張振國(guó)，耿曉雯，劉 英，張 恒

（1.中原工學(xué)院 材料與化工學(xué)院，鄭州 450007；2.鄭州科技學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，鄭州 450064；3.鄭州大學(xué) 材料工程學(xué)院，鄭州 450052）

一維二組元聲子晶體結(jié)構(gòu)參數(shù)的傳遞矩陣法反演研究

張振國(guó)1，耿曉雯2，劉 英1，張 恒3

（1.中原工學(xué)院 材料與化工學(xué)院，鄭州 450007；2.鄭州科技學(xué)院 土木建筑工程學(xué)院，鄭州 450064；3.鄭州大學(xué) 材料工程學(xué)院，鄭州 450052）

采用聲傳遞理論及傳遞矩陣研究方法，從反問(wèn)題角度對(duì)無(wú)限周期一維二組元聲子晶體進(jìn)行理論研究和方法設(shè)計(jì)。從結(jié)構(gòu)參數(shù)角度進(jìn)行帶隙研究，并進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬。結(jié)果表明，可以從反演的角度對(duì)帶隙進(jìn)行研究，從結(jié)構(gòu)參數(shù)角度研究無(wú)限周期的帶隙，可以設(shè)計(jì)具有某個(gè)頻率范圍帶隙的聲子晶體隔聲構(gòu)件，從而為實(shí)際應(yīng)用開(kāi)辟一條新的途徑。

聲學(xué)；一維二組元聲子晶體；聲傳遞理論；反演；計(jì)算機(jī)模擬；結(jié)構(gòu)參數(shù)

在目前噪聲控制的研究中，隔聲依然是一個(gè)主要的方法，多層板、夾芯復(fù)合板等層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)依然是隔聲的主要應(yīng)用手段。截止到目前，對(duì)于層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)能夠進(jìn)行定量分析的波動(dòng)分析法以及能夠進(jìn)行定性分析的基于聲子晶體理論的傳遞矩陣法，均從正問(wèn)題角度進(jìn)行研究[1–9]，即已知層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)的材料物理因素(密度、聲速、阻抗、剛度等)和結(jié)構(gòu)因素（晶格常數(shù)、間距、組分比等），對(duì)隔聲量和帶隙進(jìn)行研究，目前在理論和應(yīng)用探索方面均取得較大進(jìn)展。

然而，工程中最需要的是根據(jù)某一個(gè)具體的噪聲環(huán)境進(jìn)行噪聲控制，設(shè)計(jì)出具有某個(gè)頻率范圍帶隙（最大隔聲量）的層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)隔聲構(gòu)件。即從反問(wèn)題角度，從帶隙或最大隔聲量所對(duì)應(yīng)的頻率出發(fā)，設(shè)計(jì)層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)。鑒于層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)涉及的物理因素與結(jié)構(gòu)因素參數(shù)很多，研究起來(lái)比較復(fù)雜。因此，可以先固定一些因素，如物理因素，從結(jié)構(gòu)參數(shù)的角度進(jìn)行研究。文中即從這一角度針對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行研究。

1 一維二組元聲子晶體的模型與仿真計(jì)算方法

以一維二組元聲子晶體，即由兩種材料組成的一維聲子晶體的研究為例，設(shè)兩種不同密度和聲速的材料A和B在x方向上交替排列，形成一維周期性復(fù)合材料結(jié)構(gòu)[10]，如圖1所示。

設(shè)該復(fù)合材料在各個(gè)方向均可無(wú)限擴(kuò)展，沒(méi)有邊界約束。a1和a2分別表示材料A和B在一個(gè)原胞周期中的厚度，a=a1+a2為晶格常數(shù)，兩種材料的密度分別記為ρ1、ρ2，材料A、B聲波縱波速度分別用c1、c2表示。

這里只研究聲波垂直入射的情況，波矢k與頻率f之間的色散關(guān)系，即能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算公式為

根據(jù)上述一維聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的計(jì)算公式，利用matlab編寫(xiě)出相應(yīng)的計(jì)算機(jī)程序，可以很方便地完成上述計(jì)算，并把計(jì)算結(jié)果繪制成波矢k與頻率f色散關(guān)系圖供分析對(duì)比。圖2為鋼和橡膠組成的一維聲子晶體型復(fù)合材料的能帶結(jié)構(gòu)。鋼和橡膠的材料常數(shù)如下：鋼中的聲速為5 960 m/s，密度為7 850 kg/m3；橡膠中的聲速為96 m/s，密度為1 300 kg/m3；聲子晶體的晶格常數(shù)為a=4 mm，組分比例為a1:a2=1。

