張香成， 周甲佳， 徐志朋，李 倩， 趙 軍, 2, 關 罡， 于秋波

(1. 鄭州大學 力學與工程科學學院，鄭州 450001；2. 鄭州大學 土木工程學院，鄭州 450001；3.鄭州大學 綜合設計研究院有限公司,鄭州 450001)

磁流變阻尼器受控框架結構的空間桿系計算模型

張香成1， 周甲佳1， 徐志朋1，李 倩1， 趙 軍1, 2, 關 罡3， 于秋波3

(1. 鄭州大學 力學與工程科學學院，鄭州 450001；2. 鄭州大學 土木工程學院，鄭州 450001；3.鄭州大學 綜合設計研究院有限公司,鄭州 450001)

為了分析加入磁流變阻尼器(MRD)框架結構的多維減震性能和扭轉振動特性，基于桿系模型建立了MRD受控框架結構的空間桿系計算模型。以十層鋼筋混凝土(RC)框架結構為例，采用Matlab軟件開發(fā)了無控和MRD受控RC框架結構的空間桿系計算模型程序，在地震荷載作用下分別進行了動力時程分析，對未控和有控下框架典型節(jié)點X、Y、Z向的位移、加速度時程響應和結構的空間扭轉振動響應進行了對比。結果表明，MRD可有效減小RC框架結構的多維位移和加速度時程響應，若阻尼器位置設置不當，將會增大結構的扭轉振動響應。結果驗證了MRD受控框架結構的空間桿系計算模型及其Matlab程序的正確性和有效性。

磁流變阻尼器；桿系模型；空間結構；多維減震；動力分析；扭轉振動

磁流變阻尼器(Magnetorheological Damper,MRD)具有結構簡單、功耗小、響應迅速、連續(xù)順逆可調(diào)和阻尼力大等特點，因此在土木結構減震控制中具有廣闊的應用前景[1-2]。

對于設置MRD的框架結構而言，建立其計算模型并進行仿真分析是檢驗減震控制效果的一種經(jīng)濟有效手段。然而，由于現(xiàn)有的通用有限元軟件很難模擬MRD及其力學模型，因此國內(nèi)外學者多采用Matlab中的Simulink工具箱或采用自編程的方法對設置MRD的結構進行建模和仿真分析。目前，MRD受控框架結構的計算模型主要有：彈性層模型[3-6]、彈性桿系模型[7]、彈塑性層模型[8]和彈塑性桿系模型[9-12]。彈性層模型和彈性桿系模型易于編程，計算速度快，小震作用下計算結果穩(wěn)定可靠；彈塑性層模型考慮了強震下MRD受控結構因發(fā)生損傷而引起的剛度退化現(xiàn)象，計算結果更加精確；彈塑性桿系模型則能計算MRD對結構中各桿件的開裂、屈服位置以及結構損傷發(fā)展過程的影響。然而上述模型均將MRD受控結構簡化為平面模型，因此不能描述MRD受控結構的多維減震性能及其扭轉振動特性，也不能反映結構的多維受力狀態(tài)。

為了分析設置MRD的框架結構的多維減震性能和扭轉振動特性，本文基于桿系模型建立了MRD受控框架結構的空間桿系計算模型。以十層鋼筋混凝土(Reinforced Concrete, RC)框架結構為例，采用Matlab軟件開發(fā)了無控和MRD受控RC框架結構的空間桿系計算模型程序，在地震作用下分別進行了動力時程分析，對未控和有控下框架典型節(jié)點X、Y、Z向的位移、加速度時程響應和結構的空間扭轉振動響應進行了對比分析。

1 框架結構的空間桿系模型

1.1 考慮剪切效應的空間桿單元矩陣

由空間桿模型分析知，桿單元兩端各有六個位移分量，沿坐標軸方向的線位移u、v、w和繞坐標軸方向的角位移θx、θy、θz，見圖1。

圖1 空間桿單元的節(jié)點位移Fig.1 Node displacements of spatial beam element model

基于桿單元平截面和等截面直桿假定，在外力作用下，桿件的撓度由兩部分組成：由彎曲產(chǎn)生的彎曲撓度和由剪切產(chǎn)生的剪切撓度?？紤]剪切效應的空間桿單元的剛度矩陣[k]e和質(zhì)量矩陣[m]e見文獻[13]。

1.2 整體坐標系下的單元剛度矩陣和單元質(zhì)量矩陣

空間桿單元的[k]e和[m]e均為局部坐標系下的單元矩陣，在總矩陣組裝前需將二者轉換成整體坐標系下的單元剛度矩陣[K]e和單元質(zhì)量矩陣[M]e。

[K]e=[T]T[k]e[T]，[M]e=[T]T[M]e[T]

(1)

式中：[T]為單元的坐標轉換矩陣。

(2)

