林麗華，曾劍守

（三明學院 信息工程學院，福建 三明 365004）

基于統(tǒng)計收斂意義下的Stolz定理的研究

林麗華，曾劍守

（三明學院 信息工程學院，福建 三明 365004）

利用數(shù)列的經(jīng)典收斂與統(tǒng)計收斂的極限理論，給出了在經(jīng)典收斂意義下的Stolz定理逆命題成立的條件，并得出了在統(tǒng)計收斂意義下數(shù)列｝數(shù)列斂散性的關系。

經(jīng)典收斂；統(tǒng)計收斂；Stolz定理

1951年，H.Fast[1]給出了統(tǒng)計收斂的定義之后，它就成為人們研究的熱點問題，不斷有學者對統(tǒng)計收斂做出進一步的研究和探討，出現(xiàn)了一系列相關的文章。經(jīng)過半個多世紀的發(fā)展，統(tǒng)計收斂已經(jīng)形成了一個龐大的理論體系，各種各樣的統(tǒng)計收斂多達幾十種。如1985年，J.Fridy[2]定義了與通常Cauchy列平行的統(tǒng)計Cauchy列和統(tǒng)計有界序列。1988年，J.Maddox[3]將統(tǒng)計收斂的研究領域進一步推廣到局部凸空間中。J.Connor，M.ganichew和V.kadets[4]在Bancah空間中類似地給出了統(tǒng)計收斂與弱統(tǒng)計收斂的定義。M.Mursaleen和H.H.O.Edely[5]介紹了雙序列統(tǒng)計收斂的概念。2005年，Richard，Pattersont和Ekrem Savas[6]介紹了雙序列雙Lacunary統(tǒng)計收斂等等。藍永藝研究了Banach空間中的統(tǒng)計收斂，得到了有界序列統(tǒng)計收斂必平均收斂，統(tǒng)計收斂必μ-統(tǒng)計收斂等結(jié)論[7]。劉軍霞等研究了隨機變量的收斂性，給出了統(tǒng)計收斂a.s.、統(tǒng)計依概率收斂概念[8]。程立新等研究了統(tǒng)計收斂的測度理論，證明了每個有限可加概率測度都可以唯一的分解為一個可數(shù)可加概率測度和一個統(tǒng)計測度，并證明了每個經(jīng)典統(tǒng)計測度都是連續(xù)型的等結(jié)論[9]。鞏增泰、張璐引入模糊數(shù)值函數(shù)統(tǒng)計收斂，一致統(tǒng)計收斂，等度統(tǒng)計收斂等概念，并討論了它們之間的相互關系以及其水平截函數(shù)之間的關系；以及得到測度有限的情況下，模糊數(shù)值函數(shù)統(tǒng)計收斂的Egorov定理和勒貝格定理[10]。程立新與鮑玲鑫給出了統(tǒng)計測度與統(tǒng)計收斂中最為一般的收斂形式——理想收斂之間的關系[11]。林麗華與鮑玲鑫利用幾何泛函分析和Banach空間理論，討論了Banach空間中統(tǒng)計測度收斂與超濾子收斂的關系[12]。鮑鈴鑫與官明友針對Lacunary統(tǒng)計收斂與經(jīng)典統(tǒng)計收斂的相容性問題,利用統(tǒng)計測度理論給出了Lacunary統(tǒng)計收斂與經(jīng)典統(tǒng)計收斂等價的充要條件[13]。雖然統(tǒng)計收斂已經(jīng)得到了廣泛的討論和研究，但統(tǒng)計收斂理論同經(jīng)典收斂理論相比，其基本理論尚未完全建立，有許多內(nèi)容值得進一步去研究。

