羅堅義 李宇東 張園園 林麗娜 黃景誠

(五邑大學(xué)應(yīng)用物理與材料學(xué)院，廣東 江門 529020)

半導(dǎo)體中電子和空穴的共有化運(yùn)動與霍爾電壓

羅堅義 李宇東 張園園 林麗娜 黃景誠

(五邑大學(xué)應(yīng)用物理與材料學(xué)院，廣東 江門 529020)

霍爾效應(yīng)被應(yīng)用于測定半導(dǎo)體的載流子種類(電子或空穴)時，空穴的移動在本質(zhì)上往往被理解為束縛電子的移動，那么同樣是電子的移動，卻能產(chǎn)生相反的霍爾電壓，引發(fā)學(xué)習(xí)者在理解上的困惑。本論文首先闡述了這個問題的由來，并介紹了利用電子有效質(zhì)量是如何有效解決這個矛盾的觀點(diǎn)；最后，筆者從量子力學(xué)的角度出發(fā)，運(yùn)用半導(dǎo)體中電子和空穴共有化運(yùn)動的思想，試圖用更加通俗的方式來理解這個問題，以便于學(xué)習(xí)者能更加深刻、全面地理解霍爾效應(yīng)和霍爾電壓的由來。

霍爾電壓；半導(dǎo)體載流子；有效質(zhì)量；共有化運(yùn)動

霍爾效應(yīng)常被應(yīng)用于測定半導(dǎo)體的載流子類型(電子或者空穴)，也可被應(yīng)用于測量外加磁場的強(qiáng)度，并根據(jù)其原理，人們還開發(fā)出了相應(yīng)的霍爾測試儀和霍爾效應(yīng)傳感器等設(shè)備與器件。在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中也普遍面向理工科類學(xué)生開設(shè)一系列相關(guān)的霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)?？梢姡尷砉た频膶W(xué)生能正確理解霍爾效應(yīng)的基本原理，對其后續(xù)的工程學(xué)習(xí)和實(shí)踐能力培養(yǎng)都顯得至關(guān)重要。在基礎(chǔ)物理教材介紹到霍爾效應(yīng)時，只是提到可用于判斷半導(dǎo)體的載流子種類(是電子或者是空穴)，但載流子具體是如何在其中運(yùn)動并產(chǎn)生霍爾電壓的并沒有詳細(xì)的描述[1]。在半導(dǎo)體物理中，引入了空穴的概念后，但空穴在晶體中的移動，又往往被理解為束縛電子對周圍空穴的填充過程，在本質(zhì)上也是電子的移動[2,3]。那么，同樣都是電子的移動，為什么自由電子導(dǎo)電(n型半導(dǎo)體)和空穴導(dǎo)電(p型半導(dǎo)體)會出現(xiàn)相反的霍爾電壓？為了回答這個問題，不少學(xué)者或教育者從不同角度對這個問題進(jìn)行了詮釋[3-6]。撰寫本論文的目的是希望闡述清楚這個問題的由來，梳理一下學(xué)者們對這個問題的理解，以及提出筆者自己的見解，使得學(xué)習(xí)者能更加深刻、全面地理解霍爾效應(yīng)和霍爾電壓的由來。本論文首先回顧霍爾電壓的產(chǎn)生及其微觀解釋，然后應(yīng)用電子和空穴運(yùn)動的經(jīng)典物理模型于霍爾效應(yīng)中，引出同是電子的移動，卻能產(chǎn)生相反霍爾電壓的矛盾。針對這個矛盾，介紹了利用電子的有效質(zhì)量如何有效解決這個矛盾的觀點(diǎn)；最后，筆者從量子力學(xué)的角度出發(fā)，運(yùn)用半導(dǎo)體中電子和空穴共有化運(yùn)動的思想，試圖用更加通俗的方式來理解這個問題。

