韓 瀟 劉宇星

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

引力波及激光觀測(cè)原理

韓 瀟 劉宇星

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

近期引力波話題火熱，為使本科生對(duì)引力波有系統(tǒng)的了解，本文由愛因斯坦經(jīng)典引力理論出發(fā)，考慮在遠(yuǎn)離場(chǎng)源的弱場(chǎng)近似，細(xì)致推導(dǎo)得到波速為光速、在空間上以橫波形式傳播的引力波的波動(dòng)方程，并且指出引力波只存在兩種獨(dú)立的極化狀態(tài)，即引力波兩個(gè)獨(dú)立的偏振方向。之后對(duì)激光觀測(cè)引力波實(shí)驗(yàn)的理論進(jìn)行合理性分析。得出裝有法布里-珀羅腔結(jié)構(gòu)的邁克耳孫干涉儀具備觀測(cè)引力波能力的結(jié)論。

引力波； 愛因斯坦引力場(chǎng)方程； 弱場(chǎng)近似； 激光觀測(cè)

1 引力波概述

1916年，當(dāng)廣義相對(duì)論(GR)的場(chǎng)方程完成后，愛因斯坦預(yù)言存在一種引力波。他發(fā)現(xiàn)廣義相對(duì)論線性弱場(chǎng)方程具有波動(dòng)方程形式的解:由場(chǎng)源質(zhì)量四極矩的時(shí)間變化產(chǎn)生的空間應(yīng)變橫波，其傳播速度為光速，通俗地講，就是一種由質(zhì)量引起的彎曲褶皺在時(shí)空上傳播形成的波[1]。作為一個(gè)物理理論，廣義相對(duì)論除了預(yù)言水星軌道的近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)、光子軌線的引力偏折、光頻率的引力紅移3大經(jīng)典檢驗(yàn)以外，還在20世紀(jì)成功預(yù)言引力透鏡效應(yīng)[2]以及銀河系中心人馬座黑洞[3]等。廣義相對(duì)論還剩下的一個(gè)重大預(yù)言引力波在最近有了新進(jìn)展。

自2016年2月11日L I GO宣布發(fā)現(xiàn)引力波[4]，社會(huì)各界興起引力波討論熱，近期再次觀測(cè)到引力波[5]，更是將討論熱度提到最高，與此同時(shí)人們不禁產(chǎn)生了一些問題：引力場(chǎng)具有何種的數(shù)學(xué)描述？引力理論究竟如何在弱場(chǎng)條件下得到波動(dòng)形式解？引力波的形式是什么樣的？光束的傳播依托時(shí)空，若時(shí)空發(fā)生褶皺那又如何由光束體現(xiàn)時(shí)空褶皺？等等一系列問題引起本科生的困惑。雖然這些內(nèi)容在大部分教科書(如朗道《場(chǎng)論》等)均有涉及，但對(duì)于大部分理工科未選修廣義相對(duì)論課程的學(xué)生，這些問題是無法被理解的。本文由最基礎(chǔ)的引力理論開始，逐步介紹引力波的波動(dòng)方程及物理意義；同時(shí)對(duì)于少部分選修過廣義相對(duì)論課程的學(xué)生，會(huì)發(fā)現(xiàn)本文比教科書更為詳細(xì)地討論了弱場(chǎng)條件下波動(dòng)方程的得出，并且較詳細(xì)地討論了兩種極化的物理意義。

2 弱場(chǎng)方程

對(duì)于愛因斯坦場(chǎng)方程

(1)

(2)

可見雷曼張量與時(shí)空度規(guī)因子gμ ν是場(chǎng)方程的重要組成，因此討論空間曲率張量特性即可預(yù)見場(chǎng)方程的某些屬性。

愛因斯坦提出廣義相對(duì)論時(shí)就已經(jīng)預(yù)見引力波的振幅非常小，對(duì)此，考慮距離波源極遠(yuǎn)的情景筆者將引力波看作平直空間中有極化方向的線性波，假設(shè)愛因斯坦場(chǎng)可以分為背景場(chǎng)和引力波兩項(xiàng)，并且認(rèn)為背景場(chǎng)是慢變的，引力波是快變的。因此對(duì)于時(shí)空曲率可以寫出[7]

(3)

