李奕彤, 蘇亞坤

(1. 渤海大學 數(shù)理學院, 遼寧 錦州 121013; 2. 渤海大學 大學基礎教研部, 遼寧 錦州 121013)

帶有混合時變時滯的不確定中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)

李奕彤1, 蘇亞坤2

(1. 渤海大學 數(shù)理學院, 遼寧 錦州 121013; 2. 渤海大學 大學基礎教研部, 遼寧 錦州 121013)

主要研究了帶有混合時變時滯的不確定中立型系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性問題。在原有單一時變時滯的基礎上增加了混合時滯,并且加入了不確定項。首先,選取恰當?shù)腖yapunov泛函,并在求導的過程中應用了Schur補引理和Newton-Leibiniz公式。再引入適當?shù)淖杂蓹嗑仃?為了方便,將結果以線性矩陣不等式的形式給出。然后,利用Matlab軟件中的LMI工具箱求解,得到相應數(shù)據(jù),并給出了帶有混合時滯的不確定中立型穩(wěn)定性判據(jù)。該方法的優(yōu)點在于使判據(jù)具有較小的保守性。最后,通過數(shù)值例子驗證了該方法的有效性和優(yōu)越性。

Lyapunov泛函; 混合時變時滯; 不確定; 自由權矩陣

0 引 言

時滯系統(tǒng)就是系統(tǒng)中一處或幾處的信號傳遞有時間延遲的系統(tǒng)[1-9]。而中立型時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)主要分為2類:時滯相關穩(wěn)定性判據(jù)和時滯無關穩(wěn)定性判據(jù)。因為時滯相關的保守性比時滯無關的保守性判據(jù)弱,所以對時滯相關的穩(wěn)定性分析通常需要構造出合適的Lyapunov泛函,而研究的熱點問題多歸結于如何降低所得結果的保守性。而時滯依賴穩(wěn)定性分析技術的發(fā)展主要集中在有效減小穩(wěn)定條件的保守性上。研究方法一般有模型變換法、自由權矩陣方法、積分不等式法、和時滯分割方法等。

本文在原有單一的變時滯中立系統(tǒng)的基礎上出現(xiàn)了混合時滯,通過使用自由權矩陣的方法,利用schur性質(zhì)和時滯相關方法中常用的Newton-Leibiniz公式,得到了該系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性判據(jù)。最后,仿真的例子成功的驗證了結論的有效性。

1 問題描述

考慮下面一個帶有混合時滯的不確定中立型系統(tǒng):

(1)

式中:x(t)∈Rn是狀態(tài)變量;τ1(t),τ2(t)>0代表時變時滯;τ:max(τ1(t),τ2(t));A,B,C是Rn×n的常數(shù)矩陣;φ(t)是初始變量,且滿足下列不等式:

(2)

(3)

其中:A(t)=A+ΔA(t),B(t)=B+ΔB(t);ΔA(t)和ΔB(t)表示具有時變特征的不確定參數(shù)矩陣,假設它們范數(shù)有界,且滿足如下關系:

(4)

式中:Ea,Eb是具有適當維數(shù)的常數(shù)矩陣;F(t)是一個有Lebesuge可測元的未知函數(shù)矩陣,且滿足不等式FT(t)F(t)≤I;I為適當維數(shù)的常數(shù)矩陣。

在引入主要結論之前,先給出4個引理:

引理1 假設D,S,F(t),其中F(t)滿足不等式F(t)TF(t)≤I,有下列不等式成立:

1) 對于任意的ε>0和向量x,y∈Rn,總有

2xTDF(t)Sy≤ε-1xTDDTx+εyTSTSy

2) 對于任意的ε>0,使得W-εDDT>0,總有

引理2 [schur性質(zhì)]線性矩陣不等式

式中:Q(x)=QT(x),R(x)=RT(x)和S(x)依賴于x,則上述不等式等價于:

ⅰ)R(x)<0,Q(x)-S(x)R-1(x)ST(x)<0;

ⅱ)Q(x)<0,R(x)-ST(x)R-1S(x)>0。

引理3 對任意的W∈Rn,W=WT>0,有下列不等式成立:

引理4 對具有適當維數(shù)的任意矩陣Q=QT,E,H,對所有滿足FT(t)F(t)≤I的矩陣F(t),矩陣不等式

Q+HF(t)E+ETFT(t)HT<0

的必要充分條件是對任意的常數(shù)ε>0,都有下述矩陣不等式成立

2 主要結論

證明 首先考慮如下系統(tǒng);

(6)

為了使問題簡化,令D1xt=xt-Cx(t-τ2(t))

構造如下Lyapunov-Krasovskii泛函:

(7)

則V(t)的導數(shù)為

(8)

根據(jù)引理3可得到如下不等式:

(9)

(10)

(11)

(12)

為了研究不確定中立系統(tǒng)Σ的魯棒穩(wěn)定性原則,分別以A+ΔA(t)代替A(t),B+ΔB(t)代替B(t)。則根據(jù)引理1,給定任意的ε1>0,則式(7)部分項可得到下列不等式:

2(D1xt)TPDF(t)[Eax(t),Ebx(t)]≤

(13)

由系統(tǒng)(1),并結合具有適當維數(shù)的自由權矩陣W1,W2,W3,下列零等式成立:

(14)

根據(jù)引理1,則式(14)中部分項可變?yōu)?/p>

2xT(t)W1ΔA(t)x(t)=2xT(t)W1DF(t)Eax(t)≤

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

綜合式(8)～式(20)可得

其中

3 數(shù)值例子

考慮帶有混合時變時滯的不確定中立型系統(tǒng)(1):

經(jīng)過求解線性矩陣不等式(5)可以發(fā)現(xiàn),當τm1=T1=0.34,τm2=T2=0.33時可允許的最大時滯上限為-0.173 3,系統(tǒng)仍是漸近穩(wěn)定的,這充分說明所提方法的有效性。

4 結 語

本文主要研究了帶有混合時變時滯的不確定隨機中立型系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題,使用自由權矩陣的方法,構造出一個新的Lyapunov泛函來推導不確定中立型時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。創(chuàng)新之處在于采取混合時滯,且混合時滯的導數(shù)不再受限制,最后給出了該系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性原則。

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Robust stability of uncertain neutral systems with mixed time varying delays

LIYitong1,SUYakun2

(1. College of Mathematics and Physics, Bohai University, Jinzhou 121013, China; 2. Department of the University Foundation, Bohai University, Jinzhou 121013, China)

This paper studies the mixture ofneutral systems with time-varying delays robust stabilization problem. On the basis of the original single time-varying delay,the mixed delay is added, and the uncertaintly is added. By selecting the appropriate Lyapunov function, the Schur complement lemma and the Newton-Leibiniz formula method are used in the derivation process. Reintroduce the free weighting matrix. For convenience, the results are given in the form of linear matrix inequalities. Finally, by using the LMI toolbox of Mablab software the corresponding data is got. The stability criterion with the mixture of neutral systems with time-varying delays is presented. The advantage of this method is that the criterion is conservative. Finally, one numerical example is given to illustrate the effectiveness of the proposed method.

Lyapunov function; mixed time varying delays; uncertain; free-weighting matrix

2017-01-02。

國家自然科學基金資助項目(61403043)。

李奕彤(1993-),女,遼寧黑山人,渤海大學碩士研究生; 通信作者: 蘇亞坤(1977-),女,遼寧朝陽人,渤海大學副教授,博士。

1673-5862(2017)03-0300-05

O231; TP273

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.008