關(guān)于半群作用的混沌及拓?fù)潇匮芯?/h1>
2017-08-30 23:27:38關(guān)鵬
楚雄師范學(xué)院學(xué)報(bào) 2017年3期
關(guān) 鵬
(巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 238000)
關(guān)于半群作用的混沌及拓?fù)潇匮芯?/p>
關(guān) 鵬
(巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 238000)
本文歸納了半群作用的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)及混沌的基本概念和性質(zhì)，并在Devaney混沌的基礎(chǔ)上給出了半群作用在緊致度量空間上的混沌定義，證明了拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含Devaney混沌。同時文章還對已有的半群作用的拓?fù)潇馗拍钸M(jìn)行了分析和總結(jié)，提出對各種不同半群作用的拓?fù)潇氐亩x之間的關(guān)系、熵值的計(jì)算和估計(jì)、正熵系統(tǒng)的性質(zhì)以及正熵與混沌之間的關(guān)系是未來半群作用的拓?fù)潇匮芯康内厔荨?/p>
半群；拓?fù)潇?；混?/p>
1.引言
在拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的研究領(lǐng)域中，對于單個連續(xù)自映射是否為混沌的研究已經(jīng)非常成熟，其中對于連續(xù)自映射的作用是否為混沌的判定研究的比較多，例如：是否含有Li-Yorke混沌集、是否具有對初值的敏感依賴性、是否具有正拓?fù)潇氐榷际腔煦绲闹匾袛鄺l件。拓?fù)潇刈鳛橹匾耐負(fù)涔曹棽蛔兞?，它的?shù)值通常作為度量動力系統(tǒng)混亂、復(fù)雜程度的重要指數(shù)。自G.Cairns等人把混沌作用推廣到了群作用情形以來，混沌群在國內(nèi)外得到廣泛的研究。D.Ellis等又進(jìn)一步研究了半群作用的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)，取得了很多重要的研究成果，大大擴(kuò)展了拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的研究范圍。目前對于半群的混沌作用的概念和基本性質(zhì)的研究比較多，但對于半群作用的混沌性的判定主要還是從“是否含有Li-Yorke混沌集、是否具有對初值的敏感依賴性”等角度研究，很少涉及到半群作用的拓?fù)潇氐难芯?，而拓?fù)潇卦谂卸ɑ煦缟系淖饔檬遣蝗莺鲆暤摹Ｒ虼?，本文對半群作用的混沌以及拓?fù)潇剡M(jìn)行討論，對已有的研究成果進(jìn)行總結(jié)，并對未來的研究趨勢進(jìn)行分析。
2.半群作用的混沌動力系統(tǒng)
對于混沌研究的熱潮開始于1975年，Li.T.Y和Yorke.J.A第一次將混沌的概念數(shù)學(xué)化，提出了Li-Yorke混沌[1]的定義，此后各種混沌定義應(yīng)運(yùn)而生，比較經(jīng)典的有Devaney混沌[2]、Spatiotemporal混沌(簡稱ST混沌)[3]、混沌群[4]。對于半群的混沌作用的研究主要集中在兩個方面：一是對半群混沌作用概念的研究，包括半群作用的Li-Yorke混沌[5―7]、半群作用的Devaney混沌[8]、半群作用的ST混沌[9]，以及這幾種混沌定義之間的關(guān)系研究，例如半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含Devaney混沌、Devaney混沌蘊(yùn)含Li-Yorke混沌[8]等；二是對半群混沌作用的條件研究，文獻(xiàn)[6]中借助于“Li-Yorke點(diǎn)對”來描述半群混沌作用，討論了“Li-Yorke點(diǎn)對”的存在性，并得到半群混沌作用的充分條件。文獻(xiàn)[10]討論了“對初值敏感依賴性”對半群混沌作用的影響。文獻(xiàn)[5]討論了若和式自同態(tài)幺半群作用在Polish空間上，且含有一個拓?fù)鋫鬟f點(diǎn)和周期軌道O，以至于H={s∈S:s|O是一恒等映射}，則該半群作用是混沌的。
2.1 基本概念
半群作用的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的基本概念和主要性質(zhì)如下。
假設(shè)X為一個集合，S為一個半群，則定義S作用在X上的一個映射 π為：π:X×S→X,即：(x,s)→xs，則有t(sx)=(ts)x, ?t, s∈S,?x∈X。
定義2.1[11]：稱(X,S,π)為半群S作用在緊致Hausdorff空間X上的動力系統(tǒng)，如果在半群S作用下π是連續(xù)的。
定義2.2[11]：設(shè)半群S連續(xù)作用在拓?fù)淇臻gX上，對任意的x∈X，稱集合orb(x)={sx|s∈S}為x在S作用下的軌道。
定義2.3：假設(shè)(X,S,π)是一個半群作用的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)，則
(1)X上的非空子集A稱為在半群S作用下不變，若AS={as|a∈A,s∈S}?A。
(2)若非空子集A是閉集且在半群S作用下不變，則限制在A×S的映射π定義了半群S在子集A上的作用，稱(A,S)為(X,S)的子系統(tǒng)。
(5)假設(shè)A是X的非空、閉且在半群S作用下不變的子集，則A稱為極小集，若(A,S)是極小的。
(6)若對X的兩個任意非空開集U,V，有D(U,V)={s∈S|U∩πs-1V≠?}≠?，則稱(X,S)是拓?fù)浔闅v的。
(7)若(X×X,S)是拓?fù)浔闅v的，則稱(X,S)是拓?fù)淙趸旌系摹?/p>