式(3)右邊兩項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)背景場(chǎng)和波動(dòng)項(xiàng)。應(yīng)注意的是，此式中4個(gè)指標(biāo)都在下面，這并不是嚴(yán)格意義上的雷曼張量，但由度規(guī)因子很容易得到：

這種度規(guī)的擾動(dòng)沒有對(duì)參考系作唯一確定的選擇，即x′i=xi+ξi處擾動(dòng)度規(guī)仍保持為小量。

3 波動(dòng)方程與極化場(chǎng)

雷曼張量由度規(guī)的二階協(xié)變微商*協(xié)變微商Aα,β在有些教科書又寫作?βAα，再例如hαα,ν,ν又寫作?ν?νhαα的線性組合確定[9]，這是由于

(4)

(5)

代入則有

(6)

(7)

將β與ν交換展開，則有

(8)

用未擾動(dòng)的度規(guī)ηα ρ對(duì)度規(guī)小量升降運(yùn)算，特別注意到，式中第四項(xiàng)在升指標(biāo)后為對(duì)hμν的全微分：

(9)

相似的，對(duì)于Ricci標(biāo)量

(10)

同時(shí)考慮到上一節(jié)中提到對(duì)于hμ ν為小量應(yīng)在任意參考系變化下成立，即對(duì)于坐標(biāo)變換x′i=xi+ξi，有：

(11)

(12)

將Rμ ν與R代入式(1)，并由上式條件化簡(jiǎn)，則對(duì)于Ricci張量和度規(guī)擾動(dòng)hμ ν可以得到簡(jiǎn)單的場(chǎng)方程如下[10]

(13)

考慮引力場(chǎng)在遠(yuǎn)離引力源的真空中傳播，則能動(dòng)張量Tμ ν=0

(14)

這是一個(gè)三維波動(dòng)方程，對(duì)比電磁波的波動(dòng)方程：

(15)

發(fā)現(xiàn)形式極為相近，hμ ν可視為引力波場(chǎng)。

利用轉(zhuǎn)置無跡規(guī)范(transverse traceless gauge)，即假設(shè)引力波沿z軸傳播，震動(dòng)方向垂直于z軸，引力波張量與時(shí)間t有關(guān)的都為零，且引力波場(chǎng)無跡。則hμ ν應(yīng)只有4個(gè)分量

(16)

同時(shí)考慮到雷曼張量的對(duì)稱性(對(duì)于Rαβμν有34指標(biāo)反稱，12指標(biāo)反稱，34、12指標(biāo)對(duì)稱，234指標(biāo)循環(huán)反稱)，以及場(chǎng)無跡這一基本假設(shè)，分別得到hyx=hxy；hxx=-hyy。因此hμ ν只有兩種獨(dú)立的極化狀態(tài)，即h+和h×。任何引力場(chǎng)的極化都是由這兩種極化的線性組合得到。

對(duì)于轉(zhuǎn)置無跡規(guī)范的引力波，注意到雷曼張量是度規(guī)的二階協(xié)變微商的線性組合，可以回到雷曼張量，因此將波動(dòng)方程改寫成下式：

(17)

指標(biāo)0表示沿t軸的矢量；雷曼張量是含時(shí)的，且沿z軸以光速傳播，因此必然可以寫為Rμ 0ν 0=Rμ 0ν 0(t-z/c)的形式。同時(shí)類比度規(guī)hμ ν分量的簡(jiǎn)化，同樣有Rx 0x 0=-Ry 0y 0，Rx 0y 0=Ry 0x 0。對(duì)此方程求解，有：

(18)

h+和h×為極化正弦波，A+和A×為極化振幅。

4 動(dòng)力學(xué)方程

考慮兩個(gè)在弱場(chǎng)中的小質(zhì)量檢驗(yàn)對(duì)象A和B處在垂直于引力波傳播方向的平面(x-y面)，當(dāng)引力波經(jīng)過它(由無到有)，根據(jù)牛頓引力理論，引力勢(shì)函數(shù)與源的關(guān)系由泊松方程決定，

(19)

(20)

(21)

兩檢驗(yàn)粒子的相對(duì)加速度為

(22)

左式：

右式：

因此有潮汐力方程[11]

(23)

對(duì)于廣義相對(duì)論的引力勢(shì)場(chǎng)，可以寫作雷曼張量表述形式，

(24)

并將式(12)代入替換有

(25)

對(duì)于兩檢驗(yàn)對(duì)象的情況，考慮其一在(0,0,z)，另一在(x,y,z)位置，則有

(26)

