楊榮剛， 安子軍， 姜 威

(燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

擺線鋼球行星傳動運動分叉特性研究

楊榮剛， 安子軍， 姜 威

(燕山大學(xué) 機械工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004)

為揭示擺線鋼球行星傳動的非線性動力學(xué)行為，建立包括外部激勵、嚙合副嚙合狀態(tài)及嚙合剛度等非線性因素的純扭轉(zhuǎn)強非線性耦合動力學(xué)模型。建立能夠描述嚙合副所處狀態(tài)的預(yù)緊非線性函數(shù)，根據(jù)靜力學(xué)分析獲得嚙合點靜態(tài)變形量，建立非線性動力學(xué)微分方程組，利用數(shù)值分析方法獲得系統(tǒng)隨壓縮量、阻尼系數(shù)變化的分叉圖，并繪制不同參數(shù)下的相圖和龐加萊圖，研究不同參數(shù)對系統(tǒng)分叉特性的影響規(guī)律。結(jié)果表明：軸向壓縮量對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較大；軸向壓縮量和旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)增加，高速運轉(zhuǎn)的系統(tǒng)最終穩(wěn)定于短周期運動，低速運轉(zhuǎn)的系統(tǒng)最終穩(wěn)定于準(zhǔn)周期運動；阻尼較小時系統(tǒng)在低速狀態(tài)下的穩(wěn)定性較高，阻尼較大時系統(tǒng)在高速狀態(tài)下的穩(wěn)定性較高。

擺線鋼球行星傳動；非線性振動；分叉；混沌；準(zhǔn)周期

擺線鋼球行星傳動的無側(cè)隙嚙合副使其成為精密傳動中非常重要的高性能傳動機構(gòu)，該傳動機構(gòu)具有實時無隙嚙合傳動、傳動效率高、噪聲低、結(jié)構(gòu)緊湊、傳動比大等優(yōu)點，在高精密傳動應(yīng)用領(lǐng)域有著非常重要的價值和發(fā)展前景[1-2]。

國內(nèi)外學(xué)者對擺線鋼球行星傳動進行了較深入的研究。文獻[3]對擺線鋼球行星傳動的結(jié)構(gòu)和傳動原理進行了闡述，并證明機構(gòu)傳動比為定值。文獻[4]分析了曲率半徑、壓力角等影響機械設(shè)計的參數(shù)，并獲得最優(yōu)值。文獻[5]推導(dǎo)了擺線鋼球行星傳動的基本設(shè)計參數(shù)，并通過赫茲理論對擺線槽的強度進行了分析。文獻[6]通過一種新的效率計算方法對擺線鋼球行星傳動的參數(shù)進行了計算，設(shè)計出了一種新型的等速輸出機構(gòu)，并對輸出機理進行了研究。文獻[7]建立嚙合副兩點接觸力學(xué)模型，推導(dǎo)出機構(gòu)彈性回差公式，并分析參數(shù)對彈性回差的影響。安子軍等建立擺線鋼球行星傳動嚙合副兩點接觸狀態(tài)下的平移-扭轉(zhuǎn)耦合動力學(xué)模型，文獻[8]揭示了系統(tǒng)的固有特性，并分析擺線鋼球行星傳動的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)對固有頻率的影響；文獻[9]運用多尺度法對系統(tǒng)進行動力穩(wěn)定性分析，并利用攝動法計算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

擺線鋼球行星傳動設(shè)計有間隙調(diào)解機構(gòu)，在該機構(gòu)作用下(輸出軸向位移或力)嚙合副處于預(yù)緊狀態(tài)，使活齒(鋼球)與槽的接觸點產(chǎn)生一定的預(yù)變形量，以實現(xiàn)工作條件下嚙合副的精密傳動。目前，尚未有文獻對處于預(yù)緊狀態(tài)下的擺線鋼球行星傳動進行研究。因此，建立預(yù)緊狀態(tài)下的嚙合副預(yù)緊非線性函數(shù)對該傳動機構(gòu)進行研究有一定的意義。借鑒齒輪傳動間隙非線性函數(shù)[10-12]，建立擺線鋼球行星傳動嚙合副預(yù)緊非線性函數(shù)。