(8)若對X的兩個任意非空開集U,V，存在S的緊子集K，使得SK?D(U,V)，則稱(X,S)是拓?fù)鋸?qiáng)混合的。
隨著對半群作用的動力系統(tǒng)研究的深入，很多學(xué)者開始對半群作用的混沌現(xiàn)象進(jìn)行研究。半群作用的混沌定義大多是從區(qū)間連續(xù)自映射的動力系統(tǒng)或者一般拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的混沌定義中推廣而來,如經(jīng)典的Li-Yorke混沌、Devaney混沌、ST混沌等。Li.T.Y和Yorke.J.A首次在區(qū)間上的動力系統(tǒng)中給出了Li-Yorke混沌的定義，他們從動力系統(tǒng)的微觀層面對混亂程度進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述。
Devaney從系統(tǒng)的宏觀層面刻畫系統(tǒng)的紊亂程度，提出了Devaney混沌的概念。
定義2.5(Devaney混沌)[2]：設(shè)(X,ρ)是緊致度量空間，f:X→X是連續(xù)自映射，則f是Devaney混沌的，若f滿足以下三個條件：
(1)f具有對初值的敏感依賴性；
(2)f在X上是拓?fù)鋫鬟f的；
(3)f的周期點(diǎn)在X中稠密。
定義2.6(ST混沌)[12]：動力系統(tǒng)(X,T)具有對初值敏感依賴性，若任給x∈X和x的任一鄰域U，都存在y∈U，使得(x,y)∈X2為Li-Yorke對。動力系統(tǒng)(X,T)稱為是ST混沌的，若(X,T)是拓?fù)鋫鬟f的，且對初值具有敏感依賴性。
Francois Blanchard進(jìn)一步給出了拓?fù)淙趸旌稀i-Yorke混沌以及ST混沌之間的關(guān)系。
定理2.1[12]:一個動力系統(tǒng)(X,T)如果是拓?fù)淙趸旌系模瑒t該系統(tǒng)是Li-Yorke混沌的和弱ST混沌的。
2.2 半群作用的混沌及性質(zhì)
在以上經(jīng)典混沌定義的基礎(chǔ)上，很多學(xué)者將混沌定義推廣到了半群作用的情形。
文獻(xiàn)[6]在Li-Yorke混沌的基礎(chǔ)上研究了半群作用在緊致度量空間上的Li-Yorke對的存在性。他將一般動力系統(tǒng)中的近鄰關(guān)系概念推廣到半群作用的動力系統(tǒng)上，給出了半群作用下存在Li-Yorke對的充分條件，同時給出了Li-Yorke混沌的充分條件。
定理2.2[6]：設(shè)交換半群S連續(xù)作用在無限緊致度量空間X上，若(X,S)是拓?fù)鋫鬟f的且包含周期點(diǎn)，則(X,S)存在無限Scrambled集，即(X,S)是Li-Yorke混沌的。
文獻(xiàn)[7]在經(jīng)典的Denaney混沌的基礎(chǔ)上，給出了半群作用的混沌定義。
定義2.7[7]：設(shè)S連續(xù)作用在緊致度量空間X上，如滿足以下條件，則稱該半群作用是混沌的:
(1)拓?fù)鋫鬟f性：對X中任意兩個非空開集U,V,?s∈S使得s(U)∩V≠?;
該定義可以看作是Devaney混沌在半群作用下的推廣。文獻(xiàn)[7]通過圓周上的兩個連續(xù)映射，構(gòu)造了作用在圓周上的半群作用，同時證明了該半群作用是混沌的。但是定義的第二個條件要求“周期點(diǎn)稠”過于苛刻[13]，所以筆者在此定義的基礎(chǔ)上，給出了半群作用的混沌的另一個定義。首先給出半群作用在空間X上“對初值敏感依賴”的概念，然后通過拓?fù)鋫鬟f性和對初值敏感依賴性定義半群作用的Devaney混沌，同時證明了半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含了半群作用的Devaney混沌。
定義2.8：設(shè)半群S連續(xù)作用在緊致度量空間X上，如果存在δ>0，使得?x∈X及x的任意開鄰域N，?s∈S，y∈N，使得d(sx，sy)>δ，則稱S在X上的作用對初值有敏感依賴性，且敏感系數(shù)為δ。
定義2.9：設(shè)半群S連續(xù)作用在緊致度量空間X上，如果滿足：
(1)拓?fù)鋫鬟f；
(2)對初值有敏感依賴性；
則稱該半群作用是Devaney混沌的。
定理2.3：半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含了半群作用的Devaney混沌。
證:設(shè) 作用是拓?fù)鋸?qiáng)混合的，拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含著拓?fù)鋫鬟f，顯然S作用是拓?fù)鋫鬟f的。下面主要證明半群S的連續(xù)作用對初值具有敏感依賴性：
FMSchneider等利用Devaney混沌的性質(zhì)，給出了半群作用混沌的另外一個概念,并給出了半群作用混沌的具體例子，φ[0,∞):[0,∞)×C([0,∞))→C([0,∞))。
定義2.10[14]：設(shè)半群S作用在拓?fù)淇臻gX上，半群S的連續(xù)作用φ是混沌的，如果滿足以下條件：
(1)φ是拓?fù)鋫鬟f的;
(2)φ作用下的周期點(diǎn)集在X上是稠密的;
(3)φ不是極小的。
另外，F(xiàn)MSchneider證明了如下定理。
定理2.4[14]:任何半群S在一致Hausdorff空間X上的連續(xù)作用φ如果是混沌的，則φ必定會對初值敏感。
閻欣華等將ST混沌的相關(guān)概念推廣到半群作用的動力系統(tǒng)中，研究了關(guān)于半群作用是Spatiotemporal混沌(ST混沌)的條件，并且討論了拓?fù)鋸?qiáng)混合與ST混沌的關(guān)系。
定義2.11[9]：若(X,S)是拓?fù)浔闅v的，且?x∈X及x的任一鄰域U，?y∈U，s.t.(x,y)是Li-Yorke點(diǎn)對，則稱(X,S)是ST混沌的。