(27)

積分則有

(28)

(29)

對(duì)于上式的物理解釋：當(dāng)一個(gè)檢測(cè)質(zhì)量環(huán)在引力場(chǎng)中，且垂直于引力波的傳播方向并假設(shè)z軸坐標(biāo)為零，則質(zhì)量環(huán)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如圖1。

圖1 引力波經(jīng)過兩個(gè)偏振方向時(shí)引起的時(shí)空變化

具體分析：以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸上兩點(diǎn)Px1(-x0,0)，Px2(x0,0)，y軸上兩點(diǎn)Py1(0,-y0)，Py2(0,y0)。當(dāng)引力波相位在-π/2到π/2之間時(shí)，Px1在x方向的偏離Δx<0，而關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的Px2則有Δx>0，這是由于Δx=hxxx0，式中x0在Px1、Px2兩點(diǎn)分別為-x0、x0。因此在此階段質(zhì)量環(huán)的橫向間距變大。由于引力波振幅hxx=-hyy，因此縱向間距與橫向間距相反，在相位在-π/2到π/2之間時(shí)，縱向間距變小，且與橫向的變化量相同，類似的，同樣分析π/2到3π/2的情況，則剛好相反。

對(duì)于另一單一極化狀態(tài)，經(jīng)過相似的步驟運(yùn)

算推導(dǎo)，也有類似的結(jié)果：質(zhì)量環(huán)在某一方向上伸縮震蕩。

5 激光觀測(cè)

根據(jù)定義兩個(gè)自由懸浮做測(cè)地運(yùn)動(dòng)的檢驗(yàn)質(zhì)量之間相對(duì)加速度(加速度梯度)可以表示為下式[12]

(30)

其中ξα為相對(duì)位移，uν為檢測(cè)質(zhì)量四速度，λ為仿射參數(shù)。

同時(shí)觀察(26)、(27)兩式，當(dāng)引力波作用兩檢驗(yàn)質(zhì)量時(shí)產(chǎn)生加速度，即檢驗(yàn)粒子具有能量，此能量會(huì)使粒子在引力波經(jīng)過之后繼續(xù)作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)?？梢姰?dāng)引力波經(jīng)過時(shí)，光束可以測(cè)量空間中兩檢驗(yàn)粒子的距離變化。因此引力波的探測(cè)是可行的。

圖2 單偏振引力波在時(shí)空中傳播*Made by Mathematica 10.2

(31)

關(guān)于邁克耳孫干涉儀的著名實(shí)驗(yàn)邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)證實(shí)以太不存在，為狹義相對(duì)論的出現(xiàn)作鋪墊。如今LIGO等引力波觀測(cè)實(shí)驗(yàn)也采用此原理，或許將證實(shí)廣義相對(duì)論的一大預(yù)言。

如圖為激光觀測(cè)邁克耳孫干涉儀的原理圖，對(duì)于波長(zhǎng)λ，兩光束相位差為[13]

(32)

(33)

顯然此觀測(cè)方法觀測(cè)頻率是有范圍的，干涉儀臂長(zhǎng)L越大響應(yīng)越強(qiáng)。如LISA的敏感頻段在3mHz[14,15]，考慮4億光年外兩個(gè)重達(dá)10萬倍太陽質(zhì)量的黑洞相互繞轉(zhuǎn)，釋放的引力波振幅在傳播到地球時(shí)強(qiáng)度是10-21量級(jí)，對(duì)應(yīng)相距5×106km的檢驗(yàn)質(zhì)量相對(duì)位移為10pm[13]。對(duì)于頻率為100Hz，對(duì)應(yīng)臂長(zhǎng)應(yīng)為75km，這對(duì)于地面實(shí)驗(yàn)顯然是無法做到的。因此，各實(shí)驗(yàn)組均對(duì)邁克耳孫干涉儀進(jìn)行改進(jìn)，加入法布里-珀羅腔結(jié)構(gòu)，使得激光在腔中多次循環(huán)，以減小腔長(zhǎng)。

圖3 邁克耳孫干涉儀原理圖

6 結(jié)語

綜上，基于光速不變時(shí)空間隔為零這一特點(diǎn)的激光觀測(cè)引力波在理論上是合理的((31)(33)式)，對(duì)于引力波振幅極小這一困難，在技術(shù)上通過多次反射折疊使用法布里-珀羅腔結(jié)構(gòu)控制輸出相位，做到放大作用。這同樣也是合理的，因此LIGO對(duì)于兩黑洞繞轉(zhuǎn)系統(tǒng)的引力波觀測(cè)是較為可信的。

[1]EinsteinA.Hamilton’sprincipleandthegeneraltheoryofrelativity[J].Sitzungsber.Preuss.akad.wiss.berlin, 1916.

