谷青發(fā)， 王 杰

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

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逆變型微網(wǎng)下垂控制器參數(shù)選擇和穩(wěn)定性分析

谷青發(fā)， 王 杰

(上海交通大學(xué)電子信息與電氣工程學(xué)院， 上海 200240)

微網(wǎng)的動態(tài)穩(wěn)定分析廣泛采用特征分析法。微網(wǎng)孤島運(yùn)行時，多使用下垂控制方法來穩(wěn)定其電壓和頻率。下垂控制器中下垂增益的選取會對微網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生重要的影響。本文研究了狀態(tài)矩陣中含有不確定參數(shù)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法，建立了微網(wǎng)采用下垂控制的小信號模型。利用提出的方法，分析了微網(wǎng)的小信號穩(wěn)定性，并給出了系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定時下垂控制器下垂增益的范圍。最后，通過模態(tài)相關(guān)因子的方法分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性與下垂增益的關(guān)系。算例結(jié)果驗證了該方法的正確性。

微網(wǎng)； 逆變器； 下垂控制； 參數(shù)不確定； 穩(wěn)定性

1 引言

隨著能源危機(jī)和環(huán)境污染問題的加劇，能源生產(chǎn)方式和消費方式的變革勢在必行。以新能源供給為主的分布式發(fā)電技術(shù)具有極大的應(yīng)用潛力，但由于其并網(wǎng)存在諸多問題，無法被電力部門大規(guī)模接受。微網(wǎng)技術(shù)是實現(xiàn)分布式發(fā)電系統(tǒng)大規(guī)模應(yīng)用和電網(wǎng)智能化的關(guān)鍵技術(shù)之一[1,2]。一般認(rèn)為，微網(wǎng)是指由分布式電源(DG)、儲能裝置、電力電子變換裝置、保護(hù)裝置、負(fù)荷和監(jiān)控系統(tǒng)組成的小型發(fā)配電系統(tǒng)，是一個能夠?qū)崿F(xiàn)自我控制、保護(hù)和管理的自治系統(tǒng)[3,4]。微網(wǎng)既可以并網(wǎng)運(yùn)行，也可以孤島運(yùn)行。

微網(wǎng)中分布式電源大多通過逆變器產(chǎn)生交流電接入電網(wǎng)或給負(fù)荷供電，實現(xiàn)能量雙向流動。當(dāng)微網(wǎng)運(yùn)行在孤島模式時，為了穩(wěn)定微網(wǎng)的頻率和電壓，逆變器的控制策略大多采用下垂控制方法。下垂控制的基本思想是通過微電源的有功和無功功率反饋分別調(diào)整系統(tǒng)的電壓和頻率，從而實現(xiàn)系統(tǒng)電壓和頻率的穩(wěn)定。這種方法只需要采集本地信息，就地測量就地控制，可以減少因通信而產(chǎn)生的延時，增強(qiáng)系統(tǒng)控制的可靠性和準(zhǔn)確性。

逆變器中下垂增益參數(shù)的選取會對微網(wǎng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性產(chǎn)生至關(guān)重要的影響，因此需要對其選取和微網(wǎng)穩(wěn)定性的關(guān)系進(jìn)行研究[5]。文獻(xiàn)[6-9]考慮控制器和負(fù)荷網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)特性，建立了基于下垂控制的微網(wǎng)小信號模型，利用該模型計算系統(tǒng)狀態(tài)矩陣特征根，分析了微網(wǎng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[10]將微網(wǎng)的穩(wěn)定性分析分為小擾動穩(wěn)定分析和暫態(tài)穩(wěn)定分析，分別建立了不同電壓等級的微網(wǎng)狀態(tài)空間模型，算例結(jié)果表明不同電壓等級的微網(wǎng)系統(tǒng)可以采用不同的模型進(jìn)行穩(wěn)定性分析。文獻(xiàn)[11]建立了基于多變流器微網(wǎng)小信號模型，采用計算根軌跡的方法得到了微網(wǎng)中參數(shù)與穩(wěn)定性的關(guān)系。文獻(xiàn)[12]研究了一種基于二階攝動理論的微網(wǎng)小干擾穩(wěn)定性分析方法，利用該方法可以簡便地計算出微網(wǎng)出現(xiàn)小擾動時系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的近似特征根，從而分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