本文在嚙合副處于預(yù)緊狀態(tài)下，建立描述嚙合副狀態(tài)的預(yù)緊非線性函數(shù)，然后建立系統(tǒng)的非線性動力學(xué)微分方程，通過數(shù)值分析方法對微分方程進行數(shù)值求解，獲得系統(tǒng)隨壓縮量、阻尼系數(shù)的分叉圖，繪制相圖和龐加萊圖，分析壓縮量、阻尼系數(shù)對系統(tǒng)非線性動態(tài)特性的影響。

1 動力學(xué)模型建立

1.1 扭轉(zhuǎn)振動模型建立

擺線鋼球行星傳動的結(jié)構(gòu)如圖1所示，包括中心盤、減速鋼球、行星盤、輸入軸、輸出軸(盤)、等速鋼球和間隙消除機構(gòu)等。中心盤右側(cè)加工有外擺線槽，行星盤左側(cè)加工有內(nèi)擺線槽，內(nèi)外擺線槽軸向重合位置處安裝減速鋼球，剛球球心位于內(nèi)、外擺線理論廓線切點處。行星盤右側(cè)與輸出軸左側(cè)加工有相同數(shù)量的環(huán)形槽，環(huán)形槽軸向重合位置處安裝等速鋼球。輸入軸偏心段帶動行星盤平動，行星盤擠壓減速鋼球，減速鋼球在中心盤擺線槽的限制作用下反推行星盤，使行星盤以較低的轉(zhuǎn)速運動，實現(xiàn)減速。行星盤通過等速鋼球?qū)⑥D(zhuǎn)速等速傳遞給輸出軸，實現(xiàn)轉(zhuǎn)速的等速輸出。輸出軸受到間隙調(diào)節(jié)機構(gòu)的預(yù)緊作用，軸向微移動δx，使鋼球與槽緊密接觸。當(dāng)δx達到一定值時，擺線鋼球傳動能夠?qū)崿F(xiàn)無隙嚙合傳動。

機構(gòu)各構(gòu)件減掉輸入軸轉(zhuǎn)速ωr，使得各構(gòu)件轉(zhuǎn)化為定軸轉(zhuǎn)動，輸出軸繞O1旋轉(zhuǎn)，減速嚙合副鋼球與等速嚙合副鋼球均繞O2旋轉(zhuǎn)，行星盤繞O3旋轉(zhuǎn)?？紤]中心盤、減速嚙合副鋼球、行星盤、輸出軸、等速嚙合副鋼球的旋轉(zhuǎn)自由度，建立如圖2、圖3所示的擺線鋼球行星傳動非線性純扭轉(zhuǎn)動力學(xué)模型。腳標(biāo)1、2i、3、4j、5分別指中心盤、第i個減速鋼球、行星盤、第j個等速鋼球、輸出軸。θ1、θ2i、θ3、θ5、θ4j為中心盤、第i個減速鋼球、行星盤、輸出軸、第j個等速鋼球的角位移，Φ2i=ωt+2π(i-1)/Z2為第i個減速鋼球轉(zhuǎn)過角度，Φ1i為第i個減速鋼球繞P點轉(zhuǎn)過角度，φj=ωtZ2/Z3+2π/Z4為第j個等速鋼球轉(zhuǎn)過角度，Z2為減速鋼球數(shù)，Z4為等速鋼球數(shù)，ω為減速鋼球繞O2旋轉(zhuǎn)角速度，Rw為等速鋼球回轉(zhuǎn)半徑。

圖2 減速嚙合副非線性振動模型Fig.2 Nonlinear vibration model of gear meshing pair

圖3 等速嚙合副非線性振動模型Fig.3 Nonlinear vibration model of equal meshing pair

1.2 各構(gòu)件相對位移

在軸向預(yù)緊作用下，行星盤相對于中心盤軸向微移動δ1x，根據(jù)靜力學(xué)分析可知，減速嚙合副中A1、B2、C1、D1四個嚙合點壓縮量(預(yù)緊量)分別為

(1)

式中：β為減速嚙合副嚙合點法線與盤平面夾角；kA(Φ2i)、kB(Φ2i)、kC(Φ2i)、kD(Φ2i)為減速嚙合副嚙合點嚙合剛度系數(shù)[13]。

設(shè)輸出軸相對于行星盤軸向微移動δ2x，減速嚙合副中A2、D2壓縮量相同，B2、C2壓縮量相同，嚙合點壓縮量分別為

(2)