在經(jīng)典收斂中，Stolz定理在研究數(shù)列極限的存在性與求極限這兩個核心問題，起著很大的作用，張麗婭通過幾個實例介紹了如何利用Stolz定理求解一些特殊的極限問題，并指了利用Stolz定理時注意的條件[14]；黃濤、申方給出并證明了Stolz定理的推廣形式，并說明了推廣形式的Stolz定理在證明L'Hospital法則、求待定型數(shù)列的極限、研究具有非線性遞推關系數(shù)列的漸近性等方面的應用[15]；王少英、劉文菡研究了Stolz定理的證明方法，并將Stolz定理推廣到函數(shù)極限的形式[16]。因此，如果在統(tǒng)計收斂意義下也有相應的Stolz定理，那么將為討論數(shù)列是否統(tǒng)計收斂提供了一種新方法，因此，本文研究Stolz定理在統(tǒng)計收斂中的推廣。

1 統(tǒng)計收斂定義及性質(zhì)

為了行文與讀者閱讀的方便，先給出本文中常見的符號說明。

A#表示集合A的勢；N+表示正整數(shù)集；｛xnk｝表示數(shù)列 ｛xn｝的子列。定義1[1]對于給定數(shù)列｛xn｝，l是一個常數(shù)。 如果對于?ε＞0，都有

則稱數(shù)列xn｛｝統(tǒng)計收斂于l，記為，有時記為 xn→l（s） （n→∞）。

下面給出統(tǒng)計無窮大量的概念。

定義2對于給定數(shù)列xn｛｝，如果對?G＞0，都有

則稱數(shù)列xn｛｝統(tǒng)計無窮大，記為

可知對?ε＞0，?N∈N+,當 n＞N 時，有| xn-l|＜ε，從而即證畢。

定理 2[17]數(shù)列{xn}統(tǒng)計收斂于 a 當且僅當存在 K={k1，k2，…，kn，…}?N+使得

容易證明，對于統(tǒng)計收斂有著與經(jīng)典收斂相類似的四則運算性質(zhì)，即

定理3[17]若則，其中 b≠0。

下面給出經(jīng)典收斂中的Stolz定理。

2 Stolz定理

定理4（Stolz定理）[18]若yn｛｝是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量，且（其中l(wèi)可以為有限數(shù),+∞ 與-∞），則

對Stolz定理的兩點說明。

注意到Stolz定理的逆命題不成立，例如取xn（-1)n，yn=n，則yn｛｝是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量，且，但結(jié)合數(shù)列yn｛｝的特征，補充數(shù)列｝是一有界數(shù)列的條件，則由的結(jié)論，即定理5。

定理5設yn｛｝是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量，且存在一個N0∈N+，使得當n＞N0時，有

因此

將上式同時除以yn-yn-1，可得

由已知條件當n＞N0時，有，從而，當 n＞N0時，有，于是，取 N=max{N0，N1}∈N+，當 n＞N 時，有

3 統(tǒng)計收斂意義下的 Stolz定理

由上述的定理5（Stolz定理），結(jié)合定義2容易得出如下結(jié)論。

定理6設yn｛｝是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量，且（其中l(wèi)可以為有限數(shù),+∞與

于是由定理 2 知，存在 N*={n1，n2，n3，…}?N+使得，其中。因此，對?ε＞0，存在 nN?N*，使?nk＞nN，有成立，因此可得，

由于｛yn｝是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量,因此｛ynk｝也是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量，此時不妨設 ynN＞0，于是

將上式不兩邊同除以ynk，得到

又 ｛ynk｝是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量，而yn是數(shù)列 ｛ynk｝中一確定的項，故當k充分大時，有N從而

同理，由 ｛ynk｝是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量，xn是數(shù)列 ｛xnk｝中一確定的項，故當k充分大時，有從而有

淑芬錫伯風情農(nóng)家樂由當?shù)剞r(nóng)戶于2013年創(chuàng)辦，是察布查爾縣孫扎齊鄉(xiāng)眾多農(nóng)家樂的一個縮影。該農(nóng)家樂地處錫伯民俗博物館旁，很多游客參觀完博物館時都會來到這里感受錫伯族的特色農(nóng)家小院。

