江蘇省蘇州實驗中學 (215000)

董逸婷

例析充要條件在數(shù)學解題中的導向性

江蘇省蘇州實驗中學 (215000)

董逸婷

高中數(shù)學經(jīng)歷了多次課程改革，充要條件的內(nèi)容都做了保留甚至是強化.2003年《普通高中數(shù)學課程標準(實驗稿)》中“常用邏輯用語”作為單獨一章被列入選修1-1、選修1-2中.充要條件是一種邏輯思維方法.但是，反觀我們的教學，一般都詳細講解了充分條件、必要條件的含義及判斷方法，而弱化了充要條件在解題時的向?qū)ё饔?本文筆者從運用充要條件優(yōu)化解題策略方面談?wù)劥譁\的看法，以期拋磚引玉.

利用結(jié)論成立的必要條件優(yōu)化解題過程

例1 設(shè)0(ax)2的解集中的整數(shù)恰好有三個，求實數(shù)a的取值范圍.

含參整數(shù)解問題一直是不等式的一個難點.學生處理時往往不能準確的進行條件轉(zhuǎn)化.如本例的充要條件也很難一步到位.遇到此類問題我們可以先把條件弱化，求出問題弱化后的參數(shù)a的取值范圍，即原問題的一個必要條件，再在這個必要條件的基礎(chǔ)上尋找突破口，進一步探究原問題的充要條件，從而求出參數(shù)的取值范圍.

首先，將不等式(x-b)2>(ax)2先轉(zhuǎn)化為(a2-1)x2+2bx-b2<0(*)

因為0-1.此條件為題目的第一個必要條件，利用該條件，可以局限住參數(shù)a的取值范圍，有效縮小了a的討論范圍.

下面問題轉(zhuǎn)化為了假二次不等式的整數(shù)解問題.現(xiàn)將問題弱化成不等式有解：

①當-1

因為a>1，所以2a-2

又已知0

回顧本題解題過程，解題的關(guān)鍵是利用二次函數(shù)圖像求出恰有三個整數(shù)解的一個必要條件a>1，在這個必要條件下得出原不等式的解集是一個開區(qū)間，再在這個必要條件下，求出區(qū)間右端點只能在某一個小區(qū)間內(nèi)活動，從而由已知可以確定這個區(qū)間的三個整數(shù)，進而得出這個區(qū)間左端點的活動區(qū)范圍，列出不等式，求出參數(shù)范圍.充分體現(xiàn)了必要條件的解題功能.

解題過程中如能合理利用題中的必要條件，首先縮小題設(shè)參數(shù)范圍，再在該范圍下討論，可以極大減少分類討論情況，降低解題難度.如下例,2008年江蘇卷填空第14題：

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若對于任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，則實數(shù)a的值為 .

命題者將此題放在填空的最后一道題，作為把關(guān)題.乍一看，這類問題很容易想到求f(x)=ax3-3x+1,x∈[-1,1]的最小值；或者利用參數(shù)分離法，注意到x∈[-1,1]，必須分類討論，求參數(shù)分離后的函數(shù)的值域或最值.無論哪種方法，都會消耗學生太多時間與精力.如能從另外一個角度考慮，先嘗試求它的必要條件，再進行下一步研究：

顯然，必要條件的利用得到了意想不到的簡化作用.

2.利用結(jié)論成立的充分條件優(yōu)化解題過程

例3 設(shè)函數(shù)f(x)=ex-1-x-ax2.

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當x≥0時，f(x)≥0，求實數(shù)a的取值范圍.

本題第一問是常規(guī)的單調(diào)性計算，通過求導可得f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

第二問常見方法有兩種：一是分類討論的方法，可能會出現(xiàn)不知如何分類，或者分類太多，不容易找到分類標準；二是分離參數(shù)法，只需求出參數(shù)分離后的函數(shù)的最值或值域即可.但是，參數(shù)分離后的函數(shù)的值域或最值求解時可能比較困難，需要對函數(shù)多次求導或借助高等數(shù)學中的洛比達法則，這也明顯超出了中學數(shù)學的范圍.這種情況如果我們可以有意識合理的使用題目的充分條件優(yōu)化解題過程，可以極大降低題目解答的復(fù)雜性.

分析本題，依題當x≥0時，f(x)≥0，即f(x)=ex-1-x-ax≥0，而f(0)=0.即f(x)≥f(0).如果可以證得f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，即f′(x)=ex-1-2ax≥0，則結(jié)論成立.

本題是可以直接對a進行分類討論求解不等式恒成立問題的，但是上述解法先探求結(jié)論成立的充分條件，再證明其必要性.這種方法操作性很強，不失為處理該題的一種妙法.

前蘇聯(lián)大教育家贊可夫強調(diào)知識間的聯(lián)系，他認為，“聯(lián)系的確立，并不是因為材料的各個片段的學習在時間上相近，而是因為材料的各部分之間每一種關(guān)系本身在學生知識體系的形成過程標志著前進的運動”.邏輯從內(nèi)容上看似乎很獨立，在高考中看似也只體現(xiàn)在一個填空題或是第15題中一部分，但是它是一種辯證的思維方法，是各部分知識的紐帶.

反觀上述幾例，充要條件作為邏輯思維方法，在解題中形成策略，其解題策略在數(shù)學中廣泛應(yīng)用.如在例1中，先討論不等式有解，再討論有有限個整數(shù)解；例3中先求出其充分條件，即使函數(shù)在定義域上單調(diào)時a的范圍，再證明其必要性，避免了含參討論.另外，在函數(shù)一章中，對于含參不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍一類問題時，也可利用特殊值法先求出其充分條件，局限范圍后再討論.

因此，在平時教學中，應(yīng)該重視充要條件在解題導向性中的應(yīng)用，特別是在高三專題復(fù)習時尤其注意其作為解題策略的重要性，指導學生合理利用題目充要條件突破難點，培養(yǎng)學生辯證思維的能力.