(xiàn)，是多數(shù)學生解題的難點之一．

以上就是對萬有引力定律的3種特殊應用所做的總結，在教學中可以引導學生分析和推導出相應結論，不僅方便應用結論解題，還能鍛煉學生的物理思維能力和數(shù)學運算技巧．

2017-02-15)