定理2.5[9]：設(shè)(X,S)是拓?fù)鋸?qiáng)混合的，若S是拓?fù)浒肴?，則(X,S)是ST混沌的。
FHGhane[15]等研究了半群作用在拓?fù)淇臻g上的一些隨機(jī)屬性，并分析了半群作用為混沌的條件。
從以上半群作用的混沌定義來看，目前關(guān)于半群作用的混沌概念主要有兩種形式，一種是從系統(tǒng)微觀結(jié)構(gòu)視角，基于Li-Yorke點(diǎn)對尋找動力系統(tǒng)(X,S)的無限Scrambled集.若系統(tǒng)存在無限Scrambled集，則系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌性；另一種是從系統(tǒng)宏觀結(jié)構(gòu)視角，判斷系統(tǒng)是否具有對初值的敏感依賴性以及遍歷性。
關(guān)于幾種經(jīng)典混沌定義之間的關(guān)系，在緊致度量空間上的連續(xù)自映射已經(jīng)有了比較成熟的研究，如Devaney混沌強(qiáng)于Li-Yorke混沌[16]；拓?fù)鋸?qiáng)混合一定蘊(yùn)含Devaney混沌，反之不一定成立；拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含Li-Yorke混沌，反之不一定成立[17]。但是半群作用的混沌定義之間的關(guān)系探討目前還比較欠缺，僅知道的結(jié)論是半群作用的Devaney混沌(定義2.7、定義2.9、定義2.10)蘊(yùn)含半群作用的Li-Yorke混沌、半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含半群作用的Devaney混沌和半群作用的Li-Yorke混沌、半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含ST混沌[9]，而半群作用的Devaney混沌和半群作用的ST混沌之間是否等價還沒有確切的研究結(jié)論。
3.半群作用的拓?fù)潇丶捌湫再|(zhì)
現(xiàn)有的判定半群混沌作用的條件傾向于從混沌概念和性質(zhì)出發(fā)(例如：在判定半群作用是否是Li-Yorke混沌時需要研究所作用的空間是否含有Li-Yorke點(diǎn)對)判定半群作用的混沌性，而涉及到具體的度量空間時，這種判定方法操作起來并不容易。而拓?fù)潇厥侵匾耐負(fù)涔曹棽蛔兞浚恳粋€緊致系統(tǒng)都有一個確定的拓?fù)潇?，同時拓?fù)潇匾彩嵌攘炕煦绲挠行е笖?shù)，所以估計(jì)和計(jì)算緊致系統(tǒng)的拓?fù)潇厥峭負(fù)鋭恿ο到y(tǒng)研究的熱點(diǎn)。在緊致度量空間上的一般動力系統(tǒng)中，正拓?fù)潇嘏c混沌之間具有緊密的聯(lián)系，所以半群作用下的拓?fù)潇匮芯浚瑹o論是從基本概念方法還是從熵與混沌的關(guān)系討論方面都逐漸被學(xué)者們關(guān)注。
3.1 一般動力系統(tǒng)中的拓?fù)潇丶爸饕Y(jié)論
關(guān)于拓?fù)潇氐难芯渴莿恿ο到y(tǒng)的一個熱點(diǎn)，近些年來，由于拓?fù)潇卦诙攘炕煦绯潭确矫娴膽?yīng)用越來越廣泛，因此也引起了許多專家學(xué)者的廣泛關(guān)注。80年代，劉旺金[18]對動力系統(tǒng)中的拓?fù)潇匾呀?jīng)取得的研究成果進(jìn)行了詳細(xì)的總結(jié)，對熵的Adler和Bowen定義、熵與映射的周期點(diǎn)數(shù)的漸近性、熵與同調(diào)的關(guān)系以及熵的連續(xù)性進(jìn)行了討論和分析，并對暫未解決的問題進(jìn)行了梳理。一般拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)中拓?fù)潇氐幕靖拍钊缦隆?/p>
設(shè)X是緊致度量空間，d是其度量，f是作用在X上的連續(xù)自映射。
定理3.1[18]:拓?fù)潇氐腁dler定義(定義3.1)和Bowen定義(定義3.2)是等價的。
關(guān)于拓?fù)潇氐难芯恐饕獓@熵值的估計(jì)以及拓?fù)潇嘏c混沌之間的關(guān)系展開，特別是正熵系統(tǒng)是否表現(xiàn)出混沌形態(tài)，以及0熵系統(tǒng)的一些性質(zhì)，已有下列結(jié)論：
(1)小熵猜測
Bowen和Franks首先研究了線段上連續(xù)自映射的拓?fù)潇貑栴}，提出了著名的Bowen-Franks定理：
定理3.2[21]：設(shè)f為閉區(qū)間I上的連續(xù)映射。若f有周期點(diǎn)的周期為n=2dm (其中m>1為奇數(shù))(即f有非2方冪的周期點(diǎn))，則f的拓?fù)潇卮笥趌n2/n．
Block猜測定理3.2的逆命題也為真(即小熵猜測)，并證明了該猜測。
定理3.3[22]：閉區(qū)間I上的連續(xù)映射f的拓?fù)潇貫?的充分必要條件為f的每個周期點(diǎn)的周期都是2的方冪。
事實(shí)上，以上拓?fù)潇卦谝痪S自映射上的性質(zhì)在二維的可降映射中也是成立的，金渝光將定理3.3進(jìn)行了推廣。
定理3.4[23]：設(shè)f∈C0(I×I,I×I)是可降映射，則有
ent(f)=0??PP(f)?{2″|n≥0} .
(2)正拓?fù)潇嘏cLi-Yorke混沌
已有的拓?fù)潇嘏c混沌關(guān)系的研究顯示，正拓?fù)潇嘏c第二節(jié)介紹的幾種混沌之間雖然不是嚴(yán)格意義上的等價，但與混沌之間卻有非常密切的聯(lián)系。周作領(lǐng)證明了線段上連續(xù)自映射的非游蕩點(diǎn)集上的混沌與正拓?fù)潇氐牡葍r性,即有
定理3.5[24]：設(shè)f∈C0(I)，則f在其非游蕩點(diǎn)集Ω(f)上是Li-Yorke混沌的充要條件是ent(f)>0.
