陳 鑫

(北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100192)

羅爾定理在微分方程邊值問題中的應(yīng)用

陳 鑫

(北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院, 北京 100192)

以一個變系數(shù)的4階線性齊次微分方程的邊值問題為例,根據(jù)所給邊界條件在不同的區(qū)間上多次使用羅爾定理證明所給區(qū)間內(nèi)有多個零點(diǎn),再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明該方程只有零解。對于已知邊界條件個數(shù)多于方程階數(shù)的線性齊次微分方程的邊值問題,給出了只有零解的一般性結(jié)論。最后,將羅爾定理推廣至n階導(dǎo)數(shù)的情形,亦可得到類似的結(jié)論,進(jìn)而,該方法可應(yīng)用于討論類似的n階(n≥2)變系數(shù)線性齊次微分方程的邊值問題。應(yīng)用羅爾定理討論線性齊次微分方程邊值問題的解,拓寬了微分中值定理的應(yīng)用范圍。

羅爾定理; 變系數(shù); 微分方程; 邊值問題; 數(shù)學(xué)歸納法

0 引 言

微分中值定理主要包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,它們是微分學(xué)中非常重要的基本定理,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的橋梁[1-2]。對于微分中值定理的探討,主要集中在定理的證明方法、結(jié)論的應(yīng)用以及推廣上[3-8]。微分中值定理被廣泛應(yīng)用于求極限、研究函數(shù)性態(tài)、證明恒等式和不等式、判定代數(shù)方程根的個數(shù)等方面。本文將以一個變系數(shù)的4階線性齊次微分方程的邊值問題為例,應(yīng)用羅爾定理討論其解的情況,即證明該類微分方程只有零解,并給出一個一般性的結(jié)論。這是羅爾定理在討論具有變系數(shù)的線性齊次微分方程解的方面的應(yīng)用,并且可以推廣至n階情形。

1 問題的提出

在研究偏微分方程的特征值問題時,通常需要求解常系數(shù)或變系數(shù)的線性齊次微分方程[9],有時會遇到齊次邊界條件的個數(shù)大于方程的階數(shù)的情形。

如果線性微分方程是常系數(shù)的,例如

可以寫出其通解

將邊值條件代入y(x),y′(x),y″(x)和y?(x)中,得到關(guān)于C1,C2,C3和C4的四元線性齊次方程組

C1+C2+C3+C4=0

C1-C2+iC3-iC4=0

根據(jù)線性齊次方程組解的性質(zhì)可知

C1=C2=C3=C4=0

從而y(x)≡0。

但如果方程是變系數(shù)的,則很難寫出通解形式,例如,考慮變系數(shù)的4階線性齊次微分方程的邊值問題:

(1)

其中:常數(shù)λ≠0;0

可以應(yīng)用羅爾定理證明該方程只有零解,即y(x)≡0。

2 結(jié)論的證明

因為y(0)=y(1)=0,所以由羅爾定理可知,至少存在1點(diǎn)ξ1∈(0,1),使得y′(ξ1)=0;又因為y′(0)=0,故至少存在1點(diǎn)ξ2∈(0,ξ1),使得y″(ξ2)=0,亦即u(ξ2)y″(ξ2)=0;而y″(1)=0,即u(1)y″(1)=0,所以至少存在1點(diǎn)ξ3∈(ξ2,1),使得(u(x)y″)′(ξ3)=0;再由(u(x)y″)′(1)=0,可知至少存在1點(diǎn)ξ4∈(ξ3,1),使得(u(x)y″)″(ξ4)=0。將其代入式(1)的第1個方程,可得

由于λ≠0,v(x)>0,故y(ξ4)=0,即y(x)在(0,1)內(nèi)至少有1個零點(diǎn)ξ4。

下面證明:如果y(x)在(0,1)內(nèi)有n個不同的零點(diǎn),則y(x)在(0,1)內(nèi)必有n+1個零點(diǎn)。

不妨假設(shè)

