李永樂(lè)

(中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100080)

飛船噴氣變軌時(shí)需要消耗多少能量

李永樂(lè)

(中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué) 北京 100080)

從一道物理競(jìng)賽問(wèn)題出發(fā)，研究討論飛船脫離地球引力所需要的能量大小、飛船噴氣變軌時(shí)消耗燃料能量大小以及飛船與氣體獲得的機(jī)械能之間的關(guān)系.

飛船變軌 能量 燃料 物理競(jìng)賽 內(nèi)力做功 質(zhì)心系

在第十五屆北京市高中力學(xué)競(jìng)賽中有這樣一個(gè)題目.

【例題】一個(gè)人造飛船繞地球以橢圓軌道運(yùn)行，橢圓的焦點(diǎn)是地心. 為了增加能量使飛船逃逸地球，飛船可以通過(guò)短暫的點(diǎn)火，使自己的速度增加Δv，問(wèn)應(yīng)該在軌道何處，沿什么方向上增加Δv，會(huì)使得Δv最小？說(shuō)明原因.

解析：使飛船點(diǎn)火后速度變化Δv，應(yīng)使飛船獲得最大機(jī)械能增量ΔE.由于飛船發(fā)生短時(shí)間噴氣，噴氣前后飛船引力勢(shì)能不變，因此飛船動(dòng)能增量為

(1)

由于Δv是一個(gè)小量，因此式(1)中第一部分是主要部分. 在Δv大小一定時(shí)，要使ΔE最大，就要讓v最大，同時(shí)v與Δv同向，即在近地點(diǎn)使飛船沿著原來(lái)運(yùn)動(dòng)方向獲得Δv時(shí)，可使得飛船逃逸且Δv最小.

筆者在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，在這個(gè)問(wèn)題的解決中，學(xué)生還有以下3個(gè)疑問(wèn)：

(1)在不同位置脫離地球時(shí)，飛船所需獲得的機(jī)械能增量ΔE是否相同？

(2)飛船在噴出氣體時(shí)所消耗燃料的能量與飛船速度增量Δv什么關(guān)系？

(3)為何飛船獲得同樣的速度增量Δv，機(jī)械能的增量ΔE卻不相同？

本文對(duì)這3個(gè)問(wèn)題依次進(jìn)行解答.

1 飛船在同一軌道不同位置脫離地球時(shí)所需能量相同

飛船在半徑為r的圓軌道上環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，機(jī)械能守恒，機(jī)械能大小為[1]

(2)

其中G為萬(wàn)有引力常量，M為地球質(zhì)量，m為飛船質(zhì)量.

飛船繞半長(zhǎng)軸為a的橢圓軌道運(yùn)行時(shí)，機(jī)械能守恒，機(jī)械能大小為[2]

(3)

在地球參考系下，若噴氣后飛船剛好脫離地球，到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)飛船的動(dòng)能和勢(shì)能都為零，根據(jù)脫離過(guò)程機(jī)械能守恒，噴氣后瞬間飛船的機(jī)械能也要為零. 噴氣過(guò)程飛船需要獲得的機(jī)械能增加為

(4)

即確定軌道上的飛船要脫離地球到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)處，所需要獲得的能量增加與地球質(zhì)量M,飛船的質(zhì)量m以及軌道半長(zhǎng)軸a有關(guān)，而與在何處加速無(wú)關(guān).

2 燃料消耗的化學(xué)能與飛船速度增量成正比

燃料燃燒時(shí)消耗化學(xué)能產(chǎn)生的推力使飛船加速，同時(shí)使氣體向后噴出，因此，燃料消耗的化學(xué)能既要對(duì)飛船做功，同時(shí)也要對(duì)噴出的氣體做功. 消耗化學(xué)能Q可以根據(jù)動(dòng)能定理得到

Q=W對(duì)飛船+W對(duì)氣體=ΔE飛船+ΔE氣體

(5)

由于動(dòng)能具有相對(duì)性，相對(duì)于不同參考系，飛船和氣體動(dòng)能增量都是不同的. 取飛船及燃料的質(zhì)心為參考系，研究噴氣過(guò)程.

設(shè)飛船原來(lái)的質(zhì)量為m，在短時(shí)間內(nèi)以相對(duì)于飛船的速度u噴出少量氣體Δm(Δm?m). 在質(zhì)心系下，飛船速度從零變?yōu)棣(Δv?u)，氣體速度從零變?yōu)閡-Δv,且與飛船反向,如圖1所示.

圖1 質(zhì)心系下飛船噴氣時(shí)的速度和質(zhì)量變化

根據(jù)動(dòng)量守恒，有

0=(m-Δm)Δv-Δm(u-Δv)

(6)

由于Δm?m,Δv?u，將式(6)中的二階小量舍去，簡(jiǎn)化為

mΔv=Δmu

(7)

同樣，在舍去二階小量時(shí)，飛船和氣體獲得的動(dòng)能增量分別為

(8)

燃料對(duì)飛船和對(duì)氣體做功之比為

(9)

將式(7)代入式(9)得到

(10)

由于Δm?m,Δv?u，得到W飛船?W氣體,即質(zhì)心系下，燃料做功絕大多數(shù)都轉(zhuǎn)化為氣體的動(dòng)能.

