王迪+傅博

摘 要：輪廓波是一種有效的圖像多尺度變換工具，由于其包含更多的有效信息，并能更好地刻畫圖像細(xì)節(jié)，因而被廣泛應(yīng)用于圖像去噪領(lǐng)域。對(duì)非下采樣輪廓波變換后的噪聲系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，分析了不同強(qiáng)度噪聲圖像經(jīng)輪廓波分解后，噪聲系數(shù)在各方向子帶間的分布特點(diǎn)，提出了非局部貝葉斯閾值去噪方法。首先，最外層各個(gè)子帶進(jìn)行以模板為單位的自適應(yīng)Bayes閾值選取操作，并對(duì)相應(yīng)噪聲點(diǎn)進(jìn)行預(yù)處理；其次，對(duì)預(yù)處理后的分塊圖像進(jìn)行重構(gòu)；最后，對(duì)重構(gòu)圖像進(jìn)行非局部均值濾波處理。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法無(wú)論在視覺(jué)去噪效果還是客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)上都明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的硬閾值去噪方法，并且較傳統(tǒng)的非局部均值濾波也有所提高。

關(guān)鍵詞：輪廓波變換；自適應(yīng) Bayes閾值法；非局部均值濾波；硬閾值法

DOIDOI：10.11907/rjdk.171802

中圖分類號(hào)：TP317.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-7800（2017）007-0195-04

0 引言

現(xiàn)實(shí)中的大多數(shù)圖像都帶有噪聲，這是因?yàn)閳D像在采集、處理、傳輸?shù)冗^(guò)程中會(huì)不可避免地受到外部環(huán)境和內(nèi)部系統(tǒng)的干擾。圖像噪聲會(huì)給后期圖像特征提取、模式識(shí)別等更高層次的圖像處理帶來(lái)消極影響。因此，圖像去噪成為圖像預(yù)處理階段的重要任務(wù)之一。多年來(lái)，人們一直致力于尋找一種行之有效的去噪方法。

Contourlet變換是2002年M N Do和Vetterli M[2，4]提出的一種新的圖像二維表示方法，具有多分辨率、局部定位、多方向性、近鄰界采樣和各向異性等特性。由于其基函數(shù)分布于多尺度、多方向上，所以能有效捕捉到圖像中邊緣輪廓等重要信息，是經(jīng)典小波變換的一種改進(jìn)。Contourlet變換的基本思想從數(shù)學(xué)角度可以理解為使用類似線段的基函數(shù)逼近原始圖像，從而實(shí)現(xiàn)圖像的稀疏表示。進(jìn)行Contourlet變換首先要對(duì)圖像進(jìn)行多尺度分解，以便于檢測(cè)邊緣處奇異點(diǎn)，其次再將各尺度子帶進(jìn)行多方向分解，進(jìn)一步將奇異點(diǎn)信息轉(zhuǎn)化為Contourlet系數(shù)，然后在變換域上完成對(duì)圖像的去噪處理，最后進(jìn)行Contourlet逆變換。

基于Contourlet變換的圖像去噪方法通常采用硬閾值法。硬閾值法由Bruce和Gao提出，它雖然在一定程度上很好地保留了圖像邊緣等細(xì)節(jié)特征，但是硬閾值函數(shù)在頻域上不連續(xù)，而且其并未涉及系數(shù)間的相關(guān)性，導(dǎo)致重構(gòu)圖像出現(xiàn)局部振鈴和偽吉布斯效應(yīng)等現(xiàn)象。SG Chang等根據(jù)圖像小波系數(shù)基于廣義高斯分布的特點(diǎn)提出了一種較為理想的閾值確定方法，即Bayes閾值估計(jì)法。該閾值確定方法建立在小波系數(shù)的分布特性基礎(chǔ)上，可以有效地彌補(bǔ)硬閾值忽視系數(shù)相關(guān)性的不足。但它仍然存在許多局限性，比如估計(jì)的噪聲方差很難適用于子帶中的每一個(gè)窗口，并且較硬閾值法計(jì)算復(fù)雜度高等。

