劉玉忠, 尹玉娟

(1. 沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 沈陽 110036)

運(yùn)籌學(xué)與控制論

廣義切換系統(tǒng)的脈沖性質(zhì)及其穩(wěn)定性

劉玉忠1, 尹玉娟2

(1. 沈陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽 110034; 2. 遼寧大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 沈陽 110036)

廣義切換系統(tǒng)是一類重要的混雜動態(tài)系統(tǒng),有著廣泛的實(shí)際背景。研究了廣義切換系統(tǒng)由于非一致的初始條件引起的狀態(tài)跳變問題,同時(shí)討論了一致初始條件和非一致初始條件下廣義切換系統(tǒng)解之間的關(guān)系。廣義切換系統(tǒng)的每個(gè)子系統(tǒng)具有不同的代數(shù)約束條件,這類廣義切換系統(tǒng)的特點(diǎn)是在每一個(gè)切換時(shí)刻都有脈沖影響作用于系統(tǒng)。將標(biāo)稱切換系統(tǒng)的多李雅普諾夫方法應(yīng)用于該類帶有脈沖作用的廣義切換系統(tǒng),對每一個(gè)子系統(tǒng),引入類李亞普諾夫函數(shù)(Lyapunov-like Function),基于類李亞普諾夫函數(shù)和多李亞普諾夫函數(shù)方法,得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

切換系統(tǒng); 廣義切換系統(tǒng); 脈沖控制; 多李雅普諾夫函數(shù)

0 引 言

系統(tǒng)的穩(wěn)定性是切換系統(tǒng)研究的基本問題。近幾十年,切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到了許多學(xué)者的普遍關(guān)注[1-8]. 基于切換系統(tǒng)的特點(diǎn),多李雅普諾夫方法在研究切換系統(tǒng)穩(wěn)定性方面得到了廣泛地應(yīng)用。

多李雅普諾夫函數(shù)方法最早在文獻(xiàn)[1]提出.眾所周知,如果李雅普諾夫函數(shù)在切換時(shí)刻的值是減少的,那么切換系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在文獻(xiàn)[2]中引入了類-李雅普諾夫函數(shù),并且每個(gè)子系統(tǒng)的類-李雅普諾夫函數(shù)在激活的子系統(tǒng)左端值是減少的就能保證切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[6-7]推廣了上述結(jié)果,即允許李雅普諾夫函數(shù)的值在被激活子系統(tǒng)適當(dāng)?shù)摹霸黾印比阅鼙ＷC系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[8]引入了帶有松弛變量的切換李雅普諾夫函數(shù),給出系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件,該條件表示成易于求解的線性矩陣不等式的形式 (LMI).

廣義系統(tǒng)是一類更一般化并有著廣泛應(yīng)用背景的動力系統(tǒng),它大量出現(xiàn)在許多實(shí)際的系統(tǒng)模型中,例如電力系統(tǒng)、能源系統(tǒng)、航天工程、化學(xué)過程、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、社會系統(tǒng)和生物系統(tǒng)等[9-10]。本文將多李雅普諾夫函數(shù)方法應(yīng)用于具有脈沖作用的廣義切換系統(tǒng),把各子系統(tǒng)的代數(shù)約束描述為脈沖作用的廣義切換系統(tǒng),并給出系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

1 預(yù)備知識

1.1 初始狀態(tài)的描述

考慮廣義系統(tǒng)

(1)

這里:x(t)∈Rn是狀態(tài)向量;E,A∈Rn×n,B∈Rn×p是常矩陣。設(shè)rank(E)=q

若系統(tǒng)(1)是正則的,那么存在非奇異矩陣Q、P使得

這里:A1∈Rq×q;N∈R(n-q)×(n-q);I是單位矩陣,從而系統(tǒng)(1)受限等價(jià)于下面的系統(tǒng):

(2)

由式(2)得

(3)

顯然,如果N≠0,那么只要x2(0-)≠0,任意初始狀態(tài)均會對系統(tǒng)產(chǎn)生脈沖作用。下面只考慮沒有脈沖作用的情形,即N=0。

由式(3)和式(2)可得

(4)

因此

一般地,對任意的t0>0,可得到類似的結(jié)果,即

(5)

1.2 一致初始條件和非一致初始條件

(6)

2 穩(wěn)定性分析

考慮如下廣義切換系統(tǒng)

(7)

其中:σ(t):R+→Λ={1,2,…,m}是分段常值右連續(xù)的切換信號;x(t)∈D?Rn是狀態(tài);D是Rn空間上的子流形;Ei,Ai∈Rn×n是常矩陣。假設(shè)每個(gè)子系統(tǒng)(Ei,Ai)都是正則無脈沖的,rank(Ei)=r,并且存在矩陣Qi,Pi使得

(8)

考慮如下脈沖廣義系統(tǒng):

(9)

其中切換信號σ(t)及矩陣Pi同系統(tǒng)(7)。

定義2 設(shè)T是R+上嚴(yán)格增的序列,稱函數(shù)V:Rn→R+為廣義系統(tǒng)(E,A)的類-李亞普諾夫函數(shù),如果滿足下列條件:

2) V是(T)上單調(diào)非增的函數(shù)。.