圖2 鋼與橡膠組成的一維聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)

2 反演理論及公式的分析

已知一維聲子晶體的組元材料密度、聲速、晶格尺寸和材料組份，采用編制的計(jì)算程序，可以很方便地計(jì)算出聲子晶體的帶隙。然而，工程中最需要的是根據(jù)某一具體的噪聲環(huán)境中噪聲控制的需要，設(shè)計(jì)出具有某個(gè)頻率范圍帶隙的聲子晶體隔聲構(gòu)件。

2.1 理論分析

根據(jù)計(jì)算材料學(xué)的基本思路，應(yīng)用等步長(zhǎng)掃描法，給出一個(gè)可以把帶隙作為已知條件來(lái)設(shè)計(jì)有限周期聲子晶體型復(fù)合材料具體參數(shù)的方法。

已知一維聲子晶體聲波帶隙條件下問(wèn)題求解可歸結(jié)為求解方程

則上式變成cos(ka)=Φ(f)

(1)對(duì)于給定的聲子晶體，參數(shù)c1、ρ1、c2、ρ2、a、a1、a2已知，任給一個(gè)f值，由此式可計(jì)算出k值。cos(ka)為余弦函數(shù)，值域?yàn)閇-1，1]，由此必有條件成立。此時(shí)，聲波可以傳播，頻率f未在帶隙內(nèi)。

(2)任給一個(gè)f值，若有條件|Φ(f)|＞1成立，由于cos(ka)為余弦函數(shù),值域僅為[-1，1]，則解答無(wú)意義，聲波不可傳播，f在帶隙內(nèi)。

2.2 計(jì)算方法設(shè)計(jì)

根據(jù)以上理論分析，設(shè)計(jì)計(jì)算方法如下：

(1)計(jì)算目標(biāo)：給定一個(gè)頻率fb，設(shè)計(jì)一種聲子晶體型復(fù)合材料，使fb在其帶隙內(nèi)。

(2)計(jì)算方案設(shè)計(jì)：

1)輸入帶隙擬包含的頻率fb；

2)輸入聲子晶體材料常數(shù)c1、ρ1、c2、ρ2；

3)根據(jù)聲子晶體安裝空間尺寸L，確定聲子晶體周期數(shù)N和晶胞常數(shù)a。

L=Na

4)fb在帶隙內(nèi)的判據(jù)。

此時(shí)，對(duì)于任意一個(gè)x，x∈[ ]0，a，由上式的右邊可以計(jì)算出一個(gè)Φ(fb)的值來(lái)。

① 輸入0、a、h，其中h為步長(zhǎng)；

②x=0時(shí)，計(jì)算Φ(fb)，檢驗(yàn)是否大于1。如果是，則輸出x=0；

依此類推。

對(duì)于任一步掃描，檢查x=0+ih是否大于a。如果是，終止掃描。

如果整個(gè)數(shù)值范圍之內(nèi)都無(wú)法輸出x值，縮小h值后重新掃描。如果仍然無(wú)法輸出x值，只能更換材料，重新確定物理參數(shù)，再重新開(kāi)始掃描計(jì)算。

|Φ(fb)|小于1，說(shuō)明存在色散關(guān)系，存在相應(yīng)的Bloch波矢與其對(duì)應(yīng)；|Φ(fb)|大于1，說(shuō)明不存在色散關(guān)系，不存在相應(yīng)的Bloch波矢與其對(duì)應(yīng)。而|Φ(fb)|的數(shù)值取決于材料A的厚度x，即研究材料A的厚度x與Bloch波矢k的關(guān)系，即可以確定是否存在帶隙。當(dāng)對(duì)應(yīng)材料A的厚度x存在Bloch波矢k的值時(shí)，說(shuō)明處于通帶范圍，當(dāng)沒(méi)有對(duì)應(yīng)的值時(shí)，說(shuō)明處于帶隙頻率范圍。

3 復(fù)合材料設(shè)計(jì)實(shí)例

依然以鋼和橡膠組成的一維二組元聲子晶體型復(fù)合材料為例，來(lái)說(shuō)明怎樣用等步長(zhǎng)掃描法設(shè)計(jì)聲子晶體的帶隙。

如前所述，二種材料的物理參數(shù)均已知。取晶格常數(shù)為a=4 mm，材料A鋼厚度為x。設(shè)選擇的帶隙頻率分別為4 000 Hz和7 000 Hz。圖3和圖4即為根據(jù)上述算法得出的材料A-鋼厚度與Bloch波矢關(guān)系圖。

