羅裕凡，劉小蓉，朱淑雅，趙偉帆，李敏

(山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東 濟南 250014)

基于ARIMA模型的余額寶收益率的預測

羅裕凡，劉小蓉，朱淑雅，趙偉帆，李敏*

(山東師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，山東 濟南 250014)

選取2013年5月30日—2016年7月27日期間的余額寶收益率數(shù)據(jù),進行數(shù)據(jù)處理并建立ARIMA模型，從而預測出余額寶在2016年7月28日—2016年8月21日期間的收益率。通過實際結(jié)果與預測結(jié)果之間的對比，確定了在允許誤差范圍內(nèi)該模型的有效性。

余額寶；收益率；ARIMA模型

2013年6月，阿里巴巴集團和天弘基金合作在支付寶平臺上正式推出了余額寶，由于其操作的簡便性和相對較高的利潤而受到很多人的青睞。目前余額寶使用人數(shù)已達到2.6億，并成為我國市場上規(guī)模最大的貨幣基金。余額寶是互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展帶來的中國利率市場化的產(chǎn)物，因而受到了很多專家學者的廣泛關(guān)注。通過分析余額寶收益率的變化情況，并做出準確合理的預測，將有利于市場參與方做出自己的決策。王瑩[1]對余額寶的流動性、收益性及風險性進行綜合分析，并對投資者和余額寶自身提出相應建議。相對于銀行的活期存款利息，余額寶的收益率比較高，但是，張大海[2]認為將這兩者作比較是不恰當?shù)模⒎治稣f真正和余額寶業(yè)務相似的是銀行發(fā)行的短期貨幣基金以及開放式無固定期限理財產(chǎn)品。李恒等[3]從監(jiān)管層面、商業(yè)銀行、產(chǎn)品自身和客戶對余額寶業(yè)務的認知等多個方面對余額寶風險性作了研究。以上文獻都在定性方面對余額寶作了充分的分析，但是定量方面的研究并未涉及。另一方面，王雪飛等[4-9]基于自四歸積分滑動平均模型(auto-regressive integrated moving average model,ARIMA)[10]對中國鋼材市場價格、土建專業(yè)群人才需求、短期風速、商品住宅銷售價格、人口與醫(yī)療需求及中國人均糧食等方面做了有效的預測。本文將通過時間序列的方法,建構(gòu)ARIMA模型，對未來短期內(nèi)的余額寶收益率走勢進行預測。為了避免因余額寶收益率有時變化較大而帶來的誤差,本文選取每天的余額寶七日年化收益率作為研究對象,給出一個合適的預測模型來進行預測。

1 ARIMA模型相關(guān)介紹

ARIMA模型是一種常用的隨機時間序列分析模型，這種模型是Box和Jenkins提出的，所以又被稱為B-J模型[10]。這是一種精度相對較高的短期的時間序列預測方法，其基本思想表現(xiàn)為，即便構(gòu)成時間序列t的任意一組隨機變量存在具有不確定性的單個序列值，但是縱觀整個時間序列，其變化卻具有某種規(guī)律。根據(jù)這種思想，我們可以使用相應的數(shù)學模型近似地進行描述，進而建立數(shù)學模型，得到最小方差意義下的最優(yōu)預測。根據(jù)原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所含部分的不同，可以將ARIMA模型分成自回歸模型(auto-regressive model，AR)、移動平均模型(moving average model，MA)和自回歸移動平均模型(auto-regressive moving average model，ARMA)。MARIMA(p,d,q)稱為差分自回歸移動平均模型，其中AR代表自回歸，p代表自回歸項；MA代表移動平均，q代表移動平均項數(shù)；d代表時間序列成為平穩(wěn)時所做的差分次數(shù)。

如果時間序列yt是其前期值和隨機項組成的線性函數(shù)，即可表示為：

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+ut，

(1)

令Bk為k步滯后算子，即Bkyt=yt-k，則(1)式可表示成為：

yt=φ1Byt+φ2B2yt+…+φpBpyt+ut，

令

表示滯后多項式，則上述模型可簡化為：

如果時間序列yt是由其當期隨機誤差項和前期隨機誤差項組成的線性函數(shù)，即可表示為：

yt=ut-ξ1ut-1-ξ2ut-2-…-ξqut-q,

(2)

其中，ξ1,ξ2,…,ξq為實數(shù)，稱為移動平均系數(shù)，則yt是一個移動平均序列，相應的(2)式就是一個q階的移動平均模型，將其記作MMA(q)。

