閆婷婷

(晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西晉中 030600)

一類帶有輸入率的SIR模型平衡點分析

閆婷婷

(晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西晉中 030600)

本文討論了一類具有輸入率的SIR傳染病模型，研究了其平衡點的穩(wěn)定性，并利用Bendixson判定法得到了一定條件下平衡點的全局穩(wěn)定性。

傳染病模型；平衡點；全局穩(wěn)定

本文研究如下模型：

(1)

其中，S(t)表示t時刻易感染者數(shù)量，I(t)表示t時刻患者數(shù)量，R(t)表示t時刻恢復(fù)者數(shù)量，a表示種群的輸入率，b表示種群的死亡率，c表示傳染率，d表示恢復(fù)率.

李建全[1]討論了如下既帶有接觸率又具有輸入率的SIR模型：

其中，S(t),I(t),R(t)含義同上，A表示對種群的總輸入率，a,b,c分別表示對易感類、染病者、恢復(fù)者的輸入比例.

β(N)滿足條件：β(N)>0,β′(N)≤0,[β(N)N]′≥0和[β′(N)]2+[(β(N)N)′]2>0.得到無病平衡點和地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定的充要條件.

Brauer F[2]討論了c=0,ε=0,β(N)為常數(shù)的情形，分析了這些情形下平衡點的穩(wěn)定性.

1 準(zhǔn)備知識

定義1 基本再生指數(shù)是指易感染者引入一個患者時所導(dǎo)致的新的感染者的平均值.

引理4(Routh-Hurwitz判定定理) 設(shè)一n次代數(shù)方程，

a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0,a0>0.

(2)

特別地，當(dāng)n=2時，Δ1=a1，Δ2=a1a2.

引理5(Lasalle不變集原理) 設(shè)y(t)滿足方程

(3)

引理6(Bendixson-Dulae判定定理) 設(shè)x(t)，y(t)滿足

(4)

2 主要結(jié)論及其證明

定理1 系統(tǒng)(1)的解是有界的.

證明 令N=S+I+R，則有

(5)

解常微分方程(5)得到

將S=N-I-R代入(1)，有

(6)

顯然，(6)式有如下的極限系統(tǒng)：

(7)

定理2 系統(tǒng)(7)的解是有界的.

證明 令V(t)=I(t)+R(t)，則有

(8)

又因I≥0，R≥0，故I，R有界.

下面分析(7)平衡點的類型.(7)的平衡點應(yīng)滿足如下方程組：

(9)

由于Δ1=b(2-R1),Δ2=-b2α(2-R1)(R1-1)，故由Routh-Hurwitz判據(jù)，當(dāng)1

下面考慮全局穩(wěn)定性.

=R1αI-αI-c(I+R)I

=(R1-1)αI-c(I+R)I

≤0.

定理5 當(dāng)1

3 結(jié)論

[1]李建全,張娟,馬知恩.一類帶有接觸率和輸入率的流行病模型的全局分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2004(4):359-367.

[2]BrauerF,VandenDrieecheP.Modelsfortransmissionofdiseasewithimmigrationofinfectives[J].Math.Biosci,2001(2):143-154.

[3]馬知恩,周義倉,王穩(wěn)地,等.傳染病動力學(xué)建模與研究[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[4]李海青.具有常數(shù)輸入和非線性傳染率的傳染病模型[D].臨汾:山西師范大學(xué),2010.

[5]何澤榮,雒志學(xué).一類帶接種和年齡結(jié)構(gòu)的流行病模型分析[J].工程數(shù)學(xué)學(xué)報,2003(2):41-45.

[6]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2002.

[7]王順慶.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)穩(wěn)定性理論與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

The Control Discussion for SIR Epidemic Models With Input Rate

YAN Ting-ting

(Jinzhong Vocational Technology College, Jinzhong Shanxi 030600,China)

In this paper, we discuss one class of SIR epidemic models with input rate, the stability of equilibrium is studied. Under some conditions, we obtain the global stability of equilibrium by Bendixson theory.

epidemic model; equilibrium point;global stability

2017-02-23

閆婷婷(1983- )，女，講師，碩士，從事控制工程研究。

O175

A

2095-7602(2017)08-0006-04