基于整體坐標系X、Y、Z和局部坐標系x、y、z的方向余弦關系可以推倒得到[t]。

(3)

1.3 框架結構的阻尼矩陣

本文采用Rayleigh正交阻尼模型，該模型將阻尼矩陣表達為質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合，即

[C]=α[M]+β[K]

(4)

2 減震結構運動方程和智能控制裝置

2.1 減震結構運動微分方程

在地震作用下，MRD受控結構的運動微分方程為

(5)

2.2 半主動控制裝置和控制算法

結構中擬設置的MRD為Xu等[14]研制的大噸位MRD，在頻率為0.1 Hz的正弦波激勵下，該阻尼器0 A電流對應的最小阻尼力Fmin=10 kN，2.4 A電流對應的最大阻尼力Fmax=200 kN，如圖2所示。

圖2 頻率0.1 Hz、不同電流下MRD的試驗曲線Fig.2 Test curves of MRD at different electricity(0.1 Hz)

本文采用線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator, LQR)控制算法計算MRD受控結構所需的最優(yōu)控制力U。由于MRD阻尼力范圍有限，因此，采用如下半主動控制策略對最優(yōu)控制力U進行調(diào)整

(6)

2.3 MRD的位置矩陣

位置矩陣[H]的作用是將式(6)得到的阻尼力列向量正確分配到結構中。本文采用圖3所示的方式布置阻尼器，當總阻尼力方向向左時，分配到框架相應節(jié)點的阻尼力分別為

(7)

若結構上設置m個阻尼器，位置矩陣[H]則是一個n×m的矩陣，n表示結構總自由度的個數(shù)。當圖3所示的第k個MRD布置在整體坐標YOZ平面內(nèi)時，則位置矩陣中對應于節(jié)點i和j的元素H(6i+2,k)=H(6j+2,k)=1/2；對應于節(jié)點p和q的元素H(6p+2,k)=H(6q+2,k)=-1/2；無阻尼力作用的其它節(jié)點元素則為0。

圖3 阻尼力分配示意圖Fig.3 Schematic of damping force distribution

3 程序設計

基于上述條件和方法，可采用Matlab分別編制未控和MRD受控框架結構的空間桿系模型的動力時程分析程序，程序流程如圖4所示。

圖4 程序流程圖Fig.4 Program flow chart

4 算例分析

4.1 RC框架結構和MRD的位置

以圖5所示的十層MRD受控RC框架結構為例，X向跨度分別為8.4 m、5.4 m、7.2 m，Y向跨度為7.2 m，一層層高為5 m，二～十層層高均為3.2 m。X向梁從左到右的截面尺寸分別為0.25 m×0.65 m、0.25 m×0.5 m、0.25 m×0.6 m，Y方向梁的截面尺寸為0.25 m×0.6 m，一～六層柱的截面尺寸為0.6 m×0.6 m，七～十層柱的截面尺寸為0.5 m×0.5 m?；炷翉姸鹊燃墳镃35，彈性模量為3.15×104N/mm2，泊松比為0.2，鋼筋混凝土密度為2 700 kg/m3，受力鋼筋采用HRB335級，RC框架結構的前兩階振型阻尼比假定為5%。由于算例為十層RC框架結構，變形主要集中在底部樓層[15]，因此將MRD布置在結構底部的一～六層，另外，為了驗證空間桿系模型，使扭轉變形更加明顯，MRD不再對稱布置，具體位置見圖5。圖中數(shù)字為節(jié)點編號值。

圖5 MRD受控RC框架結構的三維計算簡圖Fig.5 Three dimensional calculation diagram of the RC frame structure equipped with MRD

根據(jù)圖4中的程序流程，作者采用Matlab軟件編制了未控和MRD受控RC框架結構的空間桿系計算模型程序，地震波選用El-Centro波(南北分量)和Kobe波(南北分量)，地震持時均為30 s，地震波步長0.02 s，地震加速度時程曲線的最大值均調(diào)整為400 gal。采用Wilson-θ法求解結構的運動微分方程，并取θ=1.4。經(jīng)過程序試算，確定LQR控制算法中的權矩陣系數(shù)α=100、β=3×10-6。根據(jù)李云貴等[16-17]的研究結果，當房屋高度大于80 m時，宜考慮重力二階效應，本文算例結構高度為33.8 m，因此忽略重力二階效應的影響，并將底層柱下端視為固結。

