丁 闖，張兵志，馮輔周，任國春

（裝甲兵工程學(xué)院 機械工程系，北京 100072）

行星輪系動力學(xué)仿真分析與故障診斷

丁 闖，張兵志，馮輔周，任國春

（裝甲兵工程學(xué)院 機械工程系，北京 100072）

目前行星齒輪箱已經(jīng)在軍用和民用裝備中廣泛應(yīng)用，研究行星齒輪箱的故障診斷方法意義重大。為了研究行星齒輪傳動的故障機理，揭示其故障特征，本文建立了行星齒輪系統(tǒng)的動力學(xué)模型，研究了齒輪裂紋對齒輪嚙合剛度的影響，得出了齒輪正常、太陽輪裂紋和行星輪裂紋等三種狀態(tài)下系統(tǒng)的頻率特征，總結(jié)了故障特征頻率；最后試驗驗證了仿真結(jié)果的有效性，得出的故障特征頻率可用于行星輪系的故障診斷。

振動與波；行星輪系；動力學(xué)模型；嚙合剛度；裂紋損傷；特征頻率；故障診斷

由于行星傳動具有重量輕、體積小、傳動比大、承載能力強、傳動效率高等諸多優(yōu)點，因此已被廣泛應(yīng)用于作戰(zhàn)飛機、艦船、裝甲車輛、自行火炮及風(fēng)力發(fā)電和工程機械等軍用和民用裝備中。然而，在實際使用過程中，行星傳動箱不僅承受重載負(fù)荷，且運行工況復(fù)雜多變，行星傳動中的太陽輪、行星輪和齒圈等關(guān)鍵部件容易出現(xiàn)故障。而行星傳動作為傳動系中的關(guān)鍵系統(tǒng)，一旦出現(xiàn)問題沒有及時發(fā)現(xiàn)將導(dǎo)致嚴(yán)重的后果[1]。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對定軸齒輪箱故障診斷進(jìn)行深入研究，揭示了定軸齒輪箱故障的故障機理，提出一系列卓有成效的診斷方法，取得了豐碩的成果。然而行星齒輪箱的結(jié)構(gòu)不同于定軸齒輪箱，其一般由太陽輪、多個行星輪、齒圈、行星架等組成，通常齒圈固定，太陽輪繞中心軸旋轉(zhuǎn)，而行星輪不僅繞各自中心軸自轉(zhuǎn)，同時繞太陽輪中心軸公轉(zhuǎn)，行星排結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 行星排結(jié)構(gòu)

近年來，很多學(xué)者陸續(xù)對行星齒輪箱的故障診斷進(jìn)行研究，Kahraman等提出單級行星齒輪系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)模型，在考慮有限系統(tǒng)參數(shù)的情況下，得到系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)固有頻率方程[2]；Parker等建立有限元分析模型，采用半解析有限元列式來進(jìn)一步研究固有頻率和振動模態(tài)問題[3–4]；清華大學(xué)孫智民等通過建立封閉行星齒輪傳動系統(tǒng)的動力學(xué)計算模型，獲得系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和動載荷系數(shù)的頻域歷程[5]；宋軼民等揭示了3K-II型直齒行星齒輪傳動的固有特性[6]。從國內(nèi)外行星齒輪箱動力學(xué)建模方面的研究工作可見，現(xiàn)有的動力學(xué)模型是建立在很多假設(shè)基礎(chǔ)之上，而且只是對正常行星齒輪箱系統(tǒng)建模，缺乏對齒輪故障時的建模，因此不能準(zhǔn)確全面地反映實際行星齒輪箱的傳動特性。且有關(guān)研究還停留在初步階段，應(yīng)用尚不成熟。

以某型裝備行星變速箱某級行星排為對象，建立其動力學(xué)模型，揭示行星齒輪傳動典型故障機理，分析在太陽輪和行星輪出現(xiàn)裂紋故障時系統(tǒng)的振動響應(yīng)，在仿真結(jié)果的指導(dǎo)下得出行星輪系的故障頻率，最后通過試驗驗證故障頻率的正確性，使之可用于故障診斷。