已有很多研究顯示線段上的連續(xù)自映射存在混沌點(diǎn)集的本質(zhì)是存在正拓?fù)潇?，對于系統(tǒng)拓?fù)潇氐挠?jì)算逐漸成為研究焦點(diǎn)。在圓周上的單調(diào)自映射存在如下定理：
定理3.6[25]：設(shè)f:S1→S1是單調(diào)的連續(xù)映射，則f的拓?fù)潇豩(f)=log|deg(f)|。
在線段上，針對有常斜率λ>1的連續(xù)自映射f有如下結(jié)論：
定理3.7[26]：設(shè)f∈C0(I)，且f有常斜率λ>1，則ent(f)=log(λ)，同時f有混沌點(diǎn)集I-Per(f)。
雖然在一些特定的系統(tǒng)中，正拓?fù)潇匾馕吨鳯i-Yorke混沌，但是在一般的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)中，正拓?fù)潇嘏cLi-Yorke并不等價，很多學(xué)者找到了反例，如文獻(xiàn)[28]研究了線段上連續(xù)自映射拓?fù)潇貫?的條件、文獻(xiàn)[29]構(gòu)造了拓?fù)潇貫?的系統(tǒng)存在Li-Yorke混沌的條件。
定理3.8[28]：設(shè)f∈C0(I)，若f的周期點(diǎn)的周期存在上界，則ent(f)=0。
3.2 半群作用的拓?fù)潇丶靶再|(zhì)
隨著半群作用在緊致度量空間中的研究越來越受到重視，半群作用的拓?fù)潇馗拍钜脖惶岢鰜恚@些概念大多基于Adler和Bowen的拓?fù)潇囟x在半群作用上的推廣。
令s(n,ε,Z)為Z的(n,ε)-分離集的最大基數(shù)，γ(n,ε,Z)為Z的(n,ε)生成集的最小基數(shù)，則半群S作用在Z上的熵定義為：
定理3.10[29]：任何由有限集S1={s1,s2,…,sk}生成的半群S，都有以下等式成立：
分別稱為半群S作用在X上的拓?fù)潇亍⑾峦負(fù)潇睾蜕贤負(fù)潇亍?/p>
定理3.11[30]:對任何由有限集S1={s1,s2,…,sk}生成的半群S，都有以下等式成立：
hz(S1)≥max(hz(si):si∈S1),?Z?X.
定理3.12[30]:對任何由有限集S1={s1,s2,…,sk}生成的半群S，都有以下等式成立：
高曉燕為了研究半群作用的拓?fù)潇匾约爸胤中?，將Bowen拓?fù)潇囟x推廣到了半群作用在緊致度量空間上的情形，并討論了半群作用的Bowen拓?fù)潇氐男再|(zhì)。
定理3.13[31]:設(shè)(X,d)是緊致度量空間，S是由有限集S1={s1,s2,…,sk}生成的半群，si:X→X是連續(xù)映射，且s1=idX。則以下結(jié)論成立：
定義3.6[32]：設(shè)(X,B,m)是概率空間，fi:X→X是緊致度量空間X上的連續(xù)自映射，且fi為保測變換，i=0,1,2,…,m-1,ξ={A1,A2,…,Ak}是X上的有限可測分解，則定義分解ξ的測度熵為：
則定義自由半群G1的測度熵為：
文獻(xiàn)[32]還證明了在緊致度量空間中拓?fù)潇嘏c測度熵之間有以下關(guān)系成立：
定理3.14[32]: Hμ(G1)≤h(G1)+log2,其中hμ(G1)為自由半群G1的測度熵，h(G1)為自由半群G1的拓?fù)潇亍?/p>
同時證明了拓?fù)潇卦诘榷韧負(fù)涔曹椣戮哂胁蛔冃浴?/p>
定理3.15[32]：設(shè)X,Y均為緊致度量空間，fi:K→X與gi:Y→Y是等度拓?fù)涔曹椀?，i=0,1,2,…,m-1，G1={f0,f1,…,fm-1},G2=(g0,g1,…,gm-1)，則有
h(G1)=h(G2) .
從以上研究結(jié)果來看，目前關(guān)于半群作用的拓?fù)潇氐难芯窟€處于概念和性質(zhì)研究階段。半群作用的拓?fù)潇馗拍钸€不統(tǒng)一，目前存在的定義至少有Adler拓?fù)潇亍owen拓?fù)潇?、測度熵等，這些拓?fù)潇刂g存在怎樣的關(guān)系還需要進(jìn)一步的研究和討論。目前關(guān)于半群作用的拓?fù)潇刂档挠?jì)算還比較少，僅停留在概念層面，對熵值的估計(jì)(上界、下界)等還需要進(jìn)一步的研究。另外，半群作用的拓?fù)潇嘏c半群作用的Devaney混沌、Li-Yorke混沌以及ST混沌之間的關(guān)系還缺少系統(tǒng)性的研究，如半群作用的正熵是否與半群作用的混沌等價、是否存在0熵的混沌系統(tǒng)等等。
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(責(zé)任編輯 李艷梅)
AStudyonChaosandTopologicalEntropyBasedonSemigroupAction
GUANPeng
(Department of Applied Mathematics, Chaohu University, Hefei, 238000, Anhui Province)
Inthispaperthebasicconceptsandpropertiesoftopologicaldynamicalsystemandchaosarediscussed,thenbasedontheDevaneyChaosadefinitionofchaosinthecompactmetricspaceofsemigroupactionispresented,whichprovedthetopologicalstrongmixingcontainingDevaneychaos.Then,thepaperanalyzesandsummarizesthedefinitionoftopologicalentropybasedontheexistedsemigroupaction.Furthermore,thethesisproposesthatthefutureresearchwillbefocusedontherelationshipbetweendifferentdefinitionsoftopologicalentropy,calculationandestimationofentropyvalue,propertiesofpositiveentropysystem,andtherelationshipbetweenpositiveentropyandchaos.
