衡 星，朱 翔，李天勻，王 迪

（華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074）

含裂紋功能梯度材料梁結(jié)構(gòu)的振動功率流特性分析

衡 星，朱 翔，李天勻，王 迪

（華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，武漢 430074）

功能梯度材料（FGM）梁在工程中應(yīng)用日益廣泛，而梁中裂紋的存在改變了局部剛度等特性，使得功能梯度材料梁的振動和波傳播特性發(fā)生改變。以含有張開型裂紋的功能梯度梁為對象分析其波傳播和振動功率流特性。利用轉(zhuǎn)動彈簧模型模擬裂紋，給出由裂紋引起的局部柔度表達(dá)式。建立無限長FGM歐拉梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程，采用波動法結(jié)合梁的連續(xù)條件計算得到FGM歐拉梁的振動特性，對無缺陷梁和裂紋梁的輸入功率流和傳播功率流進(jìn)行分析。討論了材料梯度指數(shù)、激勵頻率、裂紋深度和裂紋位置等信息與輸入功率流、傳播功率流之間的關(guān)系,為基于振動功率流的裂紋FGM梁的損傷識別提供理論基礎(chǔ)。

振動與波；功能梯度材料梁；裂紋；轉(zhuǎn)動彈簧；振動功率流

功能梯度材料（FGM）由是兩種（或多種）性能不同的材料通過連續(xù)的改變而組成的一種新型材料，材料的性能沿著厚度方向連續(xù)緩慢變化，它是一種非均質(zhì)的復(fù)合材料[1]，自功能梯度材料這一概念提出之后，功能梯度材料在制備、設(shè)計、應(yīng)用等方面受到廣泛關(guān)注。

功能梯度材料結(jié)構(gòu)中裂紋的存在將會影響結(jié)構(gòu)的剛度和阻尼等特性，并因此影響結(jié)構(gòu)的振動特性。梁結(jié)構(gòu)是工程中常見的結(jié)構(gòu)，近些年來許多學(xué)者對含有裂紋FGM梁的振動特性進(jìn)行了分析。Yang對含有裂紋的功能梯度梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由振動分析和屈曲分析，利用歐拉梁理論和轉(zhuǎn)動彈簧模型，分別對兩端固支、兩端簡支以及一端固支、一端簡支的含裂紋FGM梁進(jìn)行了數(shù)值分析，研究裂紋數(shù)量、裂紋位置、材料屬性、梁的細(xì)長比和支撐邊界對梁彎曲振動和屈曲的影響[2]。Yu利用p型有限單元法（p-FEM）對含裂紋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動分析并進(jìn)行了裂紋識別研究[3]。Aydin對含任意數(shù)量裂紋的FGM梁結(jié)構(gòu)自由振動進(jìn)行了分析計算[4]。Kitipornchai對含裂紋功能梯度Timoshenko梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行非線性振動分析[5]。Da對功能梯度材料梁進(jìn)行自由振動和強(qiáng)迫振動分析[6]。

振動功率流方法從能量角度出發(fā)，最早用于振動的評價及振動源和振動路徑的識別。嚴(yán)濟(jì)寬在文獻(xiàn)[7]中給出在簡諧激勵情況下功率流的表達(dá)式。近些年來，振動功率流方法也被用于損傷結(jié)構(gòu)的振動分析和損傷識別。Li通過振動功率流方法研究了含裂紋的無限長歐拉梁結(jié)構(gòu)的振動特性[8]。Zhu對含裂紋的無限長Timoshenko梁的振動功率流特性進(jìn)行研究，討論了裂紋位置、裂紋深度、激勵頻率與輸入功率流和傳播功率流之間的關(guān)系，并利用振動功率流方法對裂紋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別[9]。Huh利用振動功率流方法對裂紋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值分析計算，隨后利用振動功率流原理設(shè)計了一套實驗方法對裂紋梁進(jìn)行分析并進(jìn)行裂紋識別[10]。但是采用振動功率流方法分析含有裂紋的功能梯度材料梁的振動特性的文獻(xiàn)尚未見到。

文中基于振動功率流方法，對含裂紋的無限長FGM歐拉梁進(jìn)行振動特性計算和分析。首先利用轉(zhuǎn)動彈簧模型對裂紋進(jìn)行模擬，采用經(jīng)典梁理論建立無限長FGM歐拉梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程，利用波動法計算得出無限長FGM歐拉梁的振動特性。隨后分析材料梯度指數(shù)、激勵頻率、裂紋深度和裂紋位置對輸入功率流和傳播功率流之間的影響。