1 行星輪系動力學(xué)建模

目前，建立的行星輪系動力學(xué)模型可分為數(shù)學(xué)模型、集中質(zhì)量參數(shù)模型和有限元參數(shù)模型三類[7]。集中參數(shù)模型建模簡單且最常見，在建模過程中，將各構(gòu)件簡化為集中質(zhì)量，構(gòu)件之間簡化為彈簧和阻尼，從而將整個系統(tǒng)簡化為經(jīng)典的振動系統(tǒng)[8]。集中質(zhì)量參數(shù)模型又可分為純扭轉(zhuǎn)振動模型和平移-扭轉(zhuǎn)耦合振動模型兩類。

Kahraman A于1994年發(fā)現(xiàn)，對齒輪傳動系統(tǒng)建模時，當(dāng)支撐剛度（軸承剛度、行星架剛度、齒圈剛度等）大于嚙合剛度的10倍時，使用純扭轉(zhuǎn)振動模型代替平移-扭轉(zhuǎn)耦合振動模型能達(dá)到較高的精度，滿足實用需求[9]。由于文中所搭建的行星輪系的支撐剛度遠(yuǎn)大于嚙合剛度的10倍，因此采用集中參數(shù)純扭轉(zhuǎn)模型，如圖2所示，系統(tǒng)部件包括：太陽輪、行星輪、齒圈及行星架，將齒輪嚙合視為彈簧和阻尼，每個部件只考慮扭轉(zhuǎn)方向的振動。

圖2中，Kspi、Krpi、Cspi、Crpi分別為太陽輪與行星輪、行星輪與內(nèi)齒圈之間的嚙合剛度和阻尼系數(shù)，θs、θpi、θc分別為太陽輪、行星輪和行星架的自轉(zhuǎn)角度，TD、TL分別為輸入扭矩和加載扭矩。

在實際運轉(zhuǎn)中，行星齒輪傳動以低轉(zhuǎn)速重載荷為主，陀螺效應(yīng)和離心力作用很小，此模型中不予考慮，根據(jù)拉格朗日方程，推導(dǎo)系統(tǒng)的純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)方程可得

圖2 行星齒輪傳動純扭轉(zhuǎn)模型

方程組中的第1個方程式由對太陽輪進(jìn)行動力學(xué)分析得到，第2個方程式由對每個行星輪進(jìn)行動力學(xué)分析得到，第3個方程式是將N個行星輪和行星架作為一個整體進(jìn)行動力學(xué)分析所得到的，行星輪與行星架之間的作用力為內(nèi)力，式中的為N個行星輪和將行星輪作為一個整體對于行星架旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動慣量，將行星輪和行星架作為整體進(jìn)行受力分析，此整體共受彈性嚙合力Pspi、Prpi、嚙合阻尼力Dspi、Drpi以及扭矩TL的作用，而彈性嚙合力主要由嚙合剛度、支撐剛度（軸承剛度、行星架剛度、齒圈剛度等）決定，由于支撐剛度遠(yuǎn)大于齒輪嚙合剛度，文中重點考慮齒輪嚙合剛度及其變化，將行星架等支撐部件作為剛性體。式中，Is、Ipi、Ic分別為太陽輪、第i個行星輪及行星架的轉(zhuǎn)動慣量，N為行星輪的個數(shù)，此處N=3，mpi為第i個行星輪的質(zhì)量，mpirc2為第i個行星輪相對于行星架旋轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動慣量。Pspi、Prpi、Dspi、Drpi分別表示太陽輪與行星輪、行星輪與齒圈之間的彈性嚙合力和嚙合阻尼力；rbc表示行星架的當(dāng)量半徑；rs、rpi分別為太陽輪和行星輪的基圓半徑。