semigroup;topologicalentropy;chaos
安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目“基于半群作用的Li-Yorke混沌和拓?fù)潇刂g關(guān)系的研究”，項(xiàng)目編號：KJ2013B165。
2017 - 03 - 14
關(guān) 鵬(1983―)，男，巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院講師，碩士研究生，研究方向：拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)。
O
A
1671 - 7406(2017)03 - 0005 - 08
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關(guān) 鵬
(巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 238000)
關(guān)于半群作用的混沌及拓?fù)潇匮芯?/p>
關(guān) 鵬
(巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 238000)
本文歸納了半群作用的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)及混沌的基本概念和性質(zhì)，并在Devaney混沌的基礎(chǔ)上給出了半群作用在緊致度量空間上的混沌定義，證明了拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含Devaney混沌。同時文章還對已有的半群作用的拓?fù)潇馗拍钸M(jìn)行了分析和總結(jié)，提出對各種不同半群作用的拓?fù)潇氐亩x之間的關(guān)系、熵值的計(jì)算和估計(jì)、正熵系統(tǒng)的性質(zhì)以及正熵與混沌之間的關(guān)系是未來半群作用的拓?fù)潇匮芯康内厔荨?/p>
半群；拓?fù)潇?；混?/p>
1.引言
在拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的研究領(lǐng)域中，對于單個連續(xù)自映射是否為混沌的研究已經(jīng)非常成熟，其中對于連續(xù)自映射的作用是否為混沌的判定研究的比較多，例如：是否含有Li-Yorke混沌集、是否具有對初值的敏感依賴性、是否具有正拓?fù)潇氐榷际腔煦绲闹匾袛鄺l件。拓?fù)潇刈鳛橹匾耐負(fù)涔曹棽蛔兞?，它的?shù)值通常作為度量動力系統(tǒng)混亂、復(fù)雜程度的重要指數(shù)。自G.Cairns等人把混沌作用推廣到了群作用情形以來，混沌群在國內(nèi)外得到廣泛的研究。D.Ellis等又進(jìn)一步研究了半群作用的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)，取得了很多重要的研究成果，大大擴(kuò)展了拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的研究范圍。目前對于半群的混沌作用的概念和基本性質(zhì)的研究比較多，但對于半群作用的混沌性的判定主要還是從“是否含有Li-Yorke混沌集、是否具有對初值的敏感依賴性”等角度研究，很少涉及到半群作用的拓?fù)潇氐难芯?，而拓?fù)潇卦谂卸ɑ煦缟系淖饔檬遣蝗莺鲆暤摹Ｒ虼?，本文對半群作用的混沌以及拓?fù)潇剡M(jìn)行討論，對已有的研究成果進(jìn)行總結(jié)，并對未來的研究趨勢進(jìn)行分析。
2.半群作用的混沌動力系統(tǒng)
對于混沌研究的熱潮開始于1975年，Li.T.Y和Yorke.J.A第一次將混沌的概念數(shù)學(xué)化，提出了Li-Yorke混沌[1]的定義，此后各種混沌定義應(yīng)運(yùn)而生，比較經(jīng)典的有Devaney混沌[2]、Spatiotemporal混沌(簡稱ST混沌)[3]、混沌群[4]。對于半群的混沌作用的研究主要集中在兩個方面：一是對半群混沌作用概念的研究，包括半群作用的Li-Yorke混沌[5―7]、半群作用的Devaney混沌[8]、半群作用的ST混沌[9]，以及這幾種混沌定義之間的關(guān)系研究，例如半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含Devaney混沌、Devaney混沌蘊(yùn)含Li-Yorke混沌[8]等；二是對半群混沌作用的條件研究，文獻(xiàn)[6]中借助于“Li-Yorke點(diǎn)對”來描述半群混沌作用，討論了“Li-Yorke點(diǎn)對”的存在性，并得到半群混沌作用的充分條件。文獻(xiàn)[10]討論了“對初值敏感依賴性”對半群混沌作用的影響。文獻(xiàn)[5]討論了若和式自同態(tài)幺半群作用在Polish空間上，且含有一個拓?fù)鋫鬟f點(diǎn)和周期軌道O，以至于H={s∈S:s|O是一恒等映射}，則該半群作用是混沌的。
2.1 基本概念
半群作用的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的基本概念和主要性質(zhì)如下。
假設(shè)X為一個集合，S為一個半群，則定義S作用在X上的一個映射 π為：π:X×S→X,即：(x,s)→xs，則有t(sx)=(ts)x, ?t, s∈S,?x∈X。
定義2.1[11]：稱(X,S,π)為半群S作用在緊致Hausdorff空間X上的動力系統(tǒng)，如果在半群S作用下π是連續(xù)的。
定義2.2[11]：設(shè)半群S連續(xù)作用在拓?fù)淇臻gX上，對任意的x∈X，稱集合orb(x)={sx|s∈S}為x在S作用下的軌道。
定義2.3：假設(shè)(X,S,π)是一個半群作用的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)，則
(1)X上的非空子集A稱為在半群S作用下不變，若AS={as|a∈A,s∈S}?A。