4.2 計算結果分析

采用自編Matlab程序分別對未控RC框架結構和設置MRD的RC框架結構進行了時程分析，并對時程分析結果進行了繪圖。

在El-Centro波、Kobe波作用下，未控和MRD受控RC框架結構88號節(jié)點X、Y、Z三個方向的位移時程結果對比見圖6。由圖6可以看出，無論是在El-Centro波還是在Kobe波作用時間內(nèi)，結構加入MRD以后88號節(jié)點X、Y、Z三個方向的位移響應結果均明顯小于未控結構該節(jié)點相應方向的位移響應，其中Y向的位移控制效果最為明顯，這是因為Y向是結構的主控方向，設置的MRD較多。在圖6(a)中El-Centro波作用下，未控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大位移分別為149.1 mm、113.5 mm、2.9 mm，而在結構中加入MRD以后，有控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大位移分別為81.9 mm、47.8 mm、1.6 mm，與未控結構相比，有控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大水平位移分別減小了45.07%、57.89%、44.68%。在圖6(b)中Kobe波作用下，未控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大位移分別為190.6 mm、228.0 mm、4.2 mm，而在結構中加入MRD以后，有控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大位移分別為154.0 mm、68.9 mm、2.8 mm，與未控結構相比，有控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大水平位移分別減小了19.20%、69.78%、33.33%。

圖6 未控和有控RC框架結構88號節(jié)點三向位移響應對比Fig.6 Contrast of X, Y and Z displacement response for node 88 of the RC frame structure with and without the control

在El-Centro波、Kobe波作用下，未控和MRD受控RC框架結構88號節(jié)點X、Y、Z三個方向的加速度時程結果對比見圖7。由圖7可以看出，在整個地震持時內(nèi)，結構加入MRD以后88號節(jié)點X、Y、Z三個方向的加速度響應結果略小于未控結構該節(jié)點相應方向的加速度響應，加速度減弱效果不明顯。在圖7(a)中El-Centro波作用下，未控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大加速度分別為7.32 m/s2、6.30 m/s2、0.88 m/s2，而在結構中加入MRD以后，有控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大加速度分別為7.27 m/s2、4.70 m/s2、0.81 m/s2，與未控結構相比，有控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大水平位移分別減小了0.68%、25.40%、7.95%。在圖7(b)中Kobe波作用下，未控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大加速度分別為9.12 m/s2、7.22 m/s2、0.32 m/s2，而在結構中加入MRD以后，有控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大加速度分別為8.74 m/s2、4.31 m/s2、0.31 m/s2，與未控結構相比，有控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大水平位移分別減小了4.17%、40.30%、3.13%。

圖7 未控和有控RC框架結構88號節(jié)點三向加速度響應對比Fig.7 Contrast of X, Y and Z acceleration response for node 88 of the RC frame structure with and without the control

在El-Centro波、Kobe波作用下，未控和MRD受控RC框架結構8號、88號及中間所有節(jié)點的水平位移和加速度包絡圖見圖8。從圖8(a)中可以看出，在El-Centro波作用下，與未控RC框架結構相比，MRD受控結構各層的最大水平位移響應明顯減小，以第六層56號節(jié)點為例，未控結構X、Y向的最大水平位移分別為111.76 mm、83.35 mm，有控結構X、Y向的最大水平位移分別為58.36 mm、33.21 mm，有控結構第56號節(jié)點X、Y的最大水平位移分別減小了47.78%和60.16%；與未控RC框架結構相比，設置MRD的結構的第一～六層最大水平加速度均明顯增大，僅結構的第七～十層Y向的最大水平加速度有所減小。從圖8(b)中可以看出，在Kobe波作用下，與未控RC框架結構相比，MRD受控框架結構各層的最大水平位移響應明顯減小，仍以第六層56號節(jié)點為例，未控結構X、Y向的最大水平位移分別為139.96 mm、162.28 mm，有控結構X、Y向的最大水平位移分別為109.58 mm、50.40 mm，有控結構第56號節(jié)點X、Y的最大水平位移分別減小了21.71%和68.94%；與未控結構相比，加入MRD的RC框架結構各層X、Y向的最大水平加速度均有所減小，其中各層Y向的最大水平加速度均減小比較明顯。

圖8 未控和有控RC框架結構各層水平位移、加速度包絡圖Fig.8 The envelope diagram of horizontal displacement and acceleration response for each floor of the RC frame structure with and without the control

由式(5)可知，在結構中設置MRD后，會增加一個控制力矩陣，這相當于增大了結構的剛度和阻尼，無論是增大結構的剛度還是增大結構的阻尼，二者都能減小地震作用下結構的位移響應，因此加入MRD后，結構的位移控制效果非常明顯，見圖6和圖8；然而，增加結構的阻尼雖然可以減小地震作用下結構的加速度響應，但增加結構的剛度卻會增大地震作用下結構的加速度響應，因此，加入MRD后，結構的加速度減小效果并不明顯(如圖7)，甚至會出現(xiàn)圖8(a)中局部加速度放大現(xiàn)象。