式（1）中含有角位移坐標(biāo)，為了與彈性嚙合力和嚙合阻尼力建立關(guān)系，將角位移轉(zhuǎn)換為相對線位移，假設(shè)太陽輪和行星輪在嚙合線上的相對位移為xspi，行星輪與齒圈在嚙合線上的相對位移為xrpi，如圖3所示。

由圖3可知

圖3 太陽輪-行星輪和行星輪-齒圈嚙合

此時，彈性嚙合力Pspi、Prpi、嚙合阻尼力Dspi、Drpi可表示為

將式（2）和式（3）代入式（1）并簡化，系統(tǒng)動力學(xué)方程式（1）可表示為

Ms、Mpi、Mc分別為太陽輪、行星輪和行星架的等效質(zhì)量。

此行星齒輪傳動各部件的零件參數(shù)如表1所示。

2 裂紋故障對嚙合剛度的影響

在行星齒輪箱故障診斷中，齒輪齒根裂紋是一種常見的故障，若不及時發(fā)現(xiàn)，其將擴展成斷齒，將產(chǎn)生嚴(yán)重的后果。齒輪裂紋的故障識別一直是研究難點，研究齒輪裂紋故障診斷意義重大。因此，本文研究齒輪裂紋故障對系統(tǒng)響應(yīng)的影響。

在損傷齒輪的裂紋輪齒進(jìn)入嚙合周期時，在此周期內(nèi)的嚙合剛度和嚙合阻尼將發(fā)生變化，然而由裂紋引起的嚙合阻尼變化對于系統(tǒng)的響應(yīng)影響相對較小，因此重點考慮裂紋對嚙合剛度的影響[10–11]。

表1 行星齒輪系統(tǒng)參數(shù)

2.1 正常齒輪嚙合剛度

根據(jù)材料力學(xué)理論[12]，嚙合剛度和輪齒變形成反比，而在計算輪齒變形時，一般將齒輪輪齒作為懸臂梁處理，如圖4所示。

圖4 單齒懸臂梁示意圖

輪齒變形由輪齒彎曲變形、壓縮變形、剪切變形、接觸變形以及輪體扭轉(zhuǎn)變形組成[13]，可通過以下公式計算：

彎曲變形

式中u為輪齒的橫向彎曲變形；M(x)為作用在輪齒上的彎矩，M(x)=Fyx；E為齒輪材料的彈性模量；I(x)為輪齒截面的慣性矩，是x坐標(biāo)的函數(shù)。

壓縮變形

式中A(x)為輪齒的橫截面積。

剪切變形

式中G為剪切彈性模量，為彈性模量和泊松比；K為截面形狀系數(shù)，此處取為1.2[14]。

赫茲接觸變形

其中

式中F為嚙合力；W為齒寬；k1、k2為在嚙合線方向上從嚙合點分別到兩齒輪中心線的距離；ρ1、ρ2為嚙合齒輪的齒面在嚙合點處的曲率半徑。

使用Sainsot和Velex提出的公式計算基圓柔體變形

綜上可得，在力F的作用下，齒輪中心線與嚙合線交點A的總變形量為[12]

因此，輪齒任意位置i處的剛度可表示為

對于嚙合的一對齒輪，可作為兩個不同剛度的彈性元件串聯(lián)，其嚙合剛度為

在嚙合過程中，多對齒輪對嚙合可作為多個彈性元件并聯(lián)計算。

2.2 齒輪出現(xiàn)裂紋時的嚙合剛度

行星齒輪傳動系統(tǒng)在長期工作后，輪齒根部將產(chǎn)生疲勞裂紋，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)齒根出現(xiàn)疲勞裂紋時，在裂紋處，單齒懸臂梁的橫截面積發(fā)生改變，影響彎曲變形、壓縮變形及剪切變形，引起齒輪嚙合時的變形量發(fā)生變化，時變嚙合剛度也將改變，最終導(dǎo)致傳動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)發(fā)生變化[15]。圖5為齒輪輪齒裂紋示意圖，齒輪裂紋貫穿整個齒寬，裂紋可使用裂紋位置d、裂紋角度β以及裂紋深度D表示。

