張曉燕

[摘 要] 根據(jù)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的需要，在學(xué)完一個(gè)單元知識(shí)后，開設(shè)相應(yīng)的單元復(fù)習(xí)課，將所學(xué)的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行有機(jī)地連貫，讓學(xué)生更為深刻地認(rèn)識(shí)本章節(jié)知識(shí)內(nèi)容的本質(zhì)屬性，從而形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，這對(duì)提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的能力會(huì)大有裨益。

[關(guān)鍵詞] 單元復(fù)習(xí)；思維訓(xùn)練；知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

一、問(wèn)題的提出

高中數(shù)學(xué)的單元復(fù)習(xí)課是將前面所學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單的回顧，還是通過(guò)大量習(xí)題來(lái)鞏固知識(shí)與技能？教師如何通過(guò)精心的設(shè)計(jì)及點(diǎn)評(píng)促進(jìn)學(xué)生對(duì)該章節(jié)的內(nèi)容的理解，進(jìn)而能融會(huì)貫通？上述問(wèn)題若沒(méi)有解決好，復(fù)習(xí)課或許就成為新授課的復(fù)制品，不但使學(xué)生易產(chǎn)生倦怠，而且也很難使學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上再上新的臺(tái)階。筆者認(rèn)為，復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)應(yīng)側(cè)重于歸類綜合，縱橫溝通，才能使知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)長(zhǎng)期根植于學(xué)生的腦海之中。

二、明確目標(biāo)，精心設(shè)計(jì)

系統(tǒng)掌握?qǐng)A錐曲線知識(shí)，對(duì)圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)、定性研究等方面進(jìn)行綜合復(fù)習(xí)。進(jìn)一步體會(huì)坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題，提升學(xué)生的思維能力和運(yùn)算能力。重點(diǎn)是知識(shí)梳理歸類，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，圓錐曲線的綜合應(yīng)用。該課以問(wèn)題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生梳理單元知識(shí)與方法，加強(qiáng)各知識(shí)點(diǎn)間的橫向聯(lián)系，將單個(gè)的知識(shí)連成串，結(jié)成網(wǎng)。著重引導(dǎo)學(xué)生尋找發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，指導(dǎo)學(xué)生用類比的方法研究圓錐曲線問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生舉一反三的學(xué)習(xí)能力。設(shè)計(jì)把課堂結(jié)構(gòu)順序調(diào)整過(guò)來(lái)，讓學(xué)生有效先學(xué)，課堂以探究體驗(yàn)為核心，展示交流為途徑，實(shí)現(xiàn)以學(xué)生為主體的學(xué)習(xí)模式。在教學(xué)之前教師精心準(zhǔn)備該課的典型例題，以該單元的內(nèi)容為切入點(diǎn)，從課前練習(xí)逐步深化到課中，讓學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上不斷地探究更深層次的內(nèi)容，以螺旋式上升的教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生掌握本章節(jié)知識(shí)與方法。

課前練習(xí)1、2

1.已知?jiǎng)訄AP過(guò)點(diǎn)，且與圓N：相切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。若改變圓N的半徑，使點(diǎn)M在圓N上或在圓N外，點(diǎn)P的軌跡方程是什么？

2.課本P28推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程過(guò)程中，有方程①，

②。將②式變形為③，再將③式變形為④。回答下列問(wèn)題：（1）你能解釋方程①、④的幾何意義嗎？（2）根據(jù)③式你能得到什么結(jié)論？從函數(shù)角度分析③式等號(hào)右邊的式子，你有什么發(fā)現(xiàn)？（3）方程④中的離心率e的范圍是時(shí)，它表示什么曲線？時(shí)，它表示什么曲線？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：回顧本單元已學(xué)的知識(shí)與方法是單元知識(shí)復(fù)習(xí)必不可少環(huán)節(jié)之一，第1題的目的是將知識(shí)與方法蘊(yùn)藏于問(wèn)題之中，避免了空洞的羅列概念，學(xué)生在思考解決問(wèn)題的過(guò)程中回顧相關(guān)知識(shí)、弄清概念、操練方法、積累經(jīng)驗(yàn)。