則(2)式可以簡化為：

yt=ξ(B)ut。

為了使AR過程和MA過程能相互轉(zhuǎn)化，即為可逆過程，就必須保證移動平均過程無條件平穩(wěn)。因此要求滯后多項式ξ(B)的根都在單位圓外。

如果時間序列yt是由其當期隨機誤差項，前期隨機誤差項和前期值組成的線性函數(shù)，即可表示為：

yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+ut-ξ1ut-1-ξ2ut-2-…-ξqut-q，

(3)

則該yt是一個自回歸序列，相應地，(3)式就是一個(p,q)階的自回歸移動平均模型，將其記作MARMA(p,q)。其中，φ1,φ2,…,φp是自回歸系數(shù)，ξ1,ξ2,…,ξq是移動平均系數(shù)。

引入滯后算子B，(3)式可以簡化為：

2 實證與預測

2.1 ARIMA模型預測的主要步驟

(1) 對序列的平穩(wěn)性加以判別。具體是根據(jù)時間序列的散點圖、自相關(guān)函數(shù)以及偏自相關(guān)函數(shù)圖，對序列的方差、趨勢進行檢驗。如果時間序列是平穩(wěn)的，直接建立ARIMA模型；否則，必須通過適當處理使其滿足平穩(wěn)性要求，具體過程是對于不平穩(wěn)的數(shù)據(jù)序列，因其具有一定程度的上升或下降的趨勢，那么數(shù)據(jù)需要進行差分處理，要保證處理之后的數(shù)據(jù)自相關(guān)函數(shù)值和偏相關(guān)函數(shù)值不顯著為0。

(2)建立相應的模型并進行參數(shù)估計，避免高階的MA模型或者包含高階移動平均項的ARMA。

(3) 進行模型檢驗，檢驗殘差序列是否為白噪聲。

(4)進行預測分析[11]。

2.2 數(shù)據(jù)

本文數(shù)據(jù)來源于天天基金網(wǎng)中的天弘余額寶貨幣終端，選取對象是2013年5月30日—2016年7月27日期間的余額寶七日年化收益率。我們使用ARIMA模型給出2016年7月28日—2016年8月21日這25天的余額寶七日年化收益率。

2.3 建模過程

2.3.1 一階差分單位根檢驗

對序列進行一階差分之后，可得到序列圖(圖1)，差分后的結(jié)果顯示圖像在零線上下波動，即模型的擬合值與實際值的變動較小，對此，我們可假定序列已經(jīng)達到了平穩(wěn)，接下來，為了探究其是否真的達到平穩(wěn)，還需要對其進行單位根檢驗。

圖1 一階差分后序列圖Fig.1 The sequence diagram after the first order difference

通過單位根檢驗，得出結(jié)果如表1所示，其中原假設一階差分有一個單位根，外生變量是常數(shù)，并且滯后長度是13，該值自動基于最大滯后長度是22的SIC準則。由表1可得，一階差分之后的序列t檢驗的統(tǒng)計量明顯小于各個顯著性水平提供的臨界值，所以可以得出，經(jīng)過一階差分之后的時間序列是平穩(wěn)序列[12]。

表1 一階差分后序列單位根檢驗結(jié)果

2.3.2 差分序列的相關(guān)性檢驗

因為純隨機序列不具有建模的必要性，所以為了避免一階差分后的序列呈現(xiàn)純隨機序列的情況，我們需要對差分后的序列做相關(guān)性檢驗，根據(jù)差分后的自相關(guān)系數(shù)來判定其是否為純隨機序列。進行一階差分之后，得出的自相關(guān)函數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)以及相關(guān)統(tǒng)計量的情況如表2所示。

表2 自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)結(jié)果圖

從表2中我們可以發(fā)現(xiàn)，自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的。綜上所述，該時間序列不是純隨機序列，因此有建模必要。

2.3.3 模型最優(yōu)判定

表3 模型定階原則

我們通過對2016年7月27日之前的數(shù)據(jù)進行一次差分之后序列的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)的分析，從一階差分的偏自相關(guān)函數(shù)中可以觀察到，在k=3以后的值都在置信區(qū)間內(nèi)，偏自相關(guān)函數(shù)很快趨于0，偏自相關(guān)函數(shù)呈拖尾狀態(tài)，因此可以確定p=3；從一階差分自相關(guān)函數(shù)可以觀察到，在k=5以后的值都在置信區(qū)間內(nèi)，自相關(guān)函數(shù)也很快趨于0，自相關(guān)函數(shù)呈拖尾狀態(tài)，因此可以初步確定q取5。在此基礎上我們建立MARIMA(3,1,5)模型，其中關(guān)于MARIMA(3,1,5)模型的相關(guān)參數(shù)和指標分別見表4和表5。