式中：β1、β2為等速嚙合副外、內(nèi)側(cè)嚙合點法線與盤平面夾角。

根據(jù)行星盤的力平衡條件求解δ1x、δ2x、δx，三者之間的關(guān)系為

(3)

其中，

中心盤與第i個減速鋼球相對位移量為

δ12i=θ1l1i-θ2il2i

(4)

式中，l1i、l2i分別為O1、O2到法平面的距離。

中心盤與減速鋼球之間的預(yù)緊非線性函數(shù)為f(δ12i)，嚙合剛度非線性函數(shù)為k12i，則

(5)

行星盤與第i個減速鋼球相對位移量為

δ32i=θ3l3i-θ2il2i

(6)

式中，l3i為O3到法平面的距離。

行星盤與減速鋼球之間的預(yù)緊非線性函數(shù)為f(δ32i)，嚙合剛度非線性函數(shù)為k32i，則

行星盤與第j個等速鋼球相對位移量為

δ34i=(θ3-θ4j)l4j

(8)

式中，l4j為回轉(zhuǎn)中心到法平面的距離。

行星盤與等速鋼球之間的預(yù)緊非線性函數(shù)為f(δ34j)，嚙合剛度非線性函數(shù)為k34j，則

(9)

行星盤與第j個減速鋼球相對位移量為

δ54i=(θ5-θ4j)l4j

(10)

輸出軸與等速鋼球之間的預(yù)緊非線性函數(shù)為f(δ54j)，嚙合剛度非線性函數(shù)為k54j，則

(11)

式中，kA、kB、kC、kD為等速嚙合副嚙合剛度。

減速鋼球與中心盤嚙合時，摩擦方向系數(shù)函數(shù)

(12)

摩擦力為

F12i=f12iFf12iμf

(13)

式中：Ff12i為非傳力嚙合點法向嚙合力；μf為滑動摩擦因數(shù)，取μf=0.05。

減速鋼球與行星盤嚙合時，摩擦方向系數(shù)函數(shù)

(14)

摩擦力為

F32i=f32iFf32iμf

(15)

式中，F(xiàn)f32i為非傳力嚙合點法向嚙合力。

等速鋼球與行星盤嚙合時，摩擦方向系數(shù)函數(shù)

(16)

摩擦力為

F34j=f34jFf34jμf

(17)

式中，F(xiàn)f34j為非傳力嚙合點法向嚙合力。

等速鋼球與輸出軸嚙合時，摩擦方向系數(shù)函數(shù)

(18)

摩擦力為

F54j=f54jFf54jμf

(19)

式中，F(xiàn)f54j為非傳力嚙合點法向嚙合力。

1.3 建立微分方程

根據(jù)各構(gòu)件間的相對位移關(guān)系，建立非線性動力學(xué)微分方程

(20)

式中：Tr、Tc分別為輸入、輸出扭矩；J1、J2、J3、J4、J5分別為中心盤、減速速鋼球、行星盤、等速鋼球、輸出盤繞回轉(zhuǎn)中心的轉(zhuǎn)動慣量；c為旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)；Fk12i=k12i×f(δ12i)l1i+F12iL1i；Fk32i=k32if(δ32i)l3i+F32iL3i；Fq12i=k12i×f(δ12i)l2i+F12iL2i；Fq32i=k32if(δ32i)l2i+F32iL2i；Fk34i=k34i×f(δ34i)l4i+F34iL4i；Fk54i=k54if(δ54i)l4i+F54iL4i。

其中，L1i、L2i、L3i、L4i摩擦力作用線到回轉(zhuǎn)中心距離。

1.4 微分方程無量綱化

引入量綱一時間

τ=ωnt

(21)

引入角位移標(biāo)稱尺度bc，則量綱一角位移、角速度、角加速度為

(22)

系統(tǒng)量綱一微分方程為

(23)

2 動力學(xué)特性分析

中心盤為輸入端，輸出軸為輸出端，扭矩Tr=2 N·m，轉(zhuǎn)動慣量J1、J2、J3、J4、J5分別為3.7×10-4kg·m2、7.1×10-7kg·m2、2.8×10-4kg·m2、7.1×10-7kg·m2、4.5×10-4kg·m2，Z1、Z2、Z3、分別為19、20、21，β、β1、β2均為π/4，短幅系數(shù)K為0.4，滾圓半徑r0=4 mm，鋼球半徑rq=1.5 mm。采用數(shù)值算法中的變步長Runge-Kutta法(ode45)對非線性方程組進行求解。