其中α1,α2,…,αn為y(x)在(0,1)內(nèi)的n個不同的零點(diǎn),加上邊界條件,則有

分別在區(qū)間(αi,αi+1),(i=0,1,2,…,n)上應(yīng)用羅爾定理,可得至少存在βi∈(αi,αi+1),即

滿足y′(βi)=0。又因為y′(0)=0,將上述過程應(yīng)用于y′(x),則存在γi,(i=0,1,2,…,n),滿足

使得y″(γi)=0,亦即u(γi)y″(γi)=0;而y″(1)=0,即u(1)y″(1)=0,進(jìn)一步可知,存在ηi,(i=0,1,2,…,n),滿足

使得(u(x)y″)′(ηi)=0。再由(u(x)y″)′(1)=0可知,存在ζi,(i=0,1,2,…,n),滿足

使得(u(x)y″)″(ζi)=0.將其代入式(1),可得

由于λ≠0,v(x)>0,故y(ζi)=0,即y(x)在(0,1)內(nèi)有n+1個零點(diǎn)。

由于y(x)滿足方程 (u(x)y″)″(x)=λ2v(x)y(x),而該方程的解是唯1的,所以y(x)≡0。

3 結(jié) 論

從上面的討論不難看出,對于一個形如(1)的變系數(shù)的線性齊次微分方程而言,如果已知的齊次邊界條件個數(shù)大于方程的階數(shù),則應(yīng)用羅爾定理可以證明方程只有零解。從羅爾定理應(yīng)用的角度來看,羅爾定理不僅可以應(yīng)用于討論代數(shù)方程的根的情況,而且還可以應(yīng)用于一類微分方程解的研究,羅爾定理的應(yīng)用范圍得到進(jìn)1步的拓寬。

另一方面,由上述問題的證明過程,可以得到如下推廣的羅爾定理。

定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]有直到(n-1)階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),在(a,b)內(nèi)f(n)(x)存在,對于[a,b]上滿足a1

這個推廣至n階導(dǎo)數(shù)情形的羅爾定理可應(yīng)用于討論類似(1)的n階(n≥2)變系數(shù)線性齊次微分方程的邊值問題。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 7版. 北京:高等教育出版社, 2014:125-126.

[2]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 2版. 北京:高等教育出版社, 1994:173-178.

[3]劉文武. 兩個微分中值定理證明中輔助函數(shù)作法探討[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識, 2005,35(8):242-247.

[4]王家軍. 微分中值定理的另類證明與推廣[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2008,24(3):169-171.

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[7]張武軍,魏保軍,張冬燕. 微分中值定理的應(yīng)用及推廣[J]. 高等數(shù)學(xué)研究, 2014(5):16-17.

[8]劉期懷. 微分中值定理的推廣形式[J]. 教育教學(xué)論壇, 2015(28):182-183.

[9]CHEN Xin,CHENTOUF B,WANG Junmin. Exponential stability of a non-homogeneous rotating disk-beam-mass system[J]. J Math Anal Appl, 2015,432(2):1243-1261.

Application of rolle theorem in boundary-value problem of ODEs

ChenXin

(School of Applied Science, Beijing Information Science and Technology University, Beijing 100192, China)

A fourth-order linear homogeneous ODE with variable coefficients is considered as an example and Rolle’s theorem is applied many times in different intervals according to different boundary conditions. The conclusion that there are more than one null points in the given interval combined with the mathematical induction proves that the ODE has only zero solution. A further conclusion is that the linear homogeneous ODE only has trivial solution if it has more homogenous boundary conditions than its order. Finally the extension of Rolle’s theorem to thenth derivative is presented, which can be used to deal with the similar nth-order linear homogeneous ODEs with variable coefficients (n≥2). Another application of Rolle’s theorem in boundary-value problem of ODEs makes the application range of the differential mean value theorems more wide.

rolle’s theorem; variable coefficients; differential equation; boundary-value problem; mathematical induction

2016-10-31。

國家自然科學(xué)基金青年基金資助項目(71501016); 北京市教委科研計劃項目(KM201511232018)。

陳 鑫(1978-),女,遼寧沈陽人,北京信息科技大學(xué)講師,博士。

1673-5862(2017)03-0353-03

G642

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.018