對(duì)于圖像去噪，硬閾值法和Bayes閾值法都是在頻域上對(duì)變換系數(shù)進(jìn)行處理，而由Buades提出的非局部均值濾波（Non-Local Means，NLM）是在空間域上對(duì)像素進(jìn)行處理。該方法擴(kuò)展了像素的局部相關(guān)性，認(rèn)為目標(biāo)像素不僅與周圍像素存在相關(guān)性，而且與整幅圖像的像素相關(guān)。對(duì)于任一個(gè)目標(biāo)塊，NLM在較大的鄰域范圍內(nèi)為其搜索對(duì)比塊并計(jì)算權(quán)值，通過(guò)對(duì)比塊的加權(quán)線性組合，獲得了比局部濾波更好的去噪效果，但是存在過(guò)平滑，以及增大搜索范圍后計(jì)算復(fù)雜度與時(shí)間復(fù)雜度過(guò)高的缺點(diǎn)。

鑒于Contourlet變換能多尺度、多方向地捕捉圖像邊緣信息和基于系數(shù)相關(guān)性的Bayes閾值估計(jì)以及非局部均值濾波相對(duì)徹底的去噪效果，本文提出一種基于輪廓波變換的非局部Bayes閾值去噪方法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法去噪效果明顯優(yōu)于硬閾值法和傳統(tǒng)的Bayes閾值法，另外較非局部均值濾波也取得了更高PSNR的去噪效果。

1 Contourlet 變換原理與噪聲系數(shù)分布特性分析

1.1 Contourlet 變換原理

Contourlet變換由M N Do和Vetterli M[4]于2002年提出。Contourlet變換的原理在數(shù)學(xué)上被描述為函數(shù)逼近，這是因?yàn)镃ontourlet包含了2的n次冪（n為正整數(shù)）個(gè)方向上的基函數(shù)，可以最大限度地逼近任一維光滑的輪廓曲線。圖1（a）為小波變換對(duì)輪廓曲線的表示，不同分辨率下的二維小波基具有不同尺寸的正方形支撐區(qū)間，說(shuō)明二維小波是用“點(diǎn)”來(lái)逼近輪廓曲線的。圖1（b）為Contourlet變換對(duì)輪廓曲線的表示，Contourlet的基具有長(zhǎng)方形的支撐區(qū)間，可以用最少的系數(shù)逼近輪廓曲線，最終用類似于輪廓段的基結(jié)構(gòu)線性地逼近原圖像[6，9]，可見(jiàn)Contourlet變換是小波變換的一種改進(jìn)。

Contourlet變換是用金字塔多方向?yàn)V波器組PDFB（Pyramidal Directional Filter Bank）將原始圖像分解成多尺度下多方向子帶圖像的變換[5]。PDFB由一個(gè)拉普拉斯塔型濾波器LP（Laplacian Pyramid）和一個(gè)多方向?yàn)V波器組DFB（Multi-Dirctional Filter Bank）疊加構(gòu)成[4-9]。Contourlet變換流程分為兩級(jí)：多尺度分解和多方向變換。如圖2所示為Contourlet變換流程，首先由LP變換對(duì)圖像進(jìn)行多尺度分解，將圖像的高頻和低頻信息分離開，其中高頻部分包含了大多數(shù)要捕獲的奇異點(diǎn)；然后再由DFB將高頻部分的圖像分解為不同方向上的帶通圖像，這時(shí)分布在同方向上的奇異點(diǎn)則合成一個(gè)系數(shù)。

1.2 圖像噪聲系數(shù)分布特性分析

在圖像去噪過(guò)程中，圖像噪聲系數(shù)的分布特性是決定去噪效果好壞的關(guān)鍵因素之一，選擇適應(yīng)噪聲系數(shù)分布特性的去噪方法會(huì)使去噪效果得到明顯改善。一幅含噪圖像經(jīng)過(guò)Contourlet變換后，噪聲變換系數(shù)（Contourlet coefficients）空間發(fā)生了變化，但是系數(shù)之間仍然保留著一定相關(guān)性，包括尺度內(nèi)相關(guān)性、尺度間相關(guān)性、尺度內(nèi)和尺度間同時(shí)相關(guān)性等[1，10]。因此，在去噪之前應(yīng)統(tǒng)計(jì)噪聲Contourlet系數(shù)的分布特性。文獻(xiàn)[10]中已經(jīng)統(tǒng)計(jì)，對(duì)經(jīng)高斯白噪聲污染的圖像進(jìn)行小波分解后，其噪聲的小波系數(shù)主要集中在細(xì)尺度子帶中，且約有96%的噪聲系數(shù)集中在最外兩層的子帶中。因此，對(duì)高斯噪聲圖像的Contourlet分解系數(shù)分布特性的研究可集中在外層子帶中，如圖3所示為Contourlet變換的系數(shù)表示。本次實(shí)驗(yàn)中，Contourlet多尺度分解的層級(jí)為3層，相應(yīng)地得到2的3次冪，即8個(gè)方向的子帶圖像。endprint