1 FGM梁理論模型

考慮一厚度為h，寬度為b的矩形截面FGM歐拉梁，如圖1所示（先不考慮梁中的裂紋），x為梁的長度方向，z為梁的厚度方向，在x=0位置施加一力F=F0eiωt。FGM材料屬性沿著梁截面厚度方向以指數(shù)形式變化。材料的楊氏模量E,密度ρ和剪切模量ν表達(dá)形式如下[2]

其中E0、ν0和ρ0是梁中面（z=0）處的彈性模量、剪切模量和密度值。E1和E2分別為梁上表面和下表面的彈性模量。β=h-1ln(E2/E1)是一個表示材料梯度變化的常數(shù)。由于泊松比μ對裂紋梁的應(yīng)力強(qiáng)度因子（SIF）影響有限，故認(rèn)為泊松比為常數(shù)[11]。

圖1 含裂紋的無限長FGM梁模型

根據(jù)Kirchhoff-Love理論，在梁中任一點位置處的軸向位移和橫向位移可表示為

其中u(x,t)和w(x,t)分別為梁截面中心點的軸向位移和橫向位移。對于平面應(yīng)變問題，可以得到正應(yīng)力N，、彎矩M和剪力Q[2,4]。

根據(jù)上述表達(dá)式，可以得到梁結(jié)構(gòu)的振動微分方程

2 完善梁的彎曲振動分析

考慮梁的簡諧振動，軸向位移和橫向位移可表示為

其中ω為圓頻率，為軸向位移，W(x)為橫向位移。

將式（5）和式（6）代入式（4），可以得到梁的橫向振動解為

梁的軸向位移解可表示為

其中A、B、C、D1、g0是方程的系數(shù)，這些系數(shù)可以通過梁的邊界條件和連續(xù)性條件得到。

對于完善梁結(jié)構(gòu)，力的作用點位于x=0處，在力兩端，梁左右對稱，g1=0，g0=0。僅考慮沿著x軸正向傳播的波，則B=D=0，那么振動解形式可以簡化為[8–9]

現(xiàn)在x=0處施加一力F=F0eiωt，則連續(xù)條件可以寫為

根據(jù)以上表達(dá)式可以求解出方程的系數(shù)A和C，繼而可以得到完善無限長FGM歐拉梁的振動特性。

3 含有張開裂紋的FGM梁的彎曲振動分析

3.1 裂紋梁模型

現(xiàn)有一矩形截面梁，在梁上表面中含有一表面裂紋，裂紋距離坐標(biāo)x=0處的距離為c，裂紋深度為a。如圖1所示。

文獻(xiàn)[12]推出在彎矩、軸力、剪力和扭矩作用下?lián)p傷梁單元的柔度矩陣，并對損傷懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行彎曲振動分析，發(fā)現(xiàn)損傷引起的附加柔度矩陣中，彎矩引起的附加項占主導(dǎo)地位，因此可認(rèn)為彎曲項對結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)產(chǎn)生作用，可以忽略其它載荷的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[2]和[13–14]中對裂紋的處理方法，并基于模擬裂紋時普遍采用的假定：

（1）假定梁的振動滿足小變形理論并處于彈性范圍之內(nèi)；

（2）裂紋面垂直于梁上表面，并保持張開；

將裂紋模擬成一個無質(zhì)量無長度的虛擬轉(zhuǎn)動彈簧，裂紋兩端的梁單元通過該彈簧連接。其裂紋截面處的彎曲剛度KT可以由柔度G表示為

根據(jù)斷裂力學(xué)理論，由于裂紋的存在會產(chǎn)生附加的應(yīng)變能

其中KⅠ是裂紋張開狀態(tài)下的應(yīng)力強(qiáng)度因子，可以表示為

其中σ0=6M/bh2，M為彎矩，b、h分別是梁寬度和厚度，F(xiàn)是關(guān)于E2/E1和a/h的函數(shù)。令則有[5]

