李玉毛，何 濤，劉 冬

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

數(shù)理研究

一元線性回歸方法的理論及其應(yīng)用

李玉毛，何 濤，劉 冬

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

一元線性回歸主要研究兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，本文主要論述了一元線性回歸分析的基本理論，借助統(tǒng)計(jì)軟件SPSS對一個(gè)簡單的實(shí)例進(jìn)行了分析，包括對實(shí)例的相關(guān)性分析、建模、對模型的顯著性檢驗(yàn)以及殘差的分析，通過實(shí)例更進(jìn)一步了解一元線性回歸在具體問題中的應(yīng)用.

一元線性回歸；最小二乘法；SPSS；顯著性檢驗(yàn)

1 一元線性回歸基本原理

一元線性回歸是回歸模型中比較簡單的回歸模型，它用來描述一個(gè)數(shù)值變量的變化對另一個(gè)數(shù)值變量的影響程度，一元線性回歸模型用數(shù)學(xué)形式表示出來就是

其中（β0+β1x）表示解釋變量x對被解釋變量y的影響，也就是自變量對因變量的影響，β0和β1為未知參數(shù)，ε表示不確定的隨機(jī)因素對因變量y的影響.一般情況下隨機(jī)因素ε是不可預(yù)測的，通常假定ε是期望為0、方差為σ2的正態(tài)分布.

回歸分析在實(shí)際問題中的作用就是通過樣本觀測值（xi, yi）對未知參數(shù)即β0，β1進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)值表示為0，1，通常采用普通最小二乘法來取得理想估計(jì)值為

2 應(yīng)用實(shí)例

國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）是衡量一個(gè)國家或地區(qū)總體經(jīng)濟(jì)狀況的重要指標(biāo)，是指一個(gè)國家或者地區(qū)所有常駐單位在一定時(shí)期內(nèi)生產(chǎn)的所有最終產(chǎn)品和勞務(wù)的市場價(jià)值，因此直觀認(rèn)為一個(gè)國家或者地區(qū)的常住人口與其GDP應(yīng)該是有正相關(guān)關(guān)系.本文搜集了全國12個(gè)省市2013年末的常住人口和2014的GDP(表1)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析[3].

表1 全國12個(gè)省市2013年末的常住人口和2014的GDP統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

2.1 常住人口和GDP的相關(guān)性分析

為考察常住人口(x)和GDP(y)的關(guān)系，用統(tǒng)計(jì)軟件SPSS繪制散點(diǎn)圖[2]，如圖1所示：

圖1 散點(diǎn)圖

從散點(diǎn)圖可以看出隨著常住人口的增加，GDP有明顯的增加趨勢，也就是說初步判斷二者之間是線性正相關(guān)，為了進(jìn)一步了解二者之間的關(guān)系，利用SPSS軟件計(jì)算二者之間的Pearson相關(guān)系數(shù)，結(jié)果如表2所示.

表2 相關(guān)系數(shù)

從表 2可以看出二者之間的 Pearson相關(guān)系數(shù)為0.960，顯著性檢驗(yàn)顯示的P值為0，因此常住人口與GDP是高度正相關(guān)，我們利用一元線性回歸來給出二者之間的具體線性關(guān)系.

2.2 建立一元線性回歸模型

利用SPSS建立回歸方程：

表3 回歸系數(shù)

從表3可以看出回歸系數(shù)分別是3231.749和6.278，因此2013年末的常住人口（x）與2014年的GDP(y)的線性回歸方程為y=321.749+6.278x，對其回歸系數(shù)的進(jìn)一步檢驗(yàn)，p值小于0.05，因此回歸系數(shù)顯著.

2.3 模型檢驗(yàn)

一元線性回歸方程的顯著性檢驗(yàn)通常用方差分析方法F檢驗(yàn)[3]，其原理是利用總的平方和可以分解為回歸平方和和殘差平方和，即

F統(tǒng)計(jì)量為

Fα(1,n-2)為臨界值，當(dāng)F＞Fα?xí)r，回歸方程顯著.

對回歸方程y=3231.749+6.278x進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，得到表4:

表4 方差分析

由表得到SSR=4.206×109，SSE=3.569×108,F=117.824, P=0＜0.05,因此回歸方程顯著，其實(shí)對于一元線性回歸來說，回歸方程的顯著和回歸系數(shù)的檢驗(yàn)是等價(jià)的.

2.4 回歸方程擬合優(yōu)度的檢驗(yàn)

為了說明回歸直線的擬合效果，進(jìn)一步計(jì)算回歸方程的擬合優(yōu)度，如表5所示，得到相關(guān)系數(shù)R=0.960,判定系數(shù)R2=0.922,調(diào)整后的判定系數(shù)為0.914，也就是說各地區(qū)GDP的不同有91.4%是由于常住人口引起的，可見二者有較強(qiáng)的線性關(guān)系.

表5 擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

2.5 殘差分析

上述一元線性回歸模型的建立是基于假定誤差項(xiàng)ε服從均值為0，方差為σ2的正態(tài)分布[4]，如果假定成立，則實(shí)際值和預(yù)測值的殘差εi=yi-i應(yīng)該與自變量的變化沒有關(guān)系，也就是說以自變量為橫軸，以殘差為縱軸做散點(diǎn)圖的點(diǎn)應(yīng)該落在兩條水平帶中間.如果這樣的假定不成立，則該模型以及由此模型進(jìn)行的預(yù)測的準(zhǔn)確度將是不可信的.為進(jìn)一步研究上述建立的回歸模型的假定是否成立，我們用做殘差圖如圖2所示：

圖2 殘差圖

從圖中可以看出各殘差基本上落在了水平帶x=-20000和x=20000之間，說明我們的假設(shè)是成立的，模型也是可靠的.

3 結(jié)論

本文通過一個(gè)實(shí)例，闡述了一元線性回歸在實(shí)際問題中的具體應(yīng)用，并運(yùn)用統(tǒng)計(jì)軟件SPSS對實(shí)例進(jìn)行了相關(guān)性分析、建模和各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，給出了2013末地區(qū)常住人口和2014年GDP的具體線性回歸方程，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義.

〔1〕賈俊平，何曉群.統(tǒng)計(jì)學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2011.

〔2〕張文彤，閆潔.SPSS統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)教程[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔3〕張敏靜.一元線性回歸方程有關(guān)檢驗(yàn)問題的研究[J].價(jià)值工程，2012（2）：1-3.

〔4〕林天水，陳佩樹.一元線性回歸中異方差的處理[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2015（3）：86-88.

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