這是一個(gè)普遍結(jié)論：質(zhì)心系下一對(duì)內(nèi)力對(duì)兩個(gè)物體做功與兩物體的質(zhì)量成反比，如果質(zhì)量相差懸殊，內(nèi)力做功約等于對(duì)質(zhì)量小的物體做功[3].

于是，消耗燃料能量

(11)

將式(7)代入式(11)，可以得到

(12)

即在飛船質(zhì)量m和噴氣速度u一定的情況下，消耗燃料能量Q與飛船速度增量Δv成正比.在本題中，近地點(diǎn)噴氣時(shí)飛船速度增量Δv最小，就代表了消耗的燃料能量Q最少，這也是本題的實(shí)際意義所在.

采用折合質(zhì)量的方法可以更方便地得到上述結(jié)論.

在二體問(wèn)題中，若存在兩個(gè)物體，質(zhì)量為m1和m2，則系統(tǒng)質(zhì)心系下的能量可以按照下列方法計(jì)算[4]

(13)

其中

表示折合質(zhì)量，U(r)表示系統(tǒng)勢(shì)能.

在本題中，質(zhì)心系下飛船和氣體的初動(dòng)能為零，后來(lái)系統(tǒng)分裂為m-Δm和Δm兩個(gè)部分，二者相對(duì)速度為u，于是燃料的消耗等于系統(tǒng)動(dòng)能增量

(14)

根據(jù)Δm?m，可以將式(14)近似為式(11)，也可以得到相同的結(jié)論.

3 在不同位置噴氣時(shí)燃料能量在飛船和氣體間的分配不同

在地球參考系下，燃料消耗能量依然等于對(duì)飛船和氣體做功之和，即

(15)

由于做功和動(dòng)能具有相對(duì)性，相對(duì)于地面參考系，燃料對(duì)飛船做功、對(duì)氣體做功、飛船動(dòng)能增量和氣體動(dòng)能增量都已經(jīng)與質(zhì)心系下的情況不同. 但是，一對(duì)相互作用力對(duì)兩物體做功的和與參考系無(wú)關(guān)，只與內(nèi)力大小和相對(duì)位移有關(guān)[5]. 因此，即便在地面參考系下看，在飛船獲得速度增量的過(guò)程中，燃料的消耗Q依然滿足式(12)的結(jié)論.

只是，由于地面不是飛船和噴出氣體的質(zhì)心，能量在飛船和氣體之間的分配關(guān)系不再滿足式(10)的結(jié)論. 在地面參考系下，飛船在軌道不同位置向不同方向噴氣時(shí)，燃料能量在飛船和氣體之間的分配不同.根據(jù)式(1)的計(jì)算，在近地點(diǎn)朝飛船原來(lái)的運(yùn)動(dòng)方向噴氣時(shí)，飛船能夠獲得最大的動(dòng)能增量，因而也最容易飛離地球.

4 結(jié)論

要從某一軌道脫離地球引力，飛船需要獲得一定的機(jī)械能增量.在橢圓軌道不同位置向不同方向噴氣時(shí)，獲得相同的速度增量Δv所消耗的能量Q是相同的，但是這個(gè)能量需要在飛船和氣體之間進(jìn)行分配. 不同位置時(shí)，能量的分配關(guān)系不同. 如果飛船在近地點(diǎn)朝著飛船原來(lái)運(yùn)動(dòng)的方向加速，消耗燃料分配到飛船上的功最多，此時(shí)飛船的速度增量最小，也最容易飛離地球.

1 姚黃濤,馮杰.淺析衛(wèi)星變軌運(yùn)動(dòng).物理通報(bào),2016(6):48～50

2 周洪松,張國(guó)光.比較天體運(yùn)行軌道間的機(jī)械能.物理教師,2015,36(11):72～72

3 鄭永令,賈起民.力學(xué).北京:高等教育出版社,2002.146～148

4 鄭永令.二體問(wèn)題與折合質(zhì)量.物理教學(xué),2011,33(1):5～8

5 王永昌.對(duì)一對(duì)內(nèi)力做功的討論.中學(xué)物理教學(xué)參考,2010,39(4):26～27

How Much Energy Is Consumed during Airship Varies Its Orbit by Jetting Gas?

Li Yongle

(The High School Affiliated to Renmin University of China，Beijing 100080)

In This paper, we calculates the energy consumption of orbital transfer, and also discusses the relationship between the spacecraft’s mechanical energy and the fuel consumption.

orbital transfer； energy; fuel； physics Olympiad； work of internal forces； center of mass system

2017-02-19)