文獻(xiàn)[6-12]中建立了采用下垂控制的微網(wǎng)小信號模型，利用狀態(tài)矩陣的特征根分析了微網(wǎng)穩(wěn)定性與下垂增益、網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的關(guān)系。但是這些文獻(xiàn)中下垂增益的值都是直接給出的，鮮有文獻(xiàn)對于下垂增益參數(shù)的范圍與微網(wǎng)系統(tǒng)穩(wěn)定性之間的關(guān)系進(jìn)行研究。當(dāng)下垂增益為未知參數(shù)時，微網(wǎng)的狀態(tài)矩陣中將含有不確定參數(shù)，尤其當(dāng)矩陣維數(shù)過高時，通過求解狀態(tài)矩陣特征根研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法將失效。針對此問題，本文研究了一種狀態(tài)矩陣中含有不確定參數(shù)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法，建立了基于下垂控制的微網(wǎng)小信號模型，并利用提出的方法求解了使得含有不確定參數(shù)的系統(tǒng)穩(wěn)定的下垂增益的范圍，算例結(jié)果表明，當(dāng)下垂增益位于該范圍內(nèi)時系統(tǒng)能夠保持穩(wěn)定。最后用模態(tài)相關(guān)因子法分析了下垂增益對于系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，確定了影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵參數(shù)。

2 基于下垂控制的微網(wǎng)小信號模型

2.1 控制器小信號模型

逆變器下垂控制的基本原理如圖1所示。

圖1 逆變器下垂控制方框圖Fig.1 Schematic of droop control

下垂控制器數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(1)

式中，m和n分別為逆變器角頻率下垂增益和電壓下垂增益；ωn和Vn分別為分布式電源參考角頻率和參考電壓幅值；ω和V分別為分布式電源的角頻率和電壓幅值；p和q分別為分布式電源輸出的瞬時有功和無功功率；ωc為低通濾波器的截止頻率。

將式(1)線性化可得：

(2)

在dq0坐標(biāo)系下，分布式電源輸出的電壓相角和電壓幅值為：

(3)

將式(3)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點處Taylor展開并線性化可得：

(4)

式中

其中，vd0和vq0為dq0坐標(biāo)系下分布式電源穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點的值。

由于Δω(s)=sΔδ，可知：

(5)

dq0坐標(biāo)系下，分布式電源電壓的d軸和q軸分量為：

vd=vcosδ，vq=vsinδ

(6)

將式(6)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點Taylor展開，線性化并求導(dǎo)可得：

(7)

整理式(2)～式(7)可得：

(8)

式中

2.2 電網(wǎng)絡(luò)小信號模型

逆變型微網(wǎng)等效結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。其中兩個分布式電源均采用下垂控制，同時給負(fù)荷供電。

圖2 微網(wǎng)等效電路Fig.2 Equivalent circuit model of microgrid

圖2所示的電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程為：

(9)

式中，RL和C分別為負(fù)載的等效電阻和電容。

分布式電源供給負(fù)荷的電流可表示為：

is=i1+i2

(10)

考慮到傳輸線路電阻率和電感率一般保持一定的比例[13]，可近似認(rèn)為：

(11)

聯(lián)立式(9)～式(11)可得：

(12)

式中，Rd=(R1+R2)/2;Ld=(L1+L2)/2。

式(12)經(jīng)線性化和Park變換后，在dq0坐標(biāo)系中，圖2所示的電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)方程可表示為：

(13)

式中

X1=(Δω1,Δv1d,Δv1q,Δω2,Δv2d,Δv2q)T

X2=(Δvbd,Δvbq,Δisd,Δisq)T

其中，Δω1和Δω2分別為分布式電源1和2的角頻率變化量。

圖2中，分布式電源輸出功率為：

(14)

整理式(14)，可得：

(15)

式中

將式(15)在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行點處Taylor展開并線性化，可得：

(16)

式中

2.3 微網(wǎng)小信號模型

聯(lián)立式(8)、式(13)和式(16)，可得微網(wǎng)小信號模型為：

(17)

式中

其中，Bi、Ci、Di和Ei(i=1,2)分別為第i個分布式電源對應(yīng)的系數(shù)矩陣。

3 參數(shù)不確定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

3.1 系統(tǒng)描述

考慮以下狀態(tài)矩陣中含有不確定參數(shù)的線性系統(tǒng)[14,15]：

(18)

式中，x∈Ω∈Rn，為n維狀態(tài)向量，其中Ω為含x=0的某個鄰域；εj為不確定參數(shù)；G為穩(wěn)定陣，即G的特征根的實部均為負(fù)值。

為簡單起見，對每個固定的x∈Ω，記δM(U(x))為矩陣U(x)的n個奇異值中的最大值；如果QTQ=R，則記R1/2=Q。

由定義1可知，δM(U(x))即為矩陣U(x)的二范數(shù)，即

‖U(x)‖=δM(U(x))

(19)

3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

由于式(18)描述的系統(tǒng)中矩陣G是穩(wěn)定陣，因此對任意n階正定陣Q，必有唯一正定陣P，滿足：

GTP+PG=-Q

(20)

對于式(18)描述的線性系統(tǒng)構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

V(x)=xTPx

(21)