利用上述類-李亞普諾夫函數(shù)可以得到下面的較少保守性的穩(wěn)定性條件。

定理 假設(shè)Vi是系統(tǒng)(Ei,Ai)的類-李亞普諾夫函數(shù), i=1,2,…,m,是所有切換序列的集合。對任意的S∈, i∈Λ, Vi是系統(tǒng)(Ei,Ai)在S|i上的類-李亞普諾夫函數(shù),那么系統(tǒng)(9)是穩(wěn)定的。

證明 不失一般性,僅證明m=2的情形。

注2 這個(gè)結(jié)果是文獻(xiàn)[2]中相關(guān)結(jié)果的推廣,文獻(xiàn)[2]中研究的廣義切換系統(tǒng)在切換時(shí)刻沒有狀態(tài)跳躍,然而在實(shí)際上,系統(tǒng)狀態(tài)在切換時(shí)刻前后受到不同的代數(shù)約束,往往會引起狀態(tài)跳躍。

3 結(jié) 論

本文研究了非一致初始條件引起的脈沖系統(tǒng)和廣義切換系統(tǒng)的狀態(tài)跳躍問題,利用多李雅普諾夫函數(shù)方法對該類系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,得到了系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。

[ 1 ]PELETIES P,DECARLO R A. Asymptotic stability of m-switched systems using Lyapunov-like functions[C]∥Proceedings of ACC, 1991:1679-1684.

[ 2 ]BRANICKY M S. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems[J]. IEEE Trans Automat Contr, 1998,43(4):475-482.

[ 3 ]LIBERZON D. Switching in systems and control[M]. Boston: Birkhauser Press, 2003.

[ 4 ]LIBERZON D,Morse A S. Basic problems in stability and design of switched systems[J]. IEEE Control Systems Magazine, 1999,19(5):59-70.

[ 5 ]BRANICKY M S. Stability of switched and hybrid systems[C]∥Proceedings of the 33rd IEEE Conference on Decision and Control, Lake Buena Vista, Florida, 1994:3498-3503.

[ 6 ]HOU L,MICHEL A N,YE H. Stability analysis of switched systems[C]∥Proceedings of 35thIEEE CDC, 1996:1208-1212.

[ 7 ]PETTERSSON S,LENNARTSON B. Stability and robustness for hybrid systems[C]∥Proceedings of 35th IEEE Conference on Decision and Control, 1996:1202-1207.

[ 8 ]DAAFOUZ J,RIEDINGER P,IUNG C. Stability analysis and control synthesis for switched systems: a switched lyapunov function approach[J]. IEEE Automat Control, 2002,47(11):1883-1887.

[ 9 ]DAIL Y. Singular Control Systems[M]. Berlin: Spring-Verlag, 1989.

[10]LEWIS F L. A survey of linear sigular systems[J]. Circuits systems signal process, 1986,5(1):3-36.

[11]SINCOVEC R F,ERISMAN A M,YIP E L,et al. Analysis of descriptor systems using numerical algorithms[J]. IEEE Trans Automat Contr, 1981,26(1):139-147

Impulsiveproperty of switched singular systems and its stability

LIUYuzhong,YINyujuan

(1. College of Mathematics and Systems Science, Shenyang Normal University, Shenyang 110034, China; 2. College of Mathematics, Liaoning University, Shenyang 110032, China)

Switched singular system is one of the important hybrid dynamical systems. In this paper the problem of state jumps due to inconsistent initial conditions is addressed for impulsive and switched singular systems. The relationship between the solution with inconsistent initial condition and the one with consistent initial condition is discussed as well. The switched singular systems of each subsystem with different algebraic constrain conditions is modeled by switched singular systems with impulsive effects on switching instants. Multiple Lyapunov function approach for normal switched systems is extended to the impulsive and switched singular systems. For each subsystem, the Lyapunov-like function is introduced and the sufficient condition for the systems to be stable is given based on the Lyapunov-like function and Multiple Lyapunov function.

switched systems; switched singular systems; impulsive control; multiple Lyapunov functions

2017-06-05。

遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目(L2014433)。

劉玉忠(1963-),男,遼寧新賓人,沈陽師范大學(xué)教授,博士; 通信作者: 尹玉娟(1964-),女,遼寧沈陽人,遼寧大學(xué)教授,博士。

1673-5862(2017)03-0296-04

TP13

A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2017.03.007