趙立新

[摘 要] 以直尺和三角板為道具，以熟悉的幾何圖形為載體，并輔之以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換手段衍生的一系列問題，能為學生動手實踐與操作聯(lián)想提供思考空間，也能提高學生的圖形運動變化、分類討論思想等綜合運用能力.

[關(guān)鍵詞] 直尺；三角板；變換；分類討論；創(chuàng)新

數(shù)學課程標準倡導學生“在生動具體的情境中學習數(shù)學”“在現(xiàn)實的情境中體驗和理解數(shù)學”. 因此，教師教學時應充分利用學生的生活經(jīng)驗，創(chuàng)設與學生生活環(huán)境密切相關(guān)且學生感興趣的問題情境，讓學生主動地進行觀察﹑實驗﹑猜測﹑驗證﹑推理與交流等數(shù)學活動. 而直尺和三角板是學生最常見的學習工具，以直尺和三角板為道具，以熟悉的幾何圖形為載體，并輔之以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換手段衍生一系列問題，能為學生動手實踐與操作聯(lián)想提供思考空間，也能提高學生對基本圖形性質(zhì)的掌握程度以及觀察、實驗、比較、聯(lián)想、類比、歸納的能力和圖形運動變化、分類討論思想等綜合運用的能力. 筆者改編了一道關(guān)于直尺和三角板的壓軸題，并進行適當難度分析和價值梳理，以此和大家探討關(guān)于中考復習有效性的問題，以便更好地提高數(shù)學教學有效性.

改編題 在平面直角坐標系里，有兩塊全等的直角三角形紙板ACD，BCD如圖1放置，使得AD，BD在x軸上，其中點C的坐標為（1，3），將一把直尺A′B′C′D′放置在該直角坐標系中，使直尺邊A′B′∥BC，交x軸于點E，交AC于點F，交過A，B，C三點的拋物線于點G（點G在x軸上方），直尺另一邊C′D′交x軸于點M，當點M與點A重合時，把直尺沿x軸向右平移，當點E與點B重合時，停止平移. 在平移過程中，△FME的面積與直尺平移距離的函數(shù)圖像如圖2所示.

（1）求出ME的長及拋物線的解析式.

（2）在直尺平移過程中，直尺邊C′D′上是否存在一點N，使點M，N，E，F(xiàn)構(gòu)成的四邊形是菱形？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

（3）如圖3所示，過點G作GH⊥x軸于點H，點Q和點R分別是HC，HB的中點，求出在直尺平移過程中，線段QR掃過圖形的面積；

評析 我們在平時的教學或中考復習中會發(fā)現(xiàn)學生對于圖像的分析能力總是有所欠缺，找不準分析的方向，不能對圖中所呈現(xiàn)的信息進行合理地分類探究，而當遇到雙圖像對應起來觀察時就更困難了，那么如何提高學生的識圖能力呢？特別是在中考復習時如何處理復雜圖形的分解、分類呢？筆者在畢業(yè)班教學多年，發(fā)現(xiàn)教學復雜幾何圖形時，要讓學生從最基本的條件出發(fā)，去發(fā)現(xiàn)、推導結(jié)論，一步一步地把每一個呈現(xiàn)的條件最大化挖掘，而不是把所有條件擺在一起尋找結(jié)論所需，這樣學生在各個擊破的前提下，其之間的聯(lián)系也就自然呈現(xiàn)了，也就較容易找到問題的根本所在. 比如第（1）問，全等的三角板放在坐標系里，能得到什么結(jié)論？學生能得到△CAB為等腰三角形，又由點C的坐標為（1，3），可以得到OD=1，CD=3. 再由直尺邊A′B′∥BC，得到△FME也為等腰三角形. 對直尺的兩種特殊位置關(guān)系所產(chǎn)生面積的分析，可以發(fā)現(xiàn)直尺未走時其面積為1，停止時其面積為3，從而可以求出答案. 在平時的課堂上講解和分析此類問題時，筆者總是用小步子的方式拋出問題，學生接招的難度明顯降低，而當把所有問題拋完（甚至還沒拋完，學生就發(fā)現(xiàn)剩余的結(jié)論就是我們所需要的）時，結(jié)論就出來了，所以小步驟講解幾何題的方法既可以提高學生學習幾何的興趣、信心，也能提高學生分析問題的針對性、連續(xù)性、完整性，還會提高中考幾何壓軸題的學習效率、復習效率.

評析 分類討論是中考壓軸題里的“?？汀?，幾乎每一份中考試卷里的壓軸題都有其蹤跡. 這類題的特點就是小題較多，且容易失分，常常會被同學們忽略，經(jīng)常忘記分類討論，或問題經(jīng)常討論不全，討論全了結(jié)果還不一定對. 而且，這類題往往陷阱比較多，一個不注意就會掉進出題陷阱中. 所以，這類題的出現(xiàn)可以考查學生對問題思路的清晰程度，對知識點的掌握程度，加強對這類題的訓練，可以提高解題效率，還可以培養(yǎng)學生的歸納總結(jié)能力和邏輯思維能力. 那么如何分類、精準討論呢？ 我們要有條理地對題目進行分類，比如該小題對菱形產(chǎn)生的情況進行分類. 由于ME的長度是固定不變的，以它為突破口，情況會有兩種：ME為對角線或邊. 值得注意的是，在列出所有需要討論的可能性之后，要仔細審查是否每種可能性都會存在，是否有需要舍去某些情況.

評析 《數(shù)學課程標準》中關(guān)于幾何直觀的描述有“借助幾何直觀可以把復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結(jié)果”“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮重要作用”. 在探究復雜幾何圖形時，分解步驟，尋找模型，是解決問題的關(guān)鍵所在. 當一副三角板放上去時，我們聯(lián)想到“K型”三角形相似，從而得以突破難點，所以在平時的教學和中考復習中，要注意設置一些含有常見的基本圖形的幾何試題，培養(yǎng)和訓練學生提煉數(shù)學模型的能力，以便在復雜的圖形中排除其他條件的干擾，迅速觸及問題的本質(zhì)，提高解題效率，強化解題基本技能.

“提供新材料、創(chuàng)設新情境、提出新問題”已成為近幾年中考數(shù)學試題設計的新特點，《數(shù)學課程標準》中明確指出：“學生學習要從自身已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型，并進行解釋與應用的過程，倡導學生主動參與、勤于動手、樂于探究. ”如果我們在平時的教學和研究中，多關(guān)注身邊學生熟悉的數(shù)學，多讓學生講解問題的由來，多研究數(shù)學知識最核心卻又最簡潔的那一點，數(shù)學就會成為學生喜歡學、喜歡探究、喜歡創(chuàng)新的一門課程.