圖1 霍爾效應(yīng)原理示意圖

1 霍爾電壓及其微觀解釋

霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)如圖1所示， 在半導(dǎo)體材料的左右兩端(x軸方向上)加載一個電場E， 帶電的載流子(電子圖1(a)或者空穴圖1(b))將在電場的作用下從右到左(電子)或者從左到右(空穴)運(yùn)動，一旦載流子具有速度，將會受到磁場力f=-q×B或f=q×B(也就是洛倫茲力)的作用，如圖1所示，無論是電子還是空穴受到的磁場力方向都具有往z軸的正方向分量，從而載流子都發(fā)生了向上偏轉(zhuǎn)運(yùn)動?？梢姡绻麄鲗?dǎo)的載流子是帶負(fù)電荷的電子，電子將會在材料的上表面聚集，從而在實(shí)驗(yàn)上測到的霍爾電壓為負(fù)。反之，如果載流子為帶正電荷的粒子，在實(shí)驗(yàn)上測到的霍爾電壓將為正。這里有兩點(diǎn)需要補(bǔ)充說明的是：(1)材料本身是電中性的，除了導(dǎo)電的載流子之外，還有固定在晶體中不能移動的雜質(zhì)離子(n型半導(dǎo)體中的施主雜質(zhì)離子，p型半導(dǎo)體中的受主雜質(zhì)離子)，當(dāng)材料的上端集聚了多余的載流子后，將會導(dǎo)致在另外一端的雜質(zhì)離子沒辦法被中和，故使材料的下端表現(xiàn)為帶相反的電荷；(2)在相同外加的電場和磁場作用下，無論載流子是正電荷或者是負(fù)電荷，受到的洛倫茲力都是同一個方向(如圖所示為向上)，故載流子都會向上運(yùn)動。因此，通過測量材料上下表面的霍爾電壓就可以判定導(dǎo)電的載流子種類。

2 半導(dǎo)體中電子與空穴運(yùn)動的經(jīng)典物理模型

上述對霍爾電壓的產(chǎn)生以及對正負(fù)載流子判定的解釋似乎已經(jīng)很完美了，但在解釋霍爾效應(yīng)中空穴的傳導(dǎo)方向則出現(xiàn)了問題。在半導(dǎo)體物理中，空穴是一個假想的帶電粒子?？昭ㄓ址Q為電洞，也就是電子的空位，當(dāng)晶格中的束縛電子被激發(fā)變成了自由電子并游離于晶格間，在電子原來的位置上則出現(xiàn)電子的空位(空穴)，周圍的束縛電子都可以填充這個空位，從而引起空位在晶體中的移動(類似于一個蘿卜有一個坑，拔走一個蘿卜后留下一個坑位，再把周圍的蘿卜拔起來填這個坑時，又在新的位置出現(xiàn)了蘿卜坑，看起來像是蘿卜坑在移動了，實(shí)際上是蘿卜在移動)，這是經(jīng)典粒子物理模型向我們展示的圖像，直觀而易懂。可見，空穴的移動，在本質(zhì)上可以被看成是電子的移動。如果把這個模型應(yīng)用到霍爾效應(yīng)中，如圖2所示，我們就會發(fā)現(xiàn)，在電場的作用下，空穴是從左向右移動的(x軸的正方向)，也就是電子應(yīng)該是從右向左不斷填充空穴的移動過程，這時移動中的電子將受到向上的磁場力作用，那么電子應(yīng)該是向上偏轉(zhuǎn)，從而形成負(fù)的霍爾電壓。同樣， 在n型半導(dǎo)體中自由電子(如圖1(a))也是從右向左移動，其產(chǎn)生的霍爾電壓也應(yīng)該是負(fù)的。也就是說，按照這個經(jīng)典物理圖像的分析，將不可能出現(xiàn)霍爾電壓為正的情況，但在實(shí)驗(yàn)上確實(shí)是觀察到了有正的霍爾電壓，那么問題出在哪里呢？

3 電子有效質(zhì)量的概念及其對霍爾電壓的解釋

圖2 霍爾效應(yīng)中空穴運(yùn)動的經(jīng)典物理模型

為了解答上述的矛盾，有些學(xué)者[3-6]利用固體中電子有效質(zhì)量的概念，認(rèn)為在價帶中的電子(束縛電子)具有的有效質(zhì)量為負(fù)值(即me<0)。因此，在圖2所示的模型中，電子雖然收到向上的磁場力f的作用，但根據(jù)牛頓第二定律 a= f/me,加速度的方向應(yīng)該與作用力f方向相反，所以電子應(yīng)該是向下偏轉(zhuǎn)運(yùn)動而不是向上運(yùn)動，從而形成了正的霍爾電壓，較好地解決了上述的矛盾。但是，在大學(xué)物理的教學(xué)中只是簡單提到固體的能帶結(jié)構(gòu)，并不涉及到有效質(zhì)量概念的介紹，特別是物體質(zhì)量為負(fù)值的情況，在我們?nèi)粘Ｉ钪袔缀蹩床坏竭@方面的實(shí)例，因此給初學(xué)者帶來了理解上的困難。如何理解電子在固體中具有負(fù)的有效質(zhì)量，可從固體中電子經(jīng)典運(yùn)動的兩個基本方程式出發(fā)[7]：

(1)

(2)