1.3 傳統(tǒng)基于Contourlet變換的圖像去噪法

在利用Contourlet變換去噪之前，首先要?jiǎng)?chuàng)建噪聲圖像。生成噪聲圖像通常采用加性噪聲模型[6]，即在原圖像上疊加隨機(jī)噪聲或高斯白噪聲。本文以不同強(qiáng)度的高斯白噪聲作為疊加噪聲進(jìn)行試驗(yàn)。模型公式如下：

其中，f（x，y）表示原圖像，g（x，y）為噪聲圖像，ε（x，y）為噪聲。

傳統(tǒng)的Contourlet去噪方法為硬閾值法，該方法將經(jīng)過(guò)Contourlet變換的Contourlet系數(shù)按照公式（2）分為兩類，其中C代表變換系數(shù)，Th代表事先選定的閾值。當(dāng)系數(shù)絕對(duì)值大于等于Th時(shí)，說(shuō)明這部分系數(shù)主要由噪聲等高頻信息變換而來(lái)，去噪時(shí)通常被舍棄；當(dāng)系數(shù)絕對(duì)值小于Th時(shí)，說(shuō)明這部分系數(shù)主要由原始圖像的低頻信息變換而來(lái)，去噪時(shí)通常被保留。

圖4是基于Contourlet變換的硬閾值法去噪效果圖，通過(guò)觀察圖像可以發(fā)現(xiàn)，硬閾值去噪能很好地保留圖像邊緣等細(xì)節(jié)特征的優(yōu)點(diǎn)，但是其缺點(diǎn)也顯而易見(jiàn)。由于硬閾值函數(shù)在閾值處不連續(xù)，導(dǎo)致重構(gòu)圖像信號(hào)產(chǎn)生震蕩，因此經(jīng)硬閾值去噪的圖像會(huì)出現(xiàn)局部振鈴和偽吉布斯效應(yīng)[6-7，16]。

為了克服上述缺點(diǎn)，并能在去除噪聲的同時(shí)很好地保留原始圖像的邊緣輪廓特征，本文提出一種既能保留圖像細(xì)節(jié)，又能達(dá)到相對(duì)徹底的去噪效果的方法——基于圖像Contourle變換的非局部Bayes閾值去噪方法。

2 基于Contourlet變換的圖像去噪方法改進(jìn)

本文對(duì)基于Contourlet變換的圖像去噪方法作了進(jìn)一步改進(jìn)，提出一種基于圖像Contourlet變換的非局部Bayes閾值去噪方法。該方法去噪過(guò)程大致為：①在變換域上對(duì)最外層子帶進(jìn)行自適應(yīng)Bayes閾值去噪；②將去噪以后的圖像塊進(jìn)行Contourlet逆變換；③將重構(gòu)的圖像塊進(jìn)行非局部均值濾波；④按上述操作依次完成對(duì)所有外層子帶的去噪處理。

2.1 自適應(yīng)Bayes 閾值法的圖像去噪方法

Bayes閾值法可以在一定程度上保留圖像邊緣等細(xì)節(jié)特征。本文在傳統(tǒng)Bayes閾值法的基礎(chǔ)上提出一種基于模板的自適應(yīng)Bayes閾值法，該方法的去噪原理是：在任一方向子帶中選取一定大小的模板，讓模板依次在子帶中移動(dòng)，每移動(dòng)一次計(jì)算得到一個(gè)閾值，并將模板內(nèi)的變換系數(shù)閾值化，直到將該子帶處理完畢。以下為Bayes閾值的求取方法：（1）用絕對(duì)中值法求取噪聲標(biāo)準(zhǔn)差[2-3，10]，如公式（3）所示，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σ=Med/0.674 5。