(2)若非空子集A是閉集且在半群S作用下不變，則限制在A×S的映射π定義了半群S在子集A上的作用，稱(A,S)為(X,S)的子系統(tǒng)。
(5)假設(shè)A是X的非空、閉且在半群S作用下不變的子集，則A稱為極小集，若(A,S)是極小的。
(6)若對X的兩個任意非空開集U,V，有D(U,V)={s∈S|U∩πs-1V≠?}≠?，則稱(X,S)是拓?fù)浔闅v的。
(7)若(X×X,S)是拓?fù)浔闅v的，則稱(X,S)是拓?fù)淙趸旌系摹?/p>
(8)若對X的兩個任意非空開集U,V，存在S的緊子集K，使得SK?D(U,V)，則稱(X,S)是拓?fù)鋸?qiáng)混合的。
隨著對半群作用的動力系統(tǒng)研究的深入，很多學(xué)者開始對半群作用的混沌現(xiàn)象進(jìn)行研究。半群作用的混沌定義大多是從區(qū)間連續(xù)自映射的動力系統(tǒng)或者一般拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的混沌定義中推廣而來,如經(jīng)典的Li-Yorke混沌、Devaney混沌、ST混沌等。Li.T.Y和Yorke.J.A首次在區(qū)間上的動力系統(tǒng)中給出了Li-Yorke混沌的定義，他們從動力系統(tǒng)的微觀層面對混亂程度進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述。
Devaney從系統(tǒng)的宏觀層面刻畫系統(tǒng)的紊亂程度，提出了Devaney混沌的概念。
定義2.5(Devaney混沌)[2]：設(shè)(X,ρ)是緊致度量空間，f:X→X是連續(xù)自映射，則f是Devaney混沌的，若f滿足以下三個條件：
(1)f具有對初值的敏感依賴性；
(2)f在X上是拓?fù)鋫鬟f的；
(3)f的周期點(diǎn)在X中稠密。
定義2.6(ST混沌)[12]：動力系統(tǒng)(X,T)具有對初值敏感依賴性，若任給x∈X和x的任一鄰域U，都存在y∈U，使得(x,y)∈X2為Li-Yorke對。動力系統(tǒng)(X,T)稱為是ST混沌的，若(X,T)是拓?fù)鋫鬟f的，且對初值具有敏感依賴性。
Francois Blanchard進(jìn)一步給出了拓?fù)淙趸旌稀i-Yorke混沌以及ST混沌之間的關(guān)系。
定理2.1[12]:一個動力系統(tǒng)(X,T)如果是拓?fù)淙趸旌系模瑒t該系統(tǒng)是Li-Yorke混沌的和弱ST混沌的。
2.2 半群作用的混沌及性質(zhì)
在以上經(jīng)典混沌定義的基礎(chǔ)上，很多學(xué)者將混沌定義推廣到了半群作用的情形。
文獻(xiàn)[6]在Li-Yorke混沌的基礎(chǔ)上研究了半群作用在緊致度量空間上的Li-Yorke對的存在性。他將一般動力系統(tǒng)中的近鄰關(guān)系概念推廣到半群作用的動力系統(tǒng)上，給出了半群作用下存在Li-Yorke對的充分條件，同時給出了Li-Yorke混沌的充分條件。
定理2.2[6]：設(shè)交換半群S連續(xù)作用在無限緊致度量空間X上，若(X,S)是拓?fù)鋫鬟f的且包含周期點(diǎn)，則(X,S)存在無限Scrambled集，即(X,S)是Li-Yorke混沌的。
文獻(xiàn)[7]在經(jīng)典的Denaney混沌的基礎(chǔ)上，給出了半群作用的混沌定義。
定義2.7[7]：設(shè)S連續(xù)作用在緊致度量空間X上，如滿足以下條件，則稱該半群作用是混沌的:
(1)拓?fù)鋫鬟f性：對X中任意兩個非空開集U,V,?s∈S使得s(U)∩V≠?;
該定義可以看作是Devaney混沌在半群作用下的推廣。文獻(xiàn)[7]通過圓周上的兩個連續(xù)映射，構(gòu)造了作用在圓周上的半群作用，同時證明了該半群作用是混沌的。但是定義的第二個條件要求“周期點(diǎn)稠”過于苛刻[13]，所以筆者在此定義的基礎(chǔ)上，給出了半群作用的混沌的另一個定義。首先給出半群作用在空間X上“對初值敏感依賴”的概念，然后通過拓?fù)鋫鬟f性和對初值敏感依賴性定義半群作用的Devaney混沌，同時證明了半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含了半群作用的Devaney混沌。
定義2.8：設(shè)半群S連續(xù)作用在緊致度量空間X上，如果存在δ>0，使得?x∈X及x的任意開鄰域N，?s∈S，y∈N，使得d(sx，sy)>δ，則稱S在X上的作用對初值有敏感依賴性，且敏感系數(shù)為δ。
定義2.9：設(shè)半群S連續(xù)作用在緊致度量空間X上，如果滿足：
(1)拓?fù)鋫鬟f；
(2)對初值有敏感依賴性；
則稱該半群作用是Devaney混沌的。
定理2.3：半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含了半群作用的Devaney混沌。
證:設(shè) 作用是拓?fù)鋸?qiáng)混合的，拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含著拓?fù)鋫鬟f，顯然S作用是拓?fù)鋫鬟f的。下面主要證明半群S的連續(xù)作用對初值具有敏感依賴性：
FMSchneider等利用Devaney混沌的性質(zhì)，給出了半群作用混沌的另外一個概念,并給出了半群作用混沌的具體例子，φ[0,∞):[0,∞)×C([0,∞))→C([0,∞))。
定義2.10[14]：設(shè)半群S作用在拓?fù)淇臻gX上，半群S的連續(xù)作用φ是混沌的，如果滿足以下條件：
(1)φ是拓?fù)鋫鬟f的;
(2)φ作用下的周期點(diǎn)集在X上是稠密的;
(3)φ不是極小的。
另外，F(xiàn)MSchneider證明了如下定理。
定理2.4[14]:任何半群S在一致Hausdorff空間X上的連續(xù)作用φ如果是混沌的，則φ必定會對初值敏感。