由裂紋引起的局部柔度G可表示為

從而可以得到不同參數(shù)下矩形截面梁的局部柔度

3.2 裂紋梁的彎曲振動計算

對于一無限長梁，裂紋位置在x=c處，在坐標(biāo)原點x=0處施加力F=F0eiωt，這樣可以將整個梁結(jié)構(gòu)分成三部分考慮：

在x≤0的半無限區(qū)域，僅考慮沿著負(fù)向傳播的波，無反射波，振動解方程為

對于軸向位移，由于無限遠(yuǎn)處軸向位移不能無限大，故g1=0，故軸向位移可表示為

在0≤x≤c中間區(qū)域，由于裂紋的存在，彎曲波在裂紋處將產(chǎn)生反射和透射，振動解方程為

其軸向位移可表示為

在x≥c的半無限區(qū)域，僅考慮沿著正向傳播的波，無反射波，振動解方程為

其軸向位移可表示為

在x=0處，考慮以下連續(xù)性條件

在裂紋位置x=c處考慮以下連續(xù)性條件

這里有12個方程，共有12個未知數(shù)，分別為B1、D1、A2、B2、C2、D2、A3、C3、g10、g2、g20、g30，那么可以求解出這12個未知系數(shù)。從而可以得到含裂紋的無限長FGM歐拉梁的彎曲振動特性。

4 振動功率流分析

振動功率流同時考慮傳遞到結(jié)構(gòu)上的速度和力兩個量值。對于振動分析來講，考慮按照時間平均的功率流比瞬時功率流重要的多。則振動功率流可表示為[7]

如果力和速度作簡諧變化，則振動功率流表示為

式中Re表示取實部運算，符號*表示取共軛復(fù)數(shù)。對于FGM梁結(jié)構(gòu)，當(dāng)梁受到諧波激勵作用時，結(jié)構(gòu)中的輸入功率流不斷向遠(yuǎn)場傳播，并有V=iωW，則輸入功率流可表示為

當(dāng)能量輸入到梁結(jié)構(gòu)中后，能量會沿著梁正向和負(fù)向傳播?，F(xiàn)考慮梁的彎曲振動，梁中內(nèi)力是彎矩、剪力和軸力。因此梁的傳播功率流是彎矩傳播的功率流、剪力傳播的功率流和軸力傳播的功率流之和

5 算例分析

考慮一無限長FGM歐拉矩形截面梁，梁截面高度h=0.05 m，其上表面是純鋁材料，鋁的楊氏模量E1=70 GPa，泊松比μ1=0.33，密度ρ1=2 780 kg/m3。下表面是陶瓷材料，其材料參數(shù)可根據(jù)具體的材料梯度β來定。梁上有一裂紋，裂紋的深度是a,裂紋距離原點的距離是c，x=0處有一作用力F。

5.1 完善FGM梁的輸入功率流

圖2給出了不同材料梯度下完善梁的輸入功率流隨頻率變化曲線。其橫坐標(biāo)是激勵的頻率，縱坐標(biāo)是輸入功率流輸入功率流計算是在各個頻率點下分別進(jìn)行計算得到的，是不同頻率下的穩(wěn)態(tài)激勵的計算結(jié)果。從圖中可以看出，完善梁的輸入功率流都隨著頻率的增大而呈現(xiàn)總體下降趨勢。當(dāng)頻率一定時，材料梯度指數(shù)越大，其輸入功率流數(shù)值相對越低。

當(dāng)E2/E1=1時，F(xiàn)GM梁轉(zhuǎn)化為普通的均勻材料梁，與文獻(xiàn)[8]中輸入功率流隨頻率變化曲線變化規(guī)律一致，也驗證了文中所用計算方法的準(zhǔn)確性。

5.2 裂紋FGM梁的輸入功率流

圖3－圖4分別給出在裂紋深度保持不變情況下，不同材料梯度指數(shù)對應(yīng)的輸入功率流和裂紋位置之間的關(guān)系。

圖2 完善FGM梁輸入功率流曲線

圖3 裂紋FGM梁輸入功率流曲線(E2/E1=0.2，a/h=0.4)

圖4 裂紋FGM梁輸入功率流曲線（E2/E1=1，a/h=0.4）

從圖中可以看到，裂紋梁的輸入功率流曲線都圍繞著完善梁的輸入功率流曲線上線波動；當(dāng)裂紋深度保持不變時，裂紋位置距離激勵點越遠(yuǎn)，裂紋梁輸入功率流曲線波動越激烈。不同材料梯度指數(shù)下對應(yīng)的曲線變化趨勢相似，但是波動幅度有差別。