圖5 齒輪輪齒裂紋尺寸

由式（5）至式（11）通過數(shù)值方法計算得到，太陽輪輪齒裂紋故障狀態(tài)與正常齒輪的嚙合剛度對比如圖6所示。由圖6可知，輪齒出現(xiàn)故障時，系統(tǒng)的時變嚙合剛度將會明顯降低，且為周期非線性函數(shù)。

3 仿真分析

3.1 齒輪處于正常狀態(tài)時的系統(tǒng)響應(yīng)

設(shè)輸入軸的轉(zhuǎn)速為ni，在輸出端施加負(fù)載M。行星輪、太陽輪、行星架的轉(zhuǎn)頻及齒輪的嚙合頻率可通過下式計算[16]。

圖6 裂紋故障與正常齒輪嚙合剛度對比

輸入軸即太陽輪轉(zhuǎn)頻

行星架轉(zhuǎn)頻

行星輪轉(zhuǎn)頻

齒輪嚙合頻率

式中Z1為太陽輪的齒數(shù)，Z2為行星輪的齒數(shù)，Z3為齒圈的齒數(shù)。

設(shè)輸入轉(zhuǎn)速n1=1 200 r/min，將其代入式（12）至 式（15）中 ，可 得fs=20Hz，fH=3.33Hz，fp=5Hz，fm=333.3Hz。設(shè)驅(qū)動扭矩和負(fù)載扭矩分別為50 kN和100 kN，利用四階龍格-庫塔方法求解系統(tǒng)方程式（4）。圖7為齒輪處于正常狀態(tài)時系統(tǒng)的振動響應(yīng)的時域和頻譜圖。由頻譜圖可知，系統(tǒng)響應(yīng)以嚙合頻率及其倍頻Nfm（N=1,2,3…)為主。

圖7 齒輪處于正常狀態(tài)時系統(tǒng)振動頻譜

3.2 齒輪產(chǎn)生裂紋時系統(tǒng)響應(yīng)

設(shè)輸入轉(zhuǎn)速、輸入扭矩及加載扭矩均不變，太陽輪、行星輪齒根出現(xiàn)裂紋故障且裂紋位置d=5.6 mm、裂紋角度β=80°、裂紋深度D=1 mm。將裂紋參數(shù)代入嚙合剛度計算公式，并使用四階龍格-庫塔方法求解系統(tǒng)響應(yīng)，太陽輪出現(xiàn)裂紋、行星輪裂紋時振動信號的時域和頻譜如圖8（a）、圖8（b）所示。

由圖8可知，太陽輪和行星輪出現(xiàn)裂紋故障后，時域信號中出現(xiàn)了周期性的沖擊信號，且裂紋損傷信號在頻域中的嚙合頻率附近出現(xiàn)大量的邊頻。為了便于分析，求取兩者的包絡(luò)譜如圖9（a）、圖9（b）所示。

由圖9可知，當(dāng)太陽輪和行星輪出現(xiàn)裂紋故障時，包絡(luò)譜結(jié)構(gòu)的調(diào)制頻率發(fā)生了變化，太陽輪、行星輪裂紋故障對應(yīng)的故障頻率分別為N(fs-fH)和N(fp+fH)（N=1,2,3…）。

圖8 齒輪產(chǎn)生裂紋故障時系統(tǒng)的振動信號頻譜

圖9 齒輪產(chǎn)生裂紋故障時系統(tǒng)的振動信號包絡(luò)譜

4 試驗驗證

分別對行星齒輪箱齒輪處于正常狀態(tài)、太陽輪輪齒產(chǎn)生裂紋及行星輪輪齒產(chǎn)生裂紋三種狀態(tài)進(jìn)行故障模擬試驗[15]，試驗臺示意圖如圖10所示，其中行星齒輪箱中含有單一行星排，太陽輪為輸入，行星架為輸出。