2.1 系統(tǒng)隨壓縮量的分叉特性

取轉(zhuǎn)速ω=10 rad/s，旋轉(zhuǎn)阻尼c=0.05 N·m·s/rad，系統(tǒng)隨δx的分叉圖如圖4所示，相圖與龐加萊圖如圖5所示。隨著軸向壓縮量增加，系統(tǒng)經(jīng)短暫混沌運動進入準(zhǔn)周期運動，然后經(jīng)多周期運動進入混沌運動，在δx=5.31 μm處系統(tǒng)由混沌運動突然躍變到準(zhǔn)周期運動，躍變后系統(tǒng)穩(wěn)定于準(zhǔn)周期運動狀態(tài)。系統(tǒng)運動狀態(tài)的突然躍變呈現(xiàn)典型的激變特征，證明系統(tǒng)是通過“激變”途徑進入準(zhǔn)周期運動，“激變”途徑多發(fā)于含間隙系統(tǒng)[14-15]。因此，預(yù)緊量較小時，擺線鋼球行星傳動存在齒側(cè)間隙，預(yù)緊量增加嚙合副實現(xiàn)無隙嚙合傳動。

圖4 系統(tǒng)隨δx變化分叉圖Fig.4 Bifurcation diagram of δx

圖5 系統(tǒng)相圖及龐加萊圖Fig.5 Phase diagram and poincare diagram

取轉(zhuǎn)速ω=10 rad/s，扭矩Tm=2 N·m，旋轉(zhuǎn)阻尼c=0.08 N·m·s/rad，系統(tǒng)隨δx的分叉圖如圖6所示，相圖與龐加萊圖如圖7所示。與c=0.05 N·m·s/rad時系統(tǒng)分叉特性相比，該參數(shù)下的系統(tǒng)穩(wěn)定性增強，由混沌運動突然躍變到準(zhǔn)周期運動對應(yīng)的壓縮量下降為δx=5.28 μm，其余分叉特性相似。

圖6 系統(tǒng)隨δx的分叉圖Fig.6 Bifurcation diagram of δx

圖7 系統(tǒng)相圖與龐加萊圖Fig.7 Phase diagram and poincare diagram

取轉(zhuǎn)速ω=20 rad/s，旋轉(zhuǎn)阻尼c=0.08 N·m·s/rad，系統(tǒng)隨δx的分叉圖如圖8所示，相圖與龐加萊圖如圖9所示。隨著軸向壓縮量增加，系統(tǒng)經(jīng)短暫的混沌運動進入短周期運動，由短周期運動逐漸進入長周期運動，然后進入混沌運動，壓縮量δx=5.573 μm時系統(tǒng)由混沌運動突然躍變到短周期運動狀態(tài)，躍變后系統(tǒng)穩(wěn)定于短周期運動狀態(tài)。

圖8 系統(tǒng)隨δx的分叉圖Fig.8 Bifurcation diagram of δx

圖9 系統(tǒng)相圖與龐加萊圖Fig.9 Phase diagram and poincare diagram

取轉(zhuǎn)速ω=20 rad/s，旋轉(zhuǎn)阻尼c=0.1 N·m·s/rad，系統(tǒng)隨δx的分叉圖如圖10所示，相圖與龐加萊圖如圖11所示。隨著軸向壓縮量增加，系統(tǒng)經(jīng)短暫混沌運動進入短周期運動，由短周期運動進入長周期運動，然后經(jīng)準(zhǔn)周期運動進入混沌運動，在準(zhǔn)周期運動中會出現(xiàn)短暫的長周期運動，當(dāng)壓縮量δx=5.578 μm時系統(tǒng)由混沌運動突然躍變到短周期運動。躍變后，系統(tǒng)穩(wěn)定于短周期運動狀態(tài)。高轉(zhuǎn)速下，阻尼增大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性進一步增強。

圖10 系統(tǒng)隨δx變化分叉圖Fig.10 Bifurcation diagram of δx

圖11 系統(tǒng)相圖及龐加萊圖Fig.11 Phase diagram and poincare diagram

系統(tǒng)處于混沌表明運動狀態(tài)的不可預(yù)知性，由一種軌道突跳到另外軌道上，這種突跳容易使機器疲勞，壽命減短，則機構(gòu)運行時需要避免混沌運動狀態(tài)的出現(xiàn)。通過以上分析，可以獲得使系統(tǒng)避開混沌運動所需的軸向壓縮量取值范圍。