由于P是正定陣，因此V(x)是正定函數(shù)，即V(x)>0。對V(x)求導(dǎo)可得：

(22)

(23)

式(22)和式(23)中正定矩陣Q為可調(diào)矩陣，其選取并不唯一，適當(dāng)?shù)倪x取Q可增大參數(shù)的魯棒空間。利用式(23)中的條件不易求解參數(shù)的范圍，為簡化運(yùn)算取Q=I，相應(yīng)的P記為PI，即

GTPI+PIG=-Q

(24)

則式(23)可表示為：

(25)

進(jìn)一步簡化，式(25)可以表示為：

(26)

用式(26)可以方便地求出式(18)描述的系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定時參數(shù)εj的范圍。由于正定陣Q的選取不唯一，當(dāng)Q變化時，相應(yīng)的參數(shù)εj的范圍也會發(fā)生變化，但并不影響在求得的參數(shù)范圍內(nèi)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

4 特征根與模態(tài)相關(guān)因子

特征根分析是電力系統(tǒng)小信號穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)。在控制理論中，狀態(tài)矩陣的每一個特征根代表了系統(tǒng)的一種運(yùn)行模態(tài)，而每一種運(yùn)行模態(tài)與系統(tǒng)狀態(tài)變量之間存在一定的關(guān)聯(lián)性。

定義2：對矩陣W的任一特征根λi，滿足方程：Wui=λiui，WTvi=λivii=1,2,...,n，的n維非零向量ui和vi分別稱為矩陣W關(guān)于特征根λi的右特征向量和左特征向量。

在式(18)描述的系統(tǒng)中，狀態(tài)矩陣特征根λi的右特征向量的第k個分量uki反映了狀態(tài)量xk對λi的“可觀性”；而左特征向量的第k個分量vki則反映了狀態(tài)量xk對λi的“可控性”[16]。因此，定義uki和vki的積pki為相關(guān)因子，即

pki=ukivki

(27)

相關(guān)因子pki反映了第i個模態(tài)中第k個狀態(tài)變量的相對參與程度，其值越大，表示狀態(tài)變量參與程度越高，對系統(tǒng)的影響越大。利用相關(guān)因子可以分析影響系統(tǒng)模態(tài)的關(guān)鍵因素，進(jìn)而通過調(diào)整關(guān)鍵因素改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5 算例分析

5.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

電網(wǎng)絡(luò)和控制器各部分參數(shù)見表1。

表1 微網(wǎng)和控制器參數(shù)Tab.1 Parameters of microgrid and controller

采用第2節(jié)建立的小信號模型，可得微網(wǎng)小信號模型狀態(tài)方程為：

(28)

式中，A0，K1，K2∈R10×10，為常量方陣。

利用式(26)可求得該系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定時下垂增益的范圍，如圖3所示。由圖3可知，當(dāng)下垂增益m和n位于直線和x軸及y軸包圍的區(qū)域時，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣所有特征根的實部均小于0，系統(tǒng)能夠保持穩(wěn)定。由于式(20)中正定陣Q的取法并不唯一，不同的Q對應(yīng)的參數(shù)范圍也會發(fā)生相應(yīng)的變化，當(dāng)下垂增益的取值位于該穩(wěn)定域內(nèi)時，能夠保證系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定。

圖3 系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定域Fig.3 Stability region of system parameters

為驗證上述結(jié)論的正確性，任意選取穩(wěn)定域中的兩點m=10-4和n=2×10-5及m=5×10-5和n=10-4，計算系統(tǒng)的小信號狀態(tài)矩陣，求出全部特征根，結(jié)果分別見表2和表3。

表2 m=10-4和n=2×10-5時狀態(tài)矩陣特征根Tab.2 Eigenvalues of state matrix when m=10-4 and n=2×10-5

表3 m=5×10-5和n=10-4時狀態(tài)矩陣特征根Tab.3 Eigenvalues of state matrix when m=5×10-5 and n=10-4

由表2和表3可以看出，當(dāng)下垂增益參數(shù)m和n位于穩(wěn)定域內(nèi)時，狀態(tài)矩陣的所有特征根的實部均位于虛軸的左側(cè)，系統(tǒng)能夠保持小信號穩(wěn)定。

選取穩(wěn)定域外的兩點m=2.5×10-4和n=2×10-4及m=10-4和n=1.4×10-3，計算系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣，求出其全部特征根，結(jié)果見表4和表5。

表4 m=2.5×10-4和n=2×10-4時狀態(tài)矩陣特征根Tab.4 Eigenvalues of state matrix when m=2.5×10-4 and n=2×10-4