表4 MARIMA(3,1,5)模型的相關(guān)參數(shù)

表5 MARIMA(3,1,5)模型的指標

2.3.4 模型檢驗

進行參數(shù)估計后，模型的殘差序列還需要進行白噪聲檢驗，主要是檢驗其殘差序列是否屬于白噪聲序列[4]。如果殘差序列不屬于白噪聲序列，則還需對模型進行進一步的改進。我們對MARIMA(3,1,5)模型殘差的自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)進行置信區(qū)間檢驗，LM檢驗結(jié)果如圖2所示。

由圖2可以看出，殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)都處于置信區(qū)間內(nèi)，這說明殘差通過了白噪聲檢驗，可以用于預測。

2.3.5 模型預測

通過上述一系列的分析以及文獻[14]的理論知識，我們可以確定最佳擬合預測模型就是MARIMA(3,1,5)，圖3是預測結(jié)果與實際結(jié)果，即預測和實際收益率的對比圖。

圖2 殘差的LM檢驗Fig.2 LM test of the residual errors

圖3 預測結(jié)果與實際結(jié)果的對比圖 Fig.3 The comparison of the predicted results with the actual results

在表6中，我們給出了2016年7月28日—2016年8月21日期間每天的實際值、預測值以及其相對誤差，最大的相對誤差為1.146%，因此認為該模型是有效的。

表6 余額寶收益率預測結(jié)果與實際結(jié)果的對比圖

續(xù)表6

日期實際值預測值相對誤差/%2016?08?182．3672．3820．6342016?08?192．3632．3810．7622016?08?202．3602．3810．8902016?08?212．3592．3800．890

3 結(jié)論

本文使用的ARIMA模型，能近似地描述隨時間變化的序列，基本避免了由于其他經(jīng)濟原因帶來的誤差，因而本文的預測對象，即余額寶的收益率所組成的序列可以被有效地識別出來，從而建立相應的數(shù)學模型，通過研究時間序列的現(xiàn)在值和過去值，對未來值進行預測。

本文首先對余額寶收益率的原始序列進行一階差分，并通過相關(guān)函數(shù)來分析序列的平穩(wěn)性。其次，按照序列的不同性質(zhì)來選用最合適的模型，通過對模型的運用，可以對序列進行短期預測，并將其與實際情況進行誤差分析，結(jié)果表明，我們使用的模型預測效果可信。本文可為更多新型金融衍生品的風險函數(shù)研究提供參考價值。

[1]王瑩. 余額寶的流動性、收益性及風險分析[J]. 中國商貿(mào)，2013(35)：65-66.

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[3]李恒，郝國剛. 余額寶的風險及防范研究[J]. 時代金融旬刊，2014(5)：60.

[4]王雪飛，劉志偉. 基于ARIMA模型的中國鋼材市場價格預測[J]. 中國城市經(jīng)濟，2011，(1)：20-23.

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[12]王周偉，崔百勝，朱敏. 經(jīng)濟計量研究指導——實證分析與軟件實現(xiàn)[M]. 北京：北京大學出版社，2015.

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Prediction of the Yu Ebao yield based on ARIMA model

LUO Yu-fan, LIU Xiao-rong, ZHU Shu-ya, ZHAO Wei-fan, LI Min*

(School of Mathematics and Statistics, Shandong Normal University, Jinan 250014, China)

∶The research object of this paper is the yield of Yu Ebao. By selecting the yield data during May 30, 2013 to July 27, 2016, the ARIMA model was established for data processing, thus predicating the yield of Yu Ebao between July 28, 2016 and August 21, 2016. Finally, by comparing the actual results with the predicted results, the validity of the model within the allowable error range was determined.

∶Yu Ebao; prediction of the Yu Ebao yield ; ARIMA model

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.04.016

2016-10-31

教育部留學回國人員科研啟動基金資助項目(教外司留[2015]1098)

羅裕凡(1995—)，女，研究方向為信息與計算科學。

*通信作者，李敏。E-mail: liminemily@sdnu.edu.cn

O2.3

A

1002-4026(2017)04-0099-07