閻欣華等將ST混沌的相關(guān)概念推廣到半群作用的動力系統(tǒng)中，研究了關(guān)于半群作用是Spatiotemporal混沌(ST混沌)的條件，并且討論了拓?fù)鋸?qiáng)混合與ST混沌的關(guān)系。
定義2.11[9]：若(X,S)是拓?fù)浔闅v的，且?x∈X及x的任一鄰域U，?y∈U，s.t.(x,y)是Li-Yorke點(diǎn)對，則稱(X,S)是ST混沌的。
定理2.5[9]：設(shè)(X,S)是拓?fù)鋸?qiáng)混合的，若S是拓?fù)浒肴?，則(X,S)是ST混沌的。
FHGhane[15]等研究了半群作用在拓?fù)淇臻g上的一些隨機(jī)屬性，并分析了半群作用為混沌的條件。
從以上半群作用的混沌定義來看，目前關(guān)于半群作用的混沌概念主要有兩種形式，一種是從系統(tǒng)微觀結(jié)構(gòu)視角，基于Li-Yorke點(diǎn)對尋找動力系統(tǒng)(X,S)的無限Scrambled集.若系統(tǒng)存在無限Scrambled集，則系統(tǒng)表現(xiàn)出混沌性；另一種是從系統(tǒng)宏觀結(jié)構(gòu)視角，判斷系統(tǒng)是否具有對初值的敏感依賴性以及遍歷性。
關(guān)于幾種經(jīng)典混沌定義之間的關(guān)系，在緊致度量空間上的連續(xù)自映射已經(jīng)有了比較成熟的研究，如Devaney混沌強(qiáng)于Li-Yorke混沌[16]；拓?fù)鋸?qiáng)混合一定蘊(yùn)含Devaney混沌，反之不一定成立；拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含Li-Yorke混沌，反之不一定成立[17]。但是半群作用的混沌定義之間的關(guān)系探討目前還比較欠缺，僅知道的結(jié)論是半群作用的Devaney混沌(定義2.7、定義2.9、定義2.10)蘊(yùn)含半群作用的Li-Yorke混沌、半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含半群作用的Devaney混沌和半群作用的Li-Yorke混沌、半群作用的拓?fù)鋸?qiáng)混合蘊(yùn)含ST混沌[9]，而半群作用的Devaney混沌和半群作用的ST混沌之間是否等價還沒有確切的研究結(jié)論。
3.半群作用的拓?fù)潇丶捌湫再|(zhì)
現(xiàn)有的判定半群混沌作用的條件傾向于從混沌概念和性質(zhì)出發(fā)(例如：在判定半群作用是否是Li-Yorke混沌時需要研究所作用的空間是否含有Li-Yorke點(diǎn)對)判定半群作用的混沌性，而涉及到具體的度量空間時，這種判定方法操作起來并不容易。而拓?fù)潇厥侵匾耐負(fù)涔曹棽蛔兞浚恳粋€緊致系統(tǒng)都有一個確定的拓?fù)潇?，同時拓?fù)潇匾彩嵌攘炕煦绲挠行е笖?shù)，所以估計(jì)和計(jì)算緊致系統(tǒng)的拓?fù)潇厥峭負(fù)鋭恿ο到y(tǒng)研究的熱點(diǎn)。在緊致度量空間上的一般動力系統(tǒng)中，正拓?fù)潇嘏c混沌之間具有緊密的聯(lián)系，所以半群作用下的拓?fù)潇匮芯浚瑹o論是從基本概念方法還是從熵與混沌的關(guān)系討論方面都逐漸被學(xué)者們關(guān)注。
3.1 一般動力系統(tǒng)中的拓?fù)潇丶爸饕Y(jié)論
關(guān)于拓?fù)潇氐难芯渴莿恿ο到y(tǒng)的一個熱點(diǎn)，近些年來，由于拓?fù)潇卦诙攘炕煦绯潭确矫娴膽?yīng)用越來越廣泛，因此也引起了許多專家學(xué)者的廣泛關(guān)注。80年代，劉旺金[18]對動力系統(tǒng)中的拓?fù)潇匾呀?jīng)取得的研究成果進(jìn)行了詳細(xì)的總結(jié)，對熵的Adler和Bowen定義、熵與映射的周期點(diǎn)數(shù)的漸近性、熵與同調(diào)的關(guān)系以及熵的連續(xù)性進(jìn)行了討論和分析，并對暫未解決的問題進(jìn)行了梳理。一般拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)中拓?fù)潇氐幕靖拍钊缦隆?/p>
設(shè)X是緊致度量空間，d是其度量，f是作用在X上的連續(xù)自映射。
定理3.1[18]:拓?fù)潇氐腁dler定義(定義3.1)和Bowen定義(定義3.2)是等價的。
關(guān)于拓?fù)潇氐难芯恐饕獓@熵值的估計(jì)以及拓?fù)潇嘏c混沌之間的關(guān)系展開，特別是正熵系統(tǒng)是否表現(xiàn)出混沌形態(tài)，以及0熵系統(tǒng)的一些性質(zhì)，已有下列結(jié)論：
(1)小熵猜測
Bowen和Franks首先研究了線段上連續(xù)自映射的拓?fù)潇貑栴}，提出了著名的Bowen-Franks定理：
定理3.2[21]：設(shè)f為閉區(qū)間I上的連續(xù)映射。若f有周期點(diǎn)的周期為n=2dm (其中m>1為奇數(shù))(即f有非2方冪的周期點(diǎn))，則f的拓?fù)潇卮笥趌n2/n．
Block猜測定理3.2的逆命題也為真(即小熵猜測)，并證明了該猜測。
定理3.3[22]：閉區(qū)間I上的連續(xù)映射f的拓?fù)潇貫?的充分必要條件為f的每個周期點(diǎn)的周期都是2的方冪。
事實(shí)上，以上拓?fù)潇卦谝痪S自映射上的性質(zhì)在二維的可降映射中也是成立的，金渝光將定理3.3進(jìn)行了推廣。
定理3.4[23]：設(shè)f∈C0(I×I,I×I)是可降映射，則有
ent(f)=0??PP(f)?{2″|n≥0} .
(2)正拓?fù)潇嘏cLi-Yorke混沌
已有的拓?fù)潇嘏c混沌關(guān)系的研究顯示，正拓?fù)潇嘏c第二節(jié)介紹的幾種混沌之間雖然不是嚴(yán)格意義上的等價，但與混沌之間卻有非常密切的聯(lián)系。周作領(lǐng)證明了線段上連續(xù)自映射的非游蕩點(diǎn)集上的混沌與正拓?fù)潇氐牡葍r性,即有
定理3.5[24]：設(shè)f∈C0(I)，則f在其非游蕩點(diǎn)集Ω(f)上是Li-Yorke混沌的充要條件是ent(f)>0.
