刁涵鑫 刁品全

(無錫市輔仁高級中學 江蘇 無錫 214023 )

深度剖析一類帶電體在復合場中的運動規(guī)律

刁涵鑫 刁品全

(無錫市輔仁高級中學 江蘇 無錫 214023 )

帶電粒子在勻強磁場中運動時如果除了受洛倫茲力外還受到重力或者電場力時，粒子如何運動，隱含的規(guī)律是怎樣的.從多個角度來深度分析、探討，找到它們的共同規(guī)律.

復合場 帶電粒子 高考與競賽

帶電粒子在復合場中運動的問題在高考以及競賽中不時出現(xiàn)，而在高考題中，命題者為了降低難度往往先預設(shè)了一些條件，這樣便于學生分析討論，但為何會有這些預設(shè)的條件，學生是無法洞悉的，同時這些預設(shè)條件是否嚴謹，也許更加值得教師進一步去思考、分析.下面就近年來出現(xiàn)的一些題目進行深度剖析，從不同角度來認識，以深化我們對帶電體在復合場中運動規(guī)律的理解.

【例1】(2008年高考江蘇卷)在磁感應強度為B的水平勻強磁場中，一質(zhì)量為m，帶正電q的小球在O點由靜止釋放，小球的運動曲線如圖1所示.已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍，重力加速度為g.求：

(1)小球運動到任意位置P(x，y)的速率v；

(2)小球在運動過程中第一次下降的最大距離ym；

圖1 例1題圖

原高考解析就不去展開了.

深入思考:題中給了一預設(shè)條件，“此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍”，這又是為什么呢？ 首先要明確的是題中帶電小球在復合場中做的不是圓周運動，對中學生來說，運動軌跡的“曲率半徑”是無法確定的，因此無法直接利用向心力來分析曲線運動，而題設(shè)計巧妙之處就在于預設(shè)了條件，下面就這個預設(shè)條件進一步思考.

深度剖析之一:由于帶電小球在磁場中還受到重力，可構(gòu)造一向右的勻速運動，速度v0滿足qv0B=mg，即

這樣帶電小球在重力與洛倫茲力共同作用下向右勻速運動，但帶電小球原來初速度為零，因此同時還必須構(gòu)造一向左的運動，且滿足v′=v0,這一運動同樣也受到洛倫茲力作用，那么帶電小球在此洛倫茲力作用下做角速度為ω的勻速圓周運動，該圓周運動是逆時針的圓周運動，這樣帶電小球的運動便由一向右的勻速運動與逆時針的勻速圓周運動復合而成.

水平方向運動為

x(t)=v0t-Rsinωt

豎直方向運動則為

y(t)=R-Rcosωt

式中

而

由于對于參數(shù)方程而言，它的曲率半徑為

將x(t)、y(t)代入上式，那么題中帶電小球運動的曲率半徑為

ρ=

在最低點時對應的也就是經(jīng)過了半個周期，即ωt=π，將ωt=π代入上式得

結(jié)合剛才的運動分析結(jié)論可知，最低點時

顯然

ρ=2ym

這樣所得結(jié)論與原預設(shè)條件契合.

深度剖析之二：運動到任意一點P(x，y)速度為(vx，vy),y方向受力為

Fy=mg-qvxB

即

may=-(qvxB-mg)

而x方向受力為

Fx=qvyB

即

也就是

mΔvx=qΔyB

將該微元表達式求和，得

mvx=qyB

即

代入may=-(qvxB-mg)得

令

顯然ay=aY，則

顯然這是一個簡諧運動方程

其軌跡方程為

Y=Acos (ωt+φ0)

速度為

vY=-ωAsin(ωt+φ0)