2.2 系統(tǒng)隨旋轉(zhuǎn)阻尼的分叉特性

系統(tǒng)隨旋轉(zhuǎn)阻尼的分叉特性如圖12、圖13所示，δx=6 μm、ω=20 rad/s時分叉圖為圖12(a)所示，δx=6 μm、ω=10 rad/s時分叉圖為圖13(a)所示。

由圖12可知，隨著阻尼系數(shù)增大，系統(tǒng)由混沌運動迅速進入三周期運動，c=0.198 N·m·s/rad時系統(tǒng)經(jīng)過突變進入雙周期運動，c=0.396 N·m·s/rad時系統(tǒng)經(jīng)過突變進入單周期運動。由圖13可知，低轉(zhuǎn)速條件下，隨著阻尼系數(shù)增大，系統(tǒng)由混沌運迅速進入準(zhǔn)周期運動，系統(tǒng)在c=0.082 N·m·s/rad、c=0.398 N·m·s/rad時發(fā)生突然躍變，穩(wěn)定性增強。

3 結(jié) 論

在軸向預(yù)緊力條件下建立擺線鋼球行星傳動非線性動力學(xué)微分方程，對系統(tǒng)的非線性動力學(xué)特性進行了分析，得到如下結(jié)論：

圖12 系統(tǒng)隨c的分叉特性Fig.12 Bifurcation diagram of c

圖13 系統(tǒng)隨c的分叉特性Fig.13 Bifurcation diagram of c

(1)擺線鋼球行星傳動在各種非線性因素的綜合影響下表現(xiàn)出了非常豐富的分叉特性，隨著參數(shù)的變化系統(tǒng)出現(xiàn)了短周期運動、長周期運動、準(zhǔn)周期運動和混沌運動等運動形態(tài)。

(2)傳動機構(gòu)在高速運轉(zhuǎn)狀態(tài)下，隨著軸向壓縮量和旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)的增加，系統(tǒng)由混沌運動經(jīng)過突跳最終穩(wěn)定于短周期運動；傳動機構(gòu)在低速運轉(zhuǎn)狀態(tài)下，隨著軸向壓縮量和旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)的增加，系統(tǒng)由混沌運動經(jīng)過突跳最終穩(wěn)定于準(zhǔn)周期運動。

(3)軸向壓縮量對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較大，轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響較小。阻尼較小時，系統(tǒng)在低速狀態(tài)下的穩(wěn)定性較高；阻尼較大時，系統(tǒng)在高速狀態(tài)下的穩(wěn)定性較高。阻尼增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性逐漸增強。

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Bifurcation characteristics study of cycloid ball planetary transmission

YANG Ronggang, AN Zijun, JIANG Wei

(School of Mechanical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao 066004, China)

In order to reveal the nonlinear dynamic behavior of cycloid ball planetary transmission, a pure torsion strengthening nonlinear coupling dynamic model was established and external excitation and meshing pair meshing state and meshing stiffness of the nonlinear factors were included in the model. The nonlinear function of the preload was established to describe the state of the meshing pair. According to the static analysis, the static deformation of the meshing point was obtained, and then the nonlinear dynamic differential equations were achieved., MATLAB was used to obtain the system with pressure shrinking, damping coefficient of variation of the bifurcation diagram and draw different parameters of phase diagram and Poincare map. The effects of different parameters on the bifurcation characteristics of the system were studied. The results show that the axial compression has a great influence on the stability of the system. Increase of axial compression and rotational damping coefficient, the system at high speed operation is stable in short period; the system at low speed operation is stable in the quasi periodic motion. The stability of the small damping system is higher in low speed state and the stability of the high damping system is high in the high speed state.

cycloid ball planetary transmission; nonlinear vibration; bifurcation; chaos; quasi period

國家自然科學(xué)基金資助項目(51275440)；河北省自然科學(xué)基金資助項目(E2013203085)

2016-07-20 修改稿收到日期： 2016-11-22

楊榮剛 男，博士生，1988年8月生

安子軍 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1960年2月生

TH113.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.16.021