（2）采用公式（4）求取圖像的信號(hào)方差：

（3）用噪聲方差和信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)差求Bayes閾值[6，8，10-11]，如公式（5）所示。

2.2 空間域上的非局部均值濾波去噪方法

非局部均值濾波（Non-Local Means，NLM）是由Buades[13]提出的，該算法擴(kuò)展了像素的局部相關(guān)性假設(shè)，認(rèn)為目標(biāo)像素不僅與其周圍像素存在相關(guān)性，而且與整幅圖像的像素都相關(guān)。

非局部均值濾波的原理簡(jiǎn)單而言即它采用局部結(jié)構(gòu)相似性定義圖像像素間的差異，也即是當(dāng)前任一像素的像素值是由與它結(jié)構(gòu)相似的像素加權(quán)平均得到的。對(duì)于每個(gè)像素的權(quán)值，該算法采用以該像素為中心的子圖像塊與以當(dāng)前像素為中心子塊之間的高斯加權(quán)歐式距離來(lái)計(jì)算[12-14]。因此，非局部均值濾波可獲得相對(duì)徹底的去噪效果，不僅保護(hù)了圖像的結(jié)構(gòu)信息，而且使圖像看起來(lái)更平滑，大大提升了視覺(jué)效果。

2.3 本文改進(jìn)方法去噪過(guò)程

本文在自適應(yīng)Bayes 閾值去噪方法的基礎(chǔ)上又疊加了非局部均值濾波，具體步驟為：

Step1 將噪聲圖像進(jìn)行3層Contourlet分解。

Step2 選取16×16的模板M，依次選取最外層的每一條子帶，將模板M的左上角與該子帶的左上角相對(duì)應(yīng)，對(duì)模板大小的分塊按照上文中的式（3）～式（5）計(jì)算其Bayes閾值λ，并使用該閾值作去噪預(yù)處理。

Step3 按照從上至下、自左向右的順序在該子帶內(nèi)依次移動(dòng)模板（見(jiàn)圖5），直到該子帶處理完畢。

Step4 將Bayes預(yù)處理后的子帶進(jìn)行Contourlet逆變換。

Step5 對(duì)重構(gòu)的圖像塊進(jìn)行NL-Means處理，并轉(zhuǎn)向Step2，直到所有最外層子帶均處理完畢。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為驗(yàn)證改進(jìn)方法的去噪效果，本文選取了大小為512×512像素的Lena、barbara、peppers、liftingbody四幅標(biāo)準(zhǔn)圖像作為測(cè)試圖像，并將本文方法與傳統(tǒng)的硬閾值去噪法和Bayes去噪法在強(qiáng)度為20的高斯白噪聲下的去噪結(jié)果進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

峰值信噪比（PSNR）作為一種評(píng)價(jià)圖像質(zhì)量的客觀標(biāo)準(zhǔn)，具有很強(qiáng)的權(quán)威性，表2為噪聲強(qiáng)度分別為20、25、30的噪聲圖像經(jīng)過(guò)基于Contourlet變換的硬閾值去噪方法、基于模板的非局部自適應(yīng)Bayes閾值去噪方法以及非局部硬閾值去噪法和非局部Bayes閾值去噪法去噪之后的結(jié)果圖像與原始圖像的PSNR值。

3.2 分析與討論

分析表1和表2可以得到結(jié)論，在Contourlet變換中，Bayes閾值法的去噪效果低于硬閾值法，說(shuō)明在盡可能地保護(hù)圖像細(xì)節(jié)特征的前提下，Bayes閾值法的去噪能力較硬閾值弱；非局部硬閾值法的PSNR值低于非局部Bayes閾值法的PSNR值，說(shuō)明 Bayes閾值法比硬閾值法能更好地保護(hù)圖像細(xì)節(jié)，也說(shuō)明非局部均值濾波具有很強(qiáng)的去噪能力。此外，本文還計(jì)算了不同強(qiáng)度高斯白噪聲圖像直接采用NL-Means去噪的PSNR值，通過(guò)與本文方法所得到的PSNR值比較可知，本文算法既保護(hù)了圖像細(xì)節(jié)特征，又完成了較為徹底的噪聲去除，因而更適用于圖像去噪處理。這是因?yàn)樽赃m應(yīng)的Bayes閾值法具有保護(hù)圖像細(xì)節(jié)信息的能力，而非局部均值濾波方法的局部塊結(jié)構(gòu)相似性能有效地平滑圖像，也不會(huì)導(dǎo)致圖像失真，但是該算法的時(shí)間復(fù)雜度較直接NL-Means有所增加。endprint