已有很多研究顯示線段上的連續(xù)自映射存在混沌點(diǎn)集的本質(zhì)是存在正拓?fù)潇?，對于系統(tǒng)拓?fù)潇氐挠?jì)算逐漸成為研究焦點(diǎn)。在圓周上的單調(diào)自映射存在如下定理：
定理3.6[25]：設(shè)f:S1→S1是單調(diào)的連續(xù)映射，則f的拓?fù)潇豩(f)=log|deg(f)|。
在線段上，針對有常斜率λ>1的連續(xù)自映射f有如下結(jié)論：
定理3.7[26]：設(shè)f∈C0(I)，且f有常斜率λ>1，則ent(f)=log(λ)，同時f有混沌點(diǎn)集I-Per(f)。
雖然在一些特定的系統(tǒng)中，正拓?fù)潇匾馕吨鳯i-Yorke混沌，但是在一般的拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)中，正拓?fù)潇嘏cLi-Yorke并不等價，很多學(xué)者找到了反例，如文獻(xiàn)[28]研究了線段上連續(xù)自映射拓?fù)潇貫?的條件、文獻(xiàn)[29]構(gòu)造了拓?fù)潇貫?的系統(tǒng)存在Li-Yorke混沌的條件。
定理3.8[28]：設(shè)f∈C0(I)，若f的周期點(diǎn)的周期存在上界，則ent(f)=0。
3.2 半群作用的拓?fù)潇丶靶再|(zhì)
隨著半群作用在緊致度量空間中的研究越來越受到重視，半群作用的拓?fù)潇馗拍钜脖惶岢鰜恚@些概念大多基于Adler和Bowen的拓?fù)潇囟x在半群作用上的推廣。
令s(n,ε,Z)為Z的(n,ε)-分離集的最大基數(shù)，γ(n,ε,Z)為Z的(n,ε)生成集的最小基數(shù)，則半群S作用在Z上的熵定義為：
定理3.10[29]：任何由有限集S1={s1,s2,…,sk}生成的半群S，都有以下等式成立：
分別稱為半群S作用在X上的拓?fù)潇亍⑾峦負(fù)潇睾蜕贤負(fù)潇亍?/p>
定理3.11[30]:對任何由有限集S1={s1,s2,…,sk}生成的半群S，都有以下等式成立：
hz(S1)≥max(hz(si):si∈S1),?Z?X.
定理3.12[30]:對任何由有限集S1={s1,s2,…,sk}生成的半群S，都有以下等式成立：
高曉燕為了研究半群作用的拓?fù)潇匾约爸胤中?，將Bowen拓?fù)潇囟x推廣到了半群作用在緊致度量空間上的情形，并討論了半群作用的Bowen拓?fù)潇氐男再|(zhì)。
定理3.13[31]:設(shè)(X,d)是緊致度量空間，S是由有限集S1={s1,s2,…,sk}生成的半群，si:X→X是連續(xù)映射，且s1=idX。則以下結(jié)論成立：
定義3.6[32]：設(shè)(X,B,m)是概率空間，fi:X→X是緊致度量空間X上的連續(xù)自映射，且fi為保測變換，i=0,1,2,…,m-1,ξ={A1,A2,…,Ak}是X上的有限可測分解，則定義分解ξ的測度熵為：
則定義自由半群G1的測度熵為：
文獻(xiàn)[32]還證明了在緊致度量空間中拓?fù)潇嘏c測度熵之間有以下關(guān)系成立：
定理3.14[32]: Hμ(G1)≤h(G1)+log2,其中hμ(G1)為自由半群G1的測度熵，h(G1)為自由半群G1的拓?fù)潇亍?/p>
同時證明了拓?fù)潇卦诘榷韧負(fù)涔曹椣戮哂胁蛔冃浴?/p>
定理3.15[32]：設(shè)X,Y均為緊致度量空間，fi:K→X與gi:Y→Y是等度拓?fù)涔曹椀?，i=0,1,2,…,m-1，G1={f0,f1,…,fm-1},G2=(g0,g1,…,gm-1)，則有
h(G1)=h(G2) .
從以上研究結(jié)果來看，目前關(guān)于半群作用的拓?fù)潇氐难芯窟€處于概念和性質(zhì)研究階段。半群作用的拓?fù)潇馗拍钸€不統(tǒng)一，目前存在的定義至少有Adler拓?fù)潇亍owen拓?fù)潇?、測度熵等，這些拓?fù)潇刂g存在怎樣的關(guān)系還需要進(jìn)一步的研究和討論。目前關(guān)于半群作用的拓?fù)潇刂档挠?jì)算還比較少，僅停留在概念層面，對熵值的估計(jì)(上界、下界)等還需要進(jìn)一步的研究。另外，半群作用的拓?fù)潇嘏c半群作用的Devaney混沌、Li-Yorke混沌以及ST混沌之間的關(guān)系還缺少系統(tǒng)性的研究，如半群作用的正熵是否與半群作用的混沌等價、是否存在0熵的混沌系統(tǒng)等等。
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(責(zé)任編輯 李艷梅)
AStudyonChaosandTopologicalEntropyBasedonSemigroupAction
GUANPeng
(Department of Applied Mathematics, Chaohu University, Hefei, 238000, Anhui Province)
Inthispaperthebasicconceptsandpropertiesoftopologicaldynamicalsystemandchaosarediscussed,thenbasedontheDevaneyChaosadefinitionofchaosinthecompactmetricspaceofsemigroupactionispresented,whichprovedthetopologicalstrongmixingcontainingDevaneychaos.Then,thepaperanalyzesandsummarizesthedefinitionoftopologicalentropybasedontheexistedsemigroupaction.Furthermore,thethesisproposesthatthefutureresearchwillbefocusedontherelationshipbetweendifferentdefinitionsoftopologicalentropy,calculationandestimationofentropyvalue,propertiesofpositiveentropysystem,andtherelationshipbetweenpositiveentropyandchaos.
semigroup;topologicalentropy;chaos
安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目“基于半群作用的Li-Yorke混沌和拓?fù)潇刂g關(guān)系的研究”，項(xiàng)目編號：KJ2013B165。
2017 - 03 - 14
關(guān) 鵬(1983―)，男，巢湖學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院講師，碩士研究生，研究方向：拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)。
O
A
1671 - 7406(2017)03 - 0005 - 08
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