第2題引導(dǎo)學(xué)生理解性閱讀課本知識(shí)，將等式中蘊(yùn)藏的橢圓的定義、焦半徑公式、橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的取值范圍、圓錐曲線的統(tǒng)一定義等基礎(chǔ)知識(shí)一一尋找出來(lái)，讓學(xué)生感知各部分之間的聯(lián)系，從而使得學(xué)習(xí)內(nèi)容在學(xué)生心目中成為一個(gè)知覺(jué)整體。旨在將新授課中學(xué)習(xí)的零散知識(shí)串連，學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)得到系統(tǒng)梳理，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)成有機(jī)整體。

課前練習(xí)3

3.已知是圓錐曲線C的焦點(diǎn)，P為C上任一點(diǎn)，點(diǎn)。

（1）若曲線C的方程是，則PA+PF的最小值是__________；

（2）若曲線C的方程是，則PA+PF的最小值是__________；

（3）若曲線C的方程是，則PA+PF的最小值是__________。

變式：已知是橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上任一點(diǎn)，點(diǎn)，求PA+PF的最小值。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：練習(xí)3三道題形式類似，解法相同，課堂上指導(dǎo)學(xué)生觀察三個(gè)目標(biāo)式中PF的系數(shù)特征，點(diǎn)P在相應(yīng)準(zhǔn)線上的射影及點(diǎn)A與圓錐曲線的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生探究求PA+PF的最小值一般解法。反思將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為（d為點(diǎn)P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離）的目的是什么？將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn)A與定直線（與焦點(diǎn)F相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線）上的動(dòng)點(diǎn)距離的最小值，其幾何依據(jù)是點(diǎn)到直線的距離最短。

變式與練習(xí)3題型貌似相同，但目標(biāo)式中PF的系數(shù)不再為，類比前三題的解法，將PF轉(zhuǎn)化為到相應(yīng)的準(zhǔn)線距離已行不通，思維受阻！引導(dǎo)學(xué)生再思考練習(xí)1中目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為的目的，類比解決問(wèn)題的幾何本質(zhì)，解題思路就此打開！設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)P與橢圓內(nèi)兩定點(diǎn)A，F(xiàn)1距離之差的最小值，其幾何依據(jù)是三角形兩邊之差小于第三邊。

通過(guò)這一系列問(wèn)題的探討，對(duì)問(wèn)題的解決方法進(jìn)行歸類總結(jié)，不僅加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)理解，優(yōu)化了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而且將圓錐曲線中的這類問(wèn)題與學(xué)生熟知的幾何原理聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生感到熟悉，能較快地使新知在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到附著點(diǎn)，知識(shí)融會(huì)貫通，順利將新知納入到舊知結(jié)構(gòu)中，形成牢固的知識(shí)體系。

課前練習(xí)4

4.在△ABC中，，，直線AB，AC的斜率乘積為，求頂點(diǎn)A的軌跡。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：練習(xí)4是課本的一道習(xí)題，蘊(yùn)含豐富的教學(xué)功能。

功能之一：動(dòng)中有定的好素材。運(yùn)動(dòng)變化中尋求變化規(guī)律或定點(diǎn)、定值及某特定性質(zhì)是解析幾何研究的重點(diǎn)。若平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)，的連線的斜率分別是，，若為正常數(shù)，則點(diǎn)M在以A1，A2為頂點(diǎn)的雙曲線上；若為負(fù)常數(shù)，則點(diǎn)M在以A1，A2為頂點(diǎn)的橢圓上。反之，雙曲線上的點(diǎn)與兩頂點(diǎn)連線斜率之積為一正常數(shù)；橢圓上的點(diǎn)與兩頂點(diǎn)連線斜率之積為一負(fù)常數(shù)。

功能之二：培養(yǎng)學(xué)生類比的思維模式。橢圓與雙曲線的學(xué)習(xí)有積極的相互遷移作用，研究橢圓（雙曲線）的某一性質(zhì)時(shí)，通過(guò)問(wèn)題的引領(lǐng)，學(xué)生會(huì)很自然的思考雙曲線（橢圓）中有沒(méi)有類似的結(jié)論。有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的類比思維模式，他們就能經(jīng)常利用一些簡(jiǎn)單的類比問(wèn)題的解答，逐點(diǎn)模仿求解，有時(shí)也可利用較簡(jiǎn)單類比問(wèn)題的方法或結(jié)果去思考解決問(wèn)題，往往達(dá)到事半功倍的效果。