其中v(k)為電子的速度，E(k)為電子具有的能量，均為波矢k的函數(shù)，(hk)具有動量量綱，動量對時間的求導(dǎo)為作用外力F。在外力的作用下，電子的速度將發(fā)生改變，因此電子的加速度a可表示為

(3)

(4)

則式(3)可改寫為

(5)

可見，有效質(zhì)量me不同于電子的慣性質(zhì)量。在考慮了晶體勢能場的作用后，有效質(zhì)量的大小和正負(fù)號往往取決于電子所在的能量狀態(tài)E(k)，是一個與電子能量狀態(tài)E(k)對k求二階導(dǎo)數(shù)相關(guān)的物理量。當(dāng)E(k)曲線開口朝上，電子能量處于谷底時，有效質(zhì)量取正值。當(dāng)E(k)曲線開口朝下，電子能量處于峰頂時，有效質(zhì)量取負(fù)值。對于空穴的傳輸來說，電子的填充運(yùn)動主要是發(fā)生在價帶頂部附近，其E(k)曲線的開口一般朝下，二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)值，因此電子的有效質(zhì)量取負(fù)值。一旦電子的有效質(zhì)量為負(fù)值，那么在電子受到磁場力作用后，將出現(xiàn)其加速度的方向與其受外力方向相反的情況。例如在圖2中，移動中的電子將受到向上的磁場力，反而具有向下發(fā)生偏轉(zhuǎn)的加速度，從而在上下極板間形成正的霍爾電壓。可見，當(dāng)電子的有效質(zhì)量取負(fù)值時，霍爾電壓為正；反之，霍爾電壓則為負(fù)，從而似乎完美地解答了“同是電子導(dǎo)電卻能產(chǎn)生相反霍爾電壓”的問題。

4 半導(dǎo)體中載流子的共有化運(yùn)動圖像及其對霍爾電壓的詮釋

電子有效質(zhì)量的引入，基本上解決了電子導(dǎo)電和空穴導(dǎo)電在本質(zhì)上同是電子的移動卻會出現(xiàn)相反方向霍爾電壓的困惑，讓經(jīng)典物理仍然適于半導(dǎo)體物理，好處是直觀易懂，弊端是又引入理解有效質(zhì)量概念帶來的困難。因?yàn)樵诮?jīng)典牛頓力學(xué)圖像中，很難想象出一個運(yùn)動物體質(zhì)量為負(fù)的情形會是怎樣的，又不得不借助量子力學(xué)中波粒二象性的結(jié)論(如在式(1)、(2)中引入普朗克量子數(shù)h去描述粒子的動量)去解釋有效質(zhì)量的概念。筆者認(rèn)為從一開始把空穴的移動想象成價電子的填充過程(即從本質(zhì)上看成是電子的移動)，這種說法并不準(zhǔn)確，甚至有可能是錯誤的。雖然大多數(shù)教科書上都做這樣處理，目的是讓初學(xué)者能更加容易而且直觀地理解空穴導(dǎo)電的過程，但實(shí)際過程可能并非如此，兩者并不等價。為了說明這個問題，讓我們從載流子的共有化運(yùn)動說起。

從半導(dǎo)體的能帶理論出發(fā)，在固體中電子一旦脫離束縛它的晶格原子，進(jìn)入導(dǎo)帶成為自由電子，該自由電子將在晶格中做“自由自在”的不規(guī)則運(yùn)動，不再歸屬于晶格中任何原子所獨(dú)有，已成為所有原子共同擁有的“資產(chǎn)”。這時，自由電子正在做著共有化運(yùn)動。同樣，在電子脫離晶格原子束縛后，在原來的位置留下的空穴也跟自由電子一樣開始做共有化運(yùn)動，不再歸屬于某個原子所有或者停留在某個原子附近，快速漂浮于各個晶格原子間，成為有別于自由電子的另一種載流子，也就不存在周圍束縛電子可以去填充空穴這個過程了，因?yàn)槭`電子已經(jīng)無法找到空穴的具體位置了。關(guān)于空穴的移動，我們有一個更加形象的比喻：如果我們把束縛電子比喻為杯子中的水，空穴就是水中的氣泡。晃動杯子時，氣泡會隨著杯中水的涌動而到處游走。氣泡移動過程，并不是水分子去不斷填充氣泡，氣泡從一個位置消失，又從另一個位置產(chǎn)生的過程，而是杯中水的集體運(yùn)動帶動了氣泡的漂浮運(yùn)動?？梢?，空穴的移動并不能簡單地看成是由空穴附近束縛電子不斷填充空穴的過程，而應(yīng)該把它看成是價帶上束縛電子集體運(yùn)動所帶來的效果。這一點(diǎn)可從教程書中討論半導(dǎo)體的滿帶不導(dǎo)電和半滿帶導(dǎo)電模型中得到印證(見參考文獻(xiàn)[2, 8])。在解釋滿帶與半滿帶的導(dǎo)電問題時，我們往往需要考慮的是，在k空間中整個電子分布在外電場作用下移動一個偏移量后是否會引起部分電子電流無法被抵消從而產(chǎn)生宏觀電流；在討論價帶中的空穴導(dǎo)電時，我們也往往需要分析價帶上所有電子分布的整體移動而才能得出空穴的導(dǎo)電電流?？梢姡昭m然是一種假想的載流子，但其質(zhì)量和導(dǎo)電機(jī)制都有別于電子，已可被看成是另一種實(shí)實(shí)在在且?guī)д姾傻妮d流子，而不需要通過別的粒子來等價它或者代言它。