那么

當t=0時,y=0，vy=vY=0，則

也就是

-ωAsin(ωt+φ0)=0

得

那么y方向運動方程為

顯然，當ωt+φ0=(2k+1)π時

還可以將x方向運動再討論一下，x方向受力為Fx=qvyB，即

也就是

mΔvx=qΔyB

求和得

將上面所求y表達代入得

即

顯然水平方向最大速度為

該速度也就是最大速度,積分得

即

而第(3)小問中只要將(qE-mg)等效為(2)問中mg即可，則最大速度為

【例2】(2011年高考福建卷)如圖2(a)所示，在x>0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B.一質(zhì)量為m，帶電荷量為q(q>0)的粒子從坐標原點O處，以初速度v0沿x軸正方向射入，粒子的運動軌跡如圖2(a)所示，不計粒子的重力.

(1)求該粒子運動到y(tǒng)=h時的速度大小v.

Ⅰ.求粒子在一個周期內(nèi)，沿x軸方向前進的距離s；

Ⅱ.當入射粒子的初速度大小為v0時，其y-t圖像如圖2(c)所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅A，并寫出y-t的函數(shù)表達式.

原高考解析暫不展開.

圖2 例2題圖

原來福建高考提供的參考解析中描述：“所有粒子在一個周期T內(nèi)沿x軸方向前進的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運動的粒子在T時間內(nèi)前進的距離.”問題是為何有這樣的勻速運動？粒子水平方向?qū)嶋H上又是否為勻速呢？因此這種描述顯然來得相當模糊，沒有物理學上的嚴謹.

那么它們的實際運動規(guī)律又如何呢，為什么會是這樣的呢？下面再作深度剖析.

深度剖析:與例1分析類似，構(gòu)造一個恰好沿x軸正方向的勻速運動，速度大小為v1，且qv1B=qE，同時構(gòu)造一沿-x軸方向的運動，速度大小為v1，這樣粒子的運動就是沿x軸正方向以速度v1的勻速運動，同時以(v0-v1)做逆時針轉(zhuǎn)動的勻速圓周運動，那么粒子運動方程如下.

水平方向運動為

x(t)=v1t-Rsinωt豎直方向運動則為

y(t)=R-Rcosωt

式中

從表達式來看，y方向是一簡諧運動，運動周期為

y方向振幅為

那么x方向一個周期T內(nèi)運動的位移為

s=v1(t1+T)-x(t1)={v1(t1+T)-
Rsin[ω(t1+T)]}-(v1t1-Rsinωt1)=v1T

這樣所得結(jié)論與原預設(shè)條件契合.當然也可參照例1中深度剖析方法去分析，由于篇幅關(guān)系，這里就不再贅述了.2013年高考福建卷也有類似問題，完全可以參考這種方法去深度思考、探究.

從上面思考分析來看，用動能定理分析帶電體在某處的速度大小是最為快捷的，但運動速度的方向、位移這些細節(jié)則無法確定，而帶電體的運動規(guī)律則可以用等效法，將帶電體運動分解(或構(gòu)造)為一個勻速運動與一個圓周運動，如果初速度不為零則其中有兩個圓周運動，當然也可將兩個圓周運動作為一個圓周運動處理，這里涉及到矢量運動，略顯復雜.當然還有另一種理解——將粒子運動分解為兩個相互垂直的運動：與勻速運動方向垂直的簡諧運動，另一方向則是一簡諧運動與勻速運動疊加.

而更為嚴謹?shù)氖怯梦⒃ㄅc積分法的綜合應用，這些對中學生來說可能偏難，但對中學教師以及參加物理競賽的學生來說是非常有必要掌握的.

mvx=qyB

Deep Analysis on the Movement Law of a Class of Charged Body in the Compound Field

Diao Hanxin Diao Pinquan

(Furen High School，Wuxi, Jiangsu 214023)

When the charged particle moves in the strong magnetic field, if the particle is subjected to gravity or electric field force, the particle moves, and what is implied. This paper analyzes and discusses the common law from multiple angles.

compound field；charged particles；college entrance examination and competition

2017-01-09)