功能之三：具有探究?jī)r(jià)值。橢圓上異于長(zhǎng)軸的點(diǎn)與長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)連線斜率之積為定值，與短軸兩端點(diǎn)連線斜率之積也是定值，由于長(zhǎng)軸與短軸的端點(diǎn)都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)與橢圓上的任一點(diǎn)連線斜率之積也是定值嗎？雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的任意兩點(diǎn)與雙曲線上的任一點(diǎn)連線斜率之積也是定值嗎？這種具有典型性、探究性、發(fā)散性的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷合情合理的觀察、思考、實(shí)驗(yàn)、推導(dǎo)的過(guò)程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力。

三、引導(dǎo)探究、注重思維訓(xùn)練

在實(shí)際教學(xué)中教師可采用以問(wèn)題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生展開探究性學(xué)習(xí)。以課前練習(xí)4為例。

問(wèn)題1：軌跡與軌跡方程的區(qū)別是什么？點(diǎn)A的軌跡是雙曲線上所有點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：辨別軌跡與軌跡方程的區(qū)別，以及培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。

問(wèn)題2：平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)，的連線的斜率之積是不為零的常數(shù)，請(qǐng)你給定一個(gè)常數(shù)，求出相應(yīng)的點(diǎn)M的軌跡方程。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：讓學(xué)生展示交流，發(fā)現(xiàn)當(dāng)給定的常數(shù)為正數(shù)時(shí)，M在以A1，A2為頂點(diǎn)的雙曲線上；當(dāng)給定的常數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，M在以A1，A2為頂點(diǎn)的橢圓上。

問(wèn)題3：根據(jù)討論，你有什么猜想？請(qǐng)驗(yàn)證你的猜想。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：滲透特殊到一般數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)、歸納、驗(yàn)證一般性的規(guī)律。

問(wèn)題4：平面直角坐標(biāo)系xOy中，是橢圓C：的左右頂點(diǎn)，M是橢圓C上異于的任一點(diǎn)，你有什么猜想？請(qǐng)驗(yàn)證你的猜想。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生反過(guò)來(lái)思考，培養(yǎng)逆向思維。

問(wèn)題5：平面直角坐標(biāo)系xOy中，是橢圓C：的上下頂點(diǎn)，M是橢圓C上異于的任一點(diǎn)，成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步的探索、思考做鋪墊。

問(wèn)題6：我們發(fā)現(xiàn)了，，與都是橢圓C的頂點(diǎn)，每對(duì)點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)有什么位置特點(diǎn)？對(duì)于橢圓上任意關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，成立嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

問(wèn)題7：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為橢圓上任一點(diǎn)，若MA，MB斜率都存在，則。寫出雙曲線中類似的結(jié)論，并判斷其真假。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：滲透類比的數(shù)學(xué)思想方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用類比的思維模式。

問(wèn)題8：（2011江蘇高考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k。

設(shè)計(jì)說(shuō)明：該復(fù)習(xí)課側(cè)重展現(xiàn)了知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值。使學(xué)生通過(guò)該課的學(xué)習(xí)不僅要具備良好的有觀察和歸納能力，也會(huì)在探究的過(guò)程中不斷地獲得新的體驗(yàn)，從而形成較好的應(yīng)用意識(shí)。

四、結(jié)語(yǔ)

本課通過(guò)對(duì)教材的挖掘，為學(xué)生搭建了探索型腳手架，將基本概念梳理復(fù)習(xí)及練習(xí)放在課堂之前，在課堂教學(xué)中主要以師生互動(dòng)、同伴協(xié)作和交流為主體，以學(xué)生的探究為主題，將學(xué)生知識(shí)的內(nèi)化放在首位，這對(duì)學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)將會(huì)產(chǎn)生積極的推動(dòng)作用。

（責(zé)任編輯：張華偉）