圖9和圖10分別為未控、有控結構頂層節(jié)點水平向位移響應對比圖。從圖9可以看出，無論是在El-Centro波還是在Kobe波作用時間內(nèi)，未控結構88號和84號節(jié)點X向水平位移響應完全一致，結構85號節(jié)點Y向的位移響應稍大于88號節(jié)點Y向的位移響應，說明未控結構在X0Y平面內(nèi)的扭轉振動并不明顯。

圖9 未控RC框架結構頂層節(jié)點水平向位移響應對比Fig.9 Contrast of horizontal displacement of the top-level node for the uncontrolled RC frame structure

圖10 有控RC框架結構頂層節(jié)點水平向位移響應對比Fig.10 Contrast of horizontal displacement of the top-level node for the controlled RC frame structure

從圖10可以看出，無論是在El-Centro波還是在Kobe波作用時間內(nèi)，有控結構84號節(jié)點X向的水平位移明顯小于88號節(jié)點X向最大水平位移，結構85號節(jié)點Y向的水平位移明顯小于88號節(jié)點Y向最大水平位移，這說明有控結構在XOY平面內(nèi)的扭轉振動相對于未控結構有所增加。從圖5可以看出，未控結構的質(zhì)量中心和剛度中心基本重合，因此在水平地震作用下的扭轉振動并不明顯；由于MRD在結構中的安裝位置并不對稱，加入MRD后引起結構的質(zhì)量中心和剛度中心不再重合或不在一條直線上，雖然能有效減小結構各層的位移響應，但卻直接導致受控結構的扭轉振動大大增加。這一結論也說明了本文建立的受控結構的空間桿系模型及其Matlab程序是正確的、可信的。限于篇幅，本文未對阻尼器的安裝位置進行優(yōu)化。

5 結 論

(1)作者建立了MRD受控結構的空間桿系計算模型，并采用Matlab編制了未控和MRD受控框架結構的動力時程分析程序。該模型和程序能有效模擬MRD受控框架結構的多維位移和加速度減震效果，同時也能反映受控結構的扭轉振動情況。

(2)算例分析表明，加入MRD后，RC框架結構各層的三向位移均得到了明顯減小。其中，在El-Centro波作用下，頂層88號節(jié)點X、Y、Z向最大水平位移分別減小了45.07%、57.89%、44.68%；在Kobe波作用下，MRD受控結構88號節(jié)點X、Y、Z向最大水平位移分別減小了19.20%、69.78%、33.33%。

(3)在El-Centro波作用下，加入MRD的RC框架結構的第一～六層最大水平加速度明顯增大，第七～九層X向的最大水平加速度也有所增大，僅結構第七～十層Y向的最大水平加速度有所減??；在Kobe波作用下，加入MRD的RC框架結構各層X、Y向的最大水平加速度均有所減小，其中各層Y向的最大水平加速度均減小比較明顯。

(4)阻尼器應盡可能的對稱設置在框架結構中，否則將導致結構的質(zhì)量中心和剛度中心不再重合或不在一條直線上，最終增大結構的扭轉振動響應。

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A spatial beam element calculation model of the frame structure with magnetorheological damper

ZHANG Xiangcheng1, ZHOU Jiajia1, XU Zhipeng1, LI Qian1, ZHAO Jun1,2, GUAN Gang3, YU Qiubo3

(1. School of Mechanics and Engineering Science, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China;2. School of Civil Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China；3. Comprehensive Design and Research Institute Co., Ltd., Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

In order to analyze the multi-dimensional earthquake mitigation performance and the torsional vibration characteristics of a frame structure with Magnetorheological Damper (MRD), the spatial beam element calculation model of MRD controlled frame structure was established based on the beam elements model. Taking a ten-story Reinforced Concrete (RC) frame structure as an example, the spatial beam element calculation model programs of the RC frame structure with and without MRD were developed by Matlab software. The dynamic time history analysis was carried out under the earthquake load. The displacement, acceleration response of typical nodes inX,Y,Zdirection and the spatial torsional vibration response of structure was compared under an uncontrolled and controlled frame. The results show that: MRD can effectively reduce the displacement and acceleration time history response of the RC frame structure. If the damper position is not set properly, the torsional vibration response of the structure will be increased. The results verify the validity of the spatial beam element calculation models and the Matlab program of the MRD controlled frame structure.

magnetorheological damper; beam element model; spatial structure; multi-dimensional earthquake mitigation; dynamic analysis; torsional vibration

國家自然科學基金(51408555)；河南省高?？萍紕?chuàng)新團隊(15IRTSTHN026)；河南省高等學校重點科研項目(16A560011)；鄭州市科技攻關項目(153PKIGG096)

2016-02-17 修改稿收到日期： 2016-06-27

張香成 男，博士，講師，1983年4月生

趙軍 男，博士，教授，1971年11月生

TU352.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.027