[2]LewisA,ChallinorA.WeakgravitationallensingoftheCMB[J].PhysicsReports, 2006, 429(1): 1-65.

[3]FarrellSA,WebbNA,BarretD,etal.Anintermediate-massblackholeofover500solarmassesinthegalaxyESO243-49.[J].Nature, 2009, 460(7251): 73-5.

[4]AbbottBP,AbbottR,AbbottTD,etal.ObservationofgravitationalwavesfromaBinaryblackholemerger[J].PhysicalReviewLetters, 2016, 116(6).

[5]Abbott,B.P.,etal.GW151226:Observationofgravitationalwavesfroma22-Solar-MassBinaryblackholecoalescence[J].PhysicalReviewLetters, 2016, 116(24).

[6] 黃玉梅,王運(yùn)永,湯克云,等.引力波理論和實(shí)驗(yàn)的新進(jìn)展[J].天文學(xué)進(jìn)展,2007,25(1):58-73.HuangYumei,WangYunyong,TangKeyun.Newprogressofgravitationalwavetheoryandexperiment[J].ProgressinAstronomy, 2007, 25(1): 58-73. (inChinese)

[7] 劉雪敏. 測(cè)量引力波的新方法光孤子存儲(chǔ)環(huán)-共振棒測(cè)引力波[D].華中科技大學(xué),2004.LiuXuemin.Anewmethodformeasuringgravitationalwave.Anopticalsolitonstoragering-resonantrodforgravitationalwavemeasurement[D].HUST. 2004. (inChinese)

[8] 朗道.場(chǎng)論[M].北京：高等教育出版社,1959, 105.

[9] 梁燦彬. 微分幾何入門與廣義相對(duì)論(上)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2000:78-90.

[10] 朗道.場(chǎng)論[M]. 北京：高等教育出版社,1959, 107.

[11] 梁燦彬，周彬.微分幾何入門與廣義相對(duì)論(中)[M].2版.北京：科學(xué)出版社,2009.

[12] 王運(yùn)永, 朱興江, 劉見,等.激光干涉儀引力波探測(cè)器[J].天文學(xué)進(jìn)展,2014(3):348-382.WangYunyong,ZhuXingjiang,LiuJian.Laserinterferometergravitationalwavedetector[J].ProgressinAstronomy, 2014(3): 348-382. (inChinese)

[13]AnzaS,ArmanoM,BalaguerE,etal.TheLTPexperimentontheLISAPathfindermission[J].Classical&QuantumGravity, 2005, 22(10):S125-S138.

[14]ArmanoM,BenedettiM,BogenstahlJ,etal.LISAPathfinder:TheexperimentandtheroutetoLISA[J].Classical&QuantumGravity, 2009, 26(9): 1159-1165.

■

GRAVITATIONAL WAVES AND THE PRINCIPLE OF LASER OBSERVATION

Han Xiao Liu Yuxing

(Applied School of Mathematic Physics Science, Beijing University of Technology, Beijing 100124)

Gravitational waves become a hot issue recently. In order to make the undergraduates have systematic understanding of it, we review the derivation of gravitational waves in this paper. With Einstein classical gravitational theory, we obtain the wave equation from the weak-field approximation, and then we achieve the conclusion that the transverse waves of spatial strain travels at the speed of light. We point out that the gravitational waves exist only two independent polarized states, which means that the gravitational waves have two independent polarization directions. Furthermore, rationality about laser observation of the gravitational waves is analyzed both from theoretical and experimental aspects. Finally, we find a strategy to observe the gravitational waves by using the Michelson Interferometer with Fabry-Perot Cavity.

gravitational waves; Einstein field equations; weak-field approximation; laser observation

2016-06-22

韓瀟,男,在讀本科生，hx.shadow@qq.com。

韓瀟,劉宇星. 引力波及激光觀測(cè)原理[J]. 物理與工程，2017，27(4)：70-74.