由圖3可知，在材料A的厚度范圍，均有相應(yīng)的Bloch波矢與其對(duì)應(yīng)，即|Φ(fb)|小于1。因此，對(duì)于晶格常數(shù)為a=4 mm的鋼和橡膠聲子晶體，在整個(gè)晶格常數(shù)可能的范圍內(nèi)，無(wú)法形成帶隙。

由圖4可知，在材料A的厚度范圍，既有相應(yīng)的Bloch波矢與其對(duì)應(yīng)，也有沒(méi)有對(duì)應(yīng)的，即|Φ(fb)|可以小于1，也可以大于1。因此，對(duì)于晶格常數(shù)為a=4 mm的鋼和橡膠聲子晶體，在材料A厚度為0.8 mm～2.9 mm的范圍內(nèi)，可以在7 000 Hz時(shí)產(chǎn)生帶隙。

圖3 4 000 Hz時(shí)材料A厚度與Bloch波矢關(guān)系圖

圖4 7 000 Hz時(shí)材料A厚度與Bloch波矢關(guān)系圖

4 復(fù)合材料能帶驗(yàn)證

根據(jù)圖3和圖4可知，當(dāng)材料A厚度為1.5 mm、材料B厚度為2.5 mm時(shí)，在4 000 Hz時(shí)不會(huì)產(chǎn)生帶隙，而在7 000 Hz時(shí)會(huì)產(chǎn)生帶隙。

這可以通過(guò)無(wú)限周期結(jié)構(gòu)傳遞矩陣法的模擬計(jì)算來(lái)驗(yàn)證。圖5為用傳遞矩陣法計(jì)算得到的鋼與橡膠組成的無(wú)限周期一維聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)圖。由圖5可知，在4 000 Hz時(shí)不會(huì)產(chǎn)生帶隙，而在7 000 Hz時(shí)會(huì)產(chǎn)生帶隙。

圖5 鋼與橡膠組成的一維聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)一維二組元聲子晶體，在從正問(wèn)題角度研究帶隙的基礎(chǔ)上，可以從反問(wèn)題角度對(duì)帶隙進(jìn)行研究。

從結(jié)構(gòu)參數(shù)角度進(jìn)行的研究表明，改變結(jié)構(gòu)參數(shù)，會(huì)獲得具有某個(gè)頻率范圍的聲子晶體帶隙。因此，可以根據(jù)某一個(gè)具體的噪聲環(huán)境，設(shè)計(jì)出具有某個(gè)頻率范圍帶隙（最大隔聲量）的層狀復(fù)合結(jié)構(gòu)隔聲構(gòu)件。

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Study on Bandgap of One-dimentional and Two-component Phononic Crystal Based on the Inverse Transfer Matrix Method

ZHANG Zhen-guo1,GENG Xiao-wen2,LIU Ying1,ZHANG Heng3
（1.College of Material and Chemical Engineering,Zhongyuan University of Technology,Zhengzhou 450007,China;2.College of Civil andArchitecture Engineering,Zhengzhou University of Science and Technology,Zhengzhou 450064,China;3.College of Material Engineering,Zhengzhou University,Zhengzhou 450052,China）

Based on sound transmission theory and transfer matrix method,the infinite periodic one-dimentional and two-component phononic crystals are studied in view of inverse problem.The computer simulations are carried out based on the structural parameters of the phononic crystal.The results show that the bandgap of the infinite periodic crystals can be studied in view of the inverse problem with structure parameters.The one-dimentional and two-component phononic crystal sound isolation components with the bandgap in a certain frequency range can be designed with this method.

acoustics;one-dimensional and two-component phononic crystal;theory of sound transmission;inverse problem;computer simulation;structure parameter

TB535

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.036

1006-1355(2017)04-0185-03+226

2016-08-15

河南省科技廳國(guó)際科技合作項(xiàng)目(144300510063，152102410071)；河南省教育廳基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(13A430120)

張振國(guó)(1969－)，男，長(zhǎng)春市人，博士，副教授。主要研究方向?yàn)槁曌泳w與噪聲控制。

耿曉雯，女，鄭州市人，碩士，講師。主要研究方向?yàn)榻ㄖ牧吓c噪聲控制。

E-mail:zhangzg1969@163.com