5 結(jié)論

本文首先介紹了霍爾效應(yīng)和霍爾電壓的微觀解釋，然后提出半導(dǎo)體中電子與空穴運(yùn)動的經(jīng)典物理模型在解釋霍爾電壓方面存在的矛盾，即空穴的導(dǎo)電本質(zhì)上可以看成電子的移動，同是電子的移動，空穴導(dǎo)電和電子導(dǎo)電卻能出現(xiàn)相反方向的霍爾電壓。針對上述的矛盾，介紹了利用引入電子的有效質(zhì)量如何有效解決這個矛盾的觀點(diǎn)。最后，筆者提出了對這個問題的看法，認(rèn)為空穴的移動并不能簡單理解為電子的填充運(yùn)動過程，并且從載流子的共有化運(yùn)動角度出發(fā)，認(rèn)為自由電子和空穴分別在導(dǎo)帶和價帶做共有化運(yùn)動，已很難再判定自由電子或空穴在晶格的具體位置，從而不存在電子去填充空穴的過程。筆者用杯子中的水比喻價帶中的束縛電子，水中的氣泡比喻空穴，形象地說明了空穴的移動是由束縛電子集體運(yùn)動引起的，而不是束縛電子不斷填充空穴的物理過程。本文對霍爾效應(yīng)和霍爾電壓由來的總結(jié)和思考，將有利于大學(xué)教師和學(xué)生對霍爾效應(yīng)及其相關(guān)問題的深入理解和研討，也可作為大學(xué)物理、半導(dǎo)體物理和固體物理等課程教學(xué)中對半導(dǎo)體導(dǎo)電機(jī)制部分的補(bǔ)充和拓展。

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COMMUNIZATION MOVEMENT OF ELECTRONS AND HOLES AND HALL VOLTAGE IN SEMICONDUCTOR

Luo Jianyi Li Yudong Zhang Yuanyuan Lin Lina Huang Jingcheng

(School of Applied Physics and Materials, Wuyi Uninversity, Jiangmen Guangdong 529020)

Hall Effect is usually applied to distinguish the kind of carriers in semiconductor (electrons and holes), and currently the hole movement could be understood as the boundary electron movement in essence. Spontaneously for learners, a question could arise that since hole movement inP-typed semiconductor is belonged to electron movement in essence, but it can induce opposite Hall voltage compared with the case of electron movement inN-typed semiconductor. The arising of this question is firstly introduced in detailed in this paper, and then the concepts of effective mass in solid physics is introduced and applied to solve the question. At last, authors try to answer this question in more comprehensible way by applying the communization movement of electrons and holes in semiconductor, according to the basic ideas of quantum mechanics. The results and discussions in this paper deepen the learners’ comprehension of the origins of Hall Effect and Hall voltage.

Hall voltage; carriers in semiconductor; effective mass; communization movement

2016-04-13

廣東省自然科學(xué)杰出青年基金(2015A030306031)，國家自然科學(xué)基金(51402218)，廣東高校創(chuàng)新團(tuán)隊建設(shè)項目(2015KCXTD025)，五邑大學(xué)青年基金項目(2013zk05, 2014td01), 五邑大學(xué)教研教改項目(YJS-JGXM-14-05，JG2013013)。

羅堅義，男，副教授，主要從事大學(xué)物理、半導(dǎo)體物理的理論教學(xué)和研究，光電材料與器件應(yīng)用研究等工作，Luojiany@mail3.sysu.edu.cn。

羅堅義，李宇東，張園園，等. 半導(dǎo)體中電子和空穴的共有化運(yùn)動與霍爾電壓[J]. 物理與工程，2017，27(4)：53-56.