由表4可知，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征根的實部均小于0，系統(tǒng)穩(wěn)定；由表5可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征根λ1實部大于0，系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，當(dāng)選取的下垂增益落在穩(wěn)定域外時，除個別點能夠保持系統(tǒng)穩(wěn)定外，系統(tǒng)基本表現(xiàn)為失穩(wěn)。該結(jié)論與第3節(jié)的分析結(jié)果一致。同時，由表4和表5可以看出，選取的點離穩(wěn)定域越遠(yuǎn)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性越差。

5.2 模態(tài)相關(guān)因子分析

電力系統(tǒng)中，一般選取實部靠近虛軸的主特征值進(jìn)行分析。選取穩(wěn)定域內(nèi)一點m=10-4和n=2×10-5時系統(tǒng)狀態(tài)矩陣的特征根λ1=-0.0413作為主導(dǎo)特征根，計算相關(guān)因子模值，結(jié)果見表6。

表6 主導(dǎo)特征根的相關(guān)因子Tab.6 Participating factors of leading eignvalue

由表6可以看出，特征根λ1主要與狀態(tài)變量Δvq有關(guān)。下垂控制器中影響逆變器輸出電壓的是下垂增益n的變化。因此，控制器參數(shù)中電壓下垂增益n對主導(dǎo)特征根λ1的影響較大，進(jìn)而影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

為驗證上述結(jié)論的可靠性，保持角頻率下垂增益m不變(m=10-4)，電壓下垂增益n從2×10-5增大到1.5×10-3時，特征根的變化軌跡如圖4中箭頭方向所示。

圖4 主導(dǎo)特征根隨下垂增益n變化軌跡Fig.4 Track of leading eignvalue when droop gain n changes

由圖4可以看出，隨下垂增益n的增大，主導(dǎo)特征根的實部逐漸向虛軸方向靠近，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差。當(dāng)下垂增益n增大到一定程度(n=1.4×10-3)，主導(dǎo)特征根的實部將大于0，系統(tǒng)失穩(wěn)。因此，當(dāng)下垂增益n變化時，對主導(dǎo)特征根的影響較大，該結(jié)論與相關(guān)因子的分析結(jié)果一致。

6 結(jié)論

本文建立了一種狀態(tài)矩陣中含有不確定參數(shù)的線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法，使用該方法可以方便地求出線性系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定的參數(shù)范圍。其次，建立了基于下垂控制的微網(wǎng)小信號模型，并利用近似處理，簡化了模型。利用提出的方法分析了系統(tǒng)為漸進(jìn)穩(wěn)定時下垂增益的范圍。仿真結(jié)果表明，在求得的下垂增益范圍內(nèi)，系統(tǒng)能夠保持漸進(jìn)穩(wěn)定性。因此，所提出的分析方法能夠為下垂控制器中下垂增益的選取提供一定的指導(dǎo)意義。但是，由于算法中的正定矩陣Q的選取不唯一，使得系統(tǒng)穩(wěn)定與不穩(wěn)定的參數(shù)之間沒有確定的界限，這一問題還有待進(jìn)一步深入的研究。最后，利用模態(tài)相關(guān)因子法分析了系統(tǒng)穩(wěn)定性與下垂增益的關(guān)系，結(jié)果表明下垂增益越大，系統(tǒng)穩(wěn)定性越差，當(dāng)下垂增益增大到一定程度，系統(tǒng)會失穩(wěn)。因此，合理的選擇下垂增益參數(shù)對于采用下垂控制的微網(wǎng)的系統(tǒng)穩(wěn)定性至關(guān)重要。

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Droop controller parameter selection and stability analysis for inverter-interfaced microgrid

GU Qing-fa, WANG Jie

(School of Electronic Information and Electrical Engineering, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

Eigen-analysis is widely used in dynamic stability analysis of power system. And droop control method is used to stabilize the voltage and frequency under islanding modes of microgrid. The selection of droop gain of droop controller will have great influence on system stability. This paper analyzes the stability of the state matrix containing uncertain parameters of the linear system, and establishes the small-signal model of microgrid under droop control mode. With the proposed method, the small-signal stability of micro-grid is analyzed. In such context, the dropping gain range is given when the system is asymptotically stable. Finally, the relationship between system stability and droop gain is analyzed through modal participating factor method. The numerical example demonstrates the validity of the method.

microgrid; inverter; droop control; uncertain parameter; stability

2016-10-12

國家自然科學(xué)基金項目(61374155)、 高校博士點專項科研基金項目(20130073110030)

谷青發(fā)(1992-)， 男， 河南籍， 碩士研究生， 研究方向為電力系統(tǒng)穩(wěn)定分析與控制； 王 杰(1960-)， 男， 江蘇籍， 教授， 博導(dǎo)， 研究方向為復(fù)雜系統(tǒng)非線性控制、 自適應(yīng)控制、 魯棒控制、 電力系統(tǒng)非線性控制與穩(wěn)定分析。

10.12067/ATEEE1610020

1003-3076(2017)07-0034-07

TM721