這就證明了，存在 N*={n1，n2，n3，…}?N+，使得

因此?ε＞0，有

即有

注意到在統(tǒng)計收斂意義下，Stolz定理的逆命題也是不成立的。如取數(shù)列：

定理8設yn｛｝是嚴格單調(diào)增加的正無窮大量，且存在一個N0∈N+,使得當n＞N0時，有，其中 M∈（0,1），則當（其中 l可以為有限數(shù)，+∞ 與-∞），有

又由已知條件當n＞N0時，有，M∈（0,1），從而，當 n＞N0時，有

于是，取 N=max{N0，nN}∈N+，當 n＞N 時，有

這就證明了，存在 N*={n1，n2，n3，…}?N+，使得

［1］ FAST H．Surle convergence statistical［J］．Colloqium Mathematicum，1951，2（3）：241－244．

［2］ FRIDY J．On statisrical convergence［J］．Analysis，1985，5（4）：301－313．

［3］ MADDOX I J．Sequence spaces defined by a modulus［J］．Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society，1986，100（1）：161－166．

［4］ CONNOR J，GANICHEV M，KADETS V．A characterization of banach spaces with separable duals via weak statisrical contergencc［J］．Jour Math Ana Appl，2000，244（1）：251－261．

［5］ MURSALEEN M，EDELY H H O．Statistical convergence of double sequences［J］．J Math Anal Appl，2003，288（1）：223－231．

［6］ RICHARD，PATTERSON，EKREM SAVAS．Lacunary statistical convergence of double sequences［J］．Mathematical Communications，2005，10（1）：55－61．

［7］ 藍永藝．Banach 空間中的統(tǒng)計收斂［D］．廈門：廈門大學，2006．

［8］ 劉軍霞，劉衛(wèi)軍，林正嚴．隨機變量的收斂性［J］．浙江大學學報（自然科學版），2007，34（2）：132－135．

［9］ 程立新，藍永藝，林國琛，等．統(tǒng)計收斂的測度理論［J］．中國科學，2008，38（4）：450－468．

［10］ 鞏增泰，張璐．模糊數(shù)值函數(shù)的統(tǒng)計收斂一致統(tǒng)計收斂及等度統(tǒng)計收斂［J］．云南大學學報，2011，33（4）：383－396．

［11］ BAOLX，CHENGLX．Onstatixticalmeasuretheory［J］．Journal of Mathematical Analysis and Applications，2013，407：413－424．

［12］ 林麗華，鮑玲鑫．統(tǒng)計收斂與超濾子收斂的關系［J］．廈門大學學報（自然科學版），2014，53（4）：455－458．

［13］ 鮑玲鑫，官明友．統(tǒng)計收斂與 Lacunary 統(tǒng)計收斂［J］．福州大學學報（自然科學版），2015，43（6）：742－745．

［14］ 張麗婭．Stolz 定理的巧用［J］．天水師范學院學報，2008，28（2）：4－5．

［15］ 黃濤，申方．Stolz 定理的相關問題及應用探討［J］．天中學刊，2008，23（5）：12－15．

［16］ 王少英，劉文菡．Stolz 定理的證明和推廣［J］．新鄉(xiāng)學院學報，2009，26（4）：11－12．

［17］ SALAT T．On statistically convergent sequences of real numbers［J］．Math Slovaca，1980，30（2）：139－150．

［18］ 陳紀修，於崇華，金路．數(shù)學分析［M］．北京：高等教育出版社，2004：34－51．

（責任編輯：朱聯(lián)九）

Study of the Stolz Theorem on the Statistical Convergence

LIN Li-hua,ZENG Jian-shou
(School of Information Engineering,Sanming University,Sanming 365004,China）

By using the limit theory of classical convergence and statistical convergence,the condition of converse proposition about Stolz theorem in classical convergence is given,and the relationship of convergence and divergence between｝in the statistical convergence is obtained.

classical convergence；statistical convergence； stolz theorem

O171

A

1673-4343（2017）04-0001-07

10．14098 ／j．cn35－1288 ／z．2017．04．001

2017-02-08

三明學院科研基金項目（B08231Q）；三明學院教改項目（L1208/G)

林麗華，女，福建沙縣人，副教授。主要研究方向：Banach空間理論。