圖10 行星齒輪箱試驗臺

試驗中，振動傳感器粘貼在行星齒輪箱的箱體上，齒輪箱輸入軸轉(zhuǎn)速即太陽輪轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，采集齒輪在正常狀態(tài)、太陽輪產(chǎn)生裂紋及行星輪產(chǎn)生裂紋時的行星齒輪箱振動信號數(shù)據(jù)，測試均在相同負(fù)載情況下完成。采集到三種狀態(tài)的振動信號時域圖和頻域圖如圖11所示。由系統(tǒng)的時域振動信號可知，系統(tǒng)存在一定的沖擊，但振動加速度的幅值明顯增大，由于噪聲及其他因素的影響，邊頻帶集中在嚙合頻率和其倍頻附近，故障信息并不明顯，故障頻率很難識別。

圖11 三種狀態(tài)振動信號的時域和頻域波形

對三種狀態(tài)信號求其包絡(luò)譜，結(jié)果如圖12所示。由包絡(luò)譜圖可知，在太陽輪發(fā)生裂紋故障和行星輪發(fā)生裂紋故障時，包絡(luò)譜中可以找到特征頻率分別為分別為仿真結(jié)果中的太陽輪故障頻率和行星輪故障頻率，而在齒輪處于正常狀態(tài)時的包絡(luò)譜中此特征頻率并不明顯。此結(jié)果驗證了仿真的有效性。

5 結(jié)語

建立行星齒輪箱的動力學(xué)模型，研究齒輪輪齒裂紋對剛度的影響，分析故障對系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響，得出以下結(jié)論：

（1）當(dāng)行星齒輪傳動中的齒輪出現(xiàn)裂紋時，齒輪的時變嚙合剛度周期性減小。

圖12 齒輪振動信號包絡(luò)譜

（2）太陽輪、行星輪出現(xiàn)裂紋故障時，系統(tǒng)的振動響應(yīng)將發(fā)生變化。太陽輪發(fā)生裂紋故障時，振動信號的包絡(luò)譜中將出現(xiàn)fs′=mfs±nfH（m,n=1,2,3…，）的頻率成分，該頻率為太陽輪轉(zhuǎn)頻的邊頻帶，變頻帶之間的距離為fH，即前文描述的太陽輪故障頻率；行星輪發(fā)生裂紋故障時，振動信號的包絡(luò)譜中將出現(xiàn)fp′=mfp±nfH（m,n=1,2,3…,）頻率成分，頻率為行星輪轉(zhuǎn)頻的邊頻帶，變頻帶之間的距離為fH，即前文描述的行星輪故障頻率。

（3）由于各齒輪的故障頻率不同，故而可根據(jù)故障頻率定位故障源。

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Dynamic Simulation and Fault Diagnosis of Planetary Gear Systems

DIND Chuang,ZHANG Bing-zhi,FENG Fu-zhou,REN Guo-chun
(Department of Mechanical Engineering,Academy ofArmored Force Engineering,Beijing 100072,China)

Nowadays planetary gearboxes have been widely used in military and civilian equipment.Study on fault diagnosis of planetary gearboxes is of important significance.In this paper,a dynamic model of the planetary gear transmission is built to study its fault mechanism and characteristics.The influence of the crack on the meshing stiffness is analyzed.The fault characteristic frequencies are studied under the three conditions,namely normal gear,cracked solar gear and cracked planet gear.Finally,the crack fault experiment is carried out on a test rig,and the results are employed to verify the correctness and effectiveness of the fault detection simulation.The provided feature frequencies can be applied to the fault diagnoses of planetary gear systems.

vibration and wave;planetary gear system;dynamic simulation;meshing stiffness;crack damage;feature frequency;fault diagnosis

TH212；TH213

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.028

1006-1355(2017)04-0144-06

2016-12-13

裝備預(yù)研基金資助項目（9140A27020115JB35001）

丁闖（1989－），男，河南省商丘市人，博士生，主要研究方向為行星齒輪箱狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷。

馮輔周，男，博士生導(dǎo)師。

E-mail:fengfuzhou@tsinghua.org.cn