圖5－圖6給出了在裂紋位置保持不變、不同材料梯度指數(shù)條件下對應(yīng)的輸入功率流和裂紋深度之間的關(guān)系。從圖中可以看到，裂紋梁的輸入功率流曲線都圍繞著完善梁的輸入功率流曲線上線波動；當(dāng)裂紋位置保持不變時，裂紋深度越大，裂紋梁輸入功率流曲線波動越激烈，因為裂紋深度越大，局部剛度降低越多，因此功率流變化越明顯。不同材料梯度下對應(yīng)的曲線變化趨勢相似，但是波動幅度有差別。

圖7給出了在相同裂紋深度和裂紋位置條件下，不同材料梯度指數(shù)和輸入功率流之間的關(guān)系。

圖5 裂紋FGM梁輸入功率流曲線(E2/E1=0.2，c/h=4)

圖6 裂紋FGM梁輸入功率流曲線（E2/E1=1，c/h=4）

圖7 裂紋FGM梁輸入功率流曲線（a/h=0.4，c/h=8）

從圖中可以看出，由于裂紋的存在，三種梯度指數(shù)條件下曲線都呈現(xiàn)波動變化，呈現(xiàn)整體下降趨勢，從數(shù)值上對比可見梯度指數(shù)大的裂紋梁輸入功率流整體較小，且隨頻率波動幅度也較小。這是由于梯度指數(shù)大的梁彎曲剛度大，因此輸入功率流較小，這和完善梁的輸入功率類似。梯度指數(shù)大的曲線波動幅度小是由于模型中假設(shè)裂紋在上表面，梯度指數(shù)大則梁的下表面彈性模量大，對截面整體剛度的貢獻(xiàn)大，此時上表面存在的裂紋對梁的截面剛度影響就會偏小，因此對輸入功率流的影響也較小。

圖8為在單一激勵頻率下，改變裂紋的深度，以裂紋位置為橫坐標(biāo)，輸入功率流為縱坐標(biāo)所得的曲線。在這里保持材料梯度指數(shù)E2/E1=0.2不變。從圖中可以看到完善梁的輸入功率流曲線是一條直線，裂紋梁的輸入功率流曲線呈類似正弦曲線變化。不同裂紋深度下的曲線變化一致，但是裂紋深度越大，曲線波動幅值越大。

圖8 裂紋FGM梁輸入功率流曲線（f=80 Hz）

圖9為單一頻率條件下，裂紋深度不變時，不同材料梯度對應(yīng)下的裂紋梁輸入功率流隨裂紋位置變化的曲線。從圖中看出不同材料梯度下，輸入功率流曲線都成類似正弦曲線變化，但是它們的輸入功率流大小和變化幅度不同。材料梯度大的裂紋梁輸入功率流較小，且波動幅度較小。

圖9 裂紋FGM梁輸入功率流曲線（a/h=0.2，f=80 Hz）

圖10為在保持裂紋深度和材料梯度指數(shù)不變情況下，不同激勵頻率對應(yīng)下的輸入功率流隨裂紋位置變化曲線。從圖中可以看到不同頻率下的輸入功率流曲線呈類似正弦曲線變化，頻率越高曲線波動越顯著，說明在高頻激勵下，彎曲波長更短，因此輸入功率流對裂紋位置變化更敏感。

現(xiàn)對比分析圖8－圖10中梁的輸入功率流隨裂紋位置變化的曲線。由于在激勵點和裂紋之間有正向入射波和反向反射波存在，波的疊加效應(yīng)會使得當(dāng)裂紋在某一位置時，在原點的振動加強(qiáng)，輸入功率增大，而裂紋在另一位置時，入射波和反射波疊加使得原點振動減弱，輸入功率下降。因此圖8－圖10均會出現(xiàn)隨裂紋位置改變，輸入功率流呈現(xiàn)周期變化的情況。對于圖8，由于裂紋位置和材料梯度不變，梁的彎曲波數(shù)并未變化，僅僅改變裂紋深度只改變了梁中入射波和反射波的波幅，因此圖中3條曲線波動的波長相等。而對于圖9，由于材料梯度指數(shù)改變，梁彎曲波波長發(fā)生變化，因此圖9中輸入功率流隨裂紋位置的變化規(guī)律也不相同，曲線的波峰與波谷分布也發(fā)生變化。對于圖10中當(dāng)頻率變化時，梁的彎曲波長也不一致，因此圖中曲線的波長也會發(fā)生變化，從而也會對曲線的波峰與波谷分布產(chǎn)生影響。

圖10 裂紋FGM梁輸入功率流曲線(E2/E1=0.2，a/h=0.2)