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要提出了一種基于Contourlet變換的自適應(yīng)Bayes閾值結(jié)合非局部均值濾波的圖像去噪方法。首先介紹了Contourlet變換原理，分析了疊加高斯白噪聲的圖像經(jīng)變換后噪聲系數(shù)的分布特性，并在此基礎(chǔ)上指出了傳統(tǒng)硬閾值去噪的不足，提出了在子帶圖像中以模板為單位的自適應(yīng)Bayes閾值法，并嘗試疊加非局部均值濾波，最終取得了良好的去噪效果。目前，Contourlet變換已經(jīng)廣泛應(yīng)用于圖像的去噪、水印、特征提取、編碼、融合、檢索、增強(qiáng)等領(lǐng)域。本文基于Contourlet變換的圖像去噪改進(jìn)方法已經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)，且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)真實(shí)可信，是一種行之有效的圖像去噪方法。未來(lái)還需要在算法的時(shí)間復(fù)雜度及計(jì)算復(fù)雜度方面作進(jìn)一步優(yōu)化，以盡可能尋找出一種更有效、更便捷的圖像去噪方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] S GRACE CHANG，BIN YU，MARTIN VETTERLI.Adaptive wavelet thresholding for image denoising and compression[J].IEEE Transactions on Image Processing，2000 （9）：1532-1546.

[2] DONOHO D L，JOHNSTONE I M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Biometrika ，1994.

[3] DONOHO D L，JOHNSTONE I M.Ideal spatial adapt shrinkage[J].Biometrika，1994.

[4] MINH N DO，M VETTERLI.The contourlet transform：an efficient directional multiresolution image representation[J].IEEE Transaction on Image Processing to appear，2005，14（12）：2091-2106.

[5] MINH N DO，M VETTERLI.Pyramidal directional filter banks and curvelet[C].In Proceeding on Image Processing，Thessaloniki，Greece，2001：158-161.

[6] 李蓓蓓.Contourlet 變換及其在圖像降噪中的應(yīng)用[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2007.

[7] 徐華南，劉哲，胡鋼.Contourlet變換及其在圖像去噪中的應(yīng)用研究[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2009（2）：401-405.

[8] 楊帆.基于Contourlet變換的圖像去噪算法研究[D].北京：北京交通大學(xué)，2008.

[9] 戴維，于盛林，孫栓.基于Contourlet變換自適應(yīng)閾值的圖像去噪算法[J].電子學(xué)報(bào)，2007（10）：1923-1943.

[10] 傅博，王相海.一種基于細(xì)尺度小波系數(shù)相關(guān)性的圖像去噪方法[J].計(jì)算機(jī)科學(xué)，2008（10）：246-249.

[11] 劉慧，彭良玉.基于貝葉斯閾值的多小波基聯(lián)合去噪[J].微電子學(xué)與計(jì)算機(jī)，2012（7）：121-127.

[12] 吳振靜.基于小波和非局部均值的圖像去噪算法研究[D].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)，2011.

[13] 譚茹，李婷婷，李偉偉，等.圖像去噪的自適應(yīng)非局部均值濾波方法[J].小型微型計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，2014（1）：137-141.

[14] 王志明，張麗.自適應(yīng)的快速非局部圖像去噪算法[J].中國(guó)圖形圖像學(xué)報(bào)，2009，14（4）：669-675.

[15] 郭曉霞，楊惠中.小波去噪中軟硬閾值的一種改良折衷法[J].智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)，2008（6）：222-225.

[16] 周逸麗.基于Contourlet的圖像去噪方法研究[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2012.endprint