5.3 裂紋梁的傳播功率流計算

現(xiàn)在對梁的傳播功率流進(jìn)行計算，以傳播功率流與輸入功率流的比值Ptr/Pin為參考指標(biāo)。圖11和圖12為在某一材料梯度指數(shù)下（E2/E1=0.2），裂紋位置和裂紋深度變化與參考指標(biāo)之間的關(guān)系。

圖11 裂紋FGM梁傳播功率流曲線（a/h=0.4）

計算表明：完善梁結(jié)構(gòu)的Ptr/Pin=0.5，不隨激勵頻率的變化而變化。這是由于對于無阻尼完善梁結(jié)構(gòu)，輸入功率向激勵點兩側(cè)傳播，傳播功率流的大小不隨距離的變化而變化。對于裂紋梁，由于波在裂紋處有反射，激勵點兩側(cè)的傳播功率流不再相等，不等于輸入功率流的一半。圖11表明保持裂紋深度一定，在不同裂紋位置條件下，參考指標(biāo)曲線隨著頻率變化而發(fā)生波動，裂紋位置距離激勵點越遠(yuǎn)，曲線波動的頻次越高。圖12表明保持裂紋位置一定時，改變裂紋的深度，裂紋深度越大，傳播功率流曲線波動幅值越大。

圖12 裂紋FGM梁傳播功率流曲線（c/h=8）

圖13為在裂紋位置和裂紋深度保持不變情況下，不同的材料梯度指數(shù)與參考指標(biāo)Ptr/Pin之間的關(guān)系。

圖13 裂紋FGM梁傳播功率流曲線（a/h=0.4，c/h=8）

不同的材料梯度下，參考指標(biāo)曲線的變化趨勢相似，頻率越高波動幅度越大。材料梯度指數(shù)對傳播功率流的影響也不相同，材料梯度指數(shù)小的梁傳播功率流變化更明顯，因為裂紋在上表面，梯度指數(shù)小的梁彎曲剛度受裂紋的影響更為明顯，從而傳播功率流也更明顯。

6 結(jié)語

利用經(jīng)典的轉(zhuǎn)動彈簧模型對裂紋進(jìn)行模擬分析，并根據(jù)斷裂力學(xué)理論計算得到裂紋處的局部柔度。建立無限長FGM歐拉梁結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程，分析無限長FGM歐拉梁的振動特性。通過對FGM歐拉梁結(jié)構(gòu)的輸入功率流和傳播功率流進(jìn)行計算分析可知：

（1）裂紋的存在改變梁結(jié)構(gòu)中波傳播和振動特性。

（2）材料梯度指數(shù)、激勵頻率、裂紋深度和裂紋位置等參數(shù)對梁的輸入功率流和傳播功率流都會產(chǎn)生影響。

（3）利用材料梯度指數(shù)、激勵頻率、裂紋深度和裂紋位置等參數(shù)與振動功率流之間的關(guān)系，可以為裂紋FGM梁結(jié)構(gòu)裂紋識別提供一定理論基礎(chǔ)。

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Vibrational Power FlowAnalysis of the Functionally Graded Beam with an Open Crack

HENG Xing,ZHU Xiang,LI Tian-yun,WANG Di
(School of NavalArchitecture and Ocean Engineering,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)

Functionally graded material(FGM)beams are more and more widely used in engineering.But,the existence of cracks in the beams will affect its local stiffness and some other properties and then change its vibration and wave propagation characteristics.In this paper,the wave propagation and power flow of a FGM beam with an open crack are studied.The flexibility of the crack is deduced by using the rotational spring model.The governing differential equations of the infinitely long functionally graded beam are established and its vibration characteristics are obtained by using the wave propagation method with the continuity conditions.The input power flow and transmission power flow of the intact and the cracked beams are calculated.The influences of material gradient,excitation frequency,crack location and crack size on the input power flow and transmission power flow are studied.This work provides the basis for future study on the damage identification of FGM structures.

vibration and wave;functionally graded material(FGM)beam;crack;rotational spring model;vibrational power flow

TU311.3；TB535

：A

：10.3969/j.issn.1006-1355.2017.04.009

1006-1355(2017)04-0040-07

2017-01-13

國家自然科學(xué)基金資助項目(51479079)

衡星（1991－），男，河南省洛陽市人，碩士研究生，研究方向為結(jié)構(gòu)振動與噪聲控制。

E-mail:h_xhengxing@hust.edu.cn

朱翔（1980－），男，湖北省十堰市人，博士，副教授。

E